1、考研数学二（特征向量与特征值，相似，对角化）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 是 A 的一个特征值，则伴随矩阵 A*的一个特征值是（A） -1A n-1（B） -1A（C） A（D）A n-12 设 =2 是可逆矩阵 A 的一个特征值，则( A2)-1+E 的一个特征值是3 设 A 是 3 阶不可逆矩阵， 1， 2 是 Ax=0 的基础解系， 3 是属于特征值 =1 的特征向量，下列不是 A 的特征向量的是（A） 1+32（B） 1-2（C） 1+3（D）2 34 设 0 是 A 的特征向量，则 0 不一定
2、是其特征向量的矩阵是（A）(A+E) 2（B） -2A（C） AT（D）A *5 下列矩阵中不能相似对角化的是6 设 A 是 n 阶非零矩阵，A m=0，下列命题中不一定正确的是（A）A 的特征值只有零（B） A 必不能对角化（C） E+A+A2+Am-1 必可逆（D）A 只有一个线性无关的特征向量二、填空题7 设 A 是 n 阶矩阵，r(A)n，则 A 必有特征值_8 设 A 是 n 阶可逆矩阵， 是 A 的特征值，则(A *)2+E 必有特征值_9 已知-2 是 A= 的特征值，则 x=_10 设 A 是秩为 2 的 3 阶实对称矩阵，且 A2+5A=0，则 A 的特征值是_11 已知 =
3、(1，1，-1) T 是矩阵 A= 的特征向量，则 x=_12 设 A 是 3 阶矩阵，且各行元素之和都是 5，则 A 必有特征向量_13 设 A 是 3 阶实对称矩阵，特征值是 0，1，2如果 1=(1，2，1) T 与 2=(1，-1，1) T 分别是 =0 与 =1 的特征向量，则 =2 的特征向量是_14 已知 A= 相似，则 x=_，y=_15 已知矩阵 A= 有两个线性无关的特征向量，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 已知实对称矩阵 A 满足 A3+A2+A-3E=0，证明 A=E17 设 A 为实矩阵，证明 ATA 的特征值都是非负实数18 设 A
4、 为反对称矩阵，则 (1)若 k 是 A 的特征值，-k 一定也是 A 的特征值 (2)如果它的一个特征向量 的特征值不为 0，则 T=0 (3) 如果 A 为实反对称矩阵，则它的特征值或为 0，或为纯虚数19 已知 A= ，求 A 的特征值、特征向量，并判断 A 能否相似对角化，说明理由20 已知 A= ，A *是 A 的伴随矩阵，求 A*的特征值与特征向量21 已知 A= 可对角化，求可逆矩阵 P 及对角矩阵 ，使 P-1AP=22 已知 A 是 3 阶不可逆矩阵，-1 和 2 是 A 的特征值，B=A 2-A-2E，求 B 的特征值，并问 B 能否相似对角化，并说明理由.23 设 3 阶
5、实对称矩阵 A 的秩为 2， 1=2=6 是 A 的二重特征值，若 1=(1，1，0)*， 2=(2，1， 1)*， 3=(-1，2，-3) *都是 A 属于 =6 的特征向量，求矩阵 A24 已知 AB，A 2=A，证明 B2=B25 已知 1， 2， 3 是 A 的特征值， 1， 2， 3 是相应的特征向量且线性无关，如1+2+3 仍是 A 的特征向量，则 1=2=3考研数学二（特征向量与特征值，相似，对角化）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 如 A=，则 A-1= 从而 A*= 故选(B)【知识模块】
6、特征向量与特征值，相似，对角化2 【正确答案】 C【试题解析】 如 A=则( A2)-1+E=3(A-1)2+= 当=2 时，知 ( A2)-1+E 有特征值 选(C)【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化3 【正确答案】 C【试题解析】 A 1=0，A 2=0，A 3=3则 A(1+32)=0，A( 1-2)=0，A(2 3)=23 因此(A)，(B)，(D)都正确 A( 1+3)=3，和 1+3 不相关，因此 1+3 不是特征向量，故应选(C) 【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化4 【正确答案】 C【试题解析】 由E-A T=(E-A) T= E-A，知 A 与 AT 有相
7、同的特征值，但方程组(E-A)x=0 与(E-A T)x=0 不一定同解，故 A 与 AT 特征向量不一定相同故应选(C) 【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化5 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 是实对称矩阵， (C)有 3 个不同的特征值，均可对角化(B)和(D)特征值都是 0，0 ，3在(B)中， n-r(0E-A)=2，说明 =0 有 2 个线性无关的特征向量故可以相似对角化在(D)中，n-r(0E-A)=1，说明 =0 只有 1 个线性无关的特征向量因此不能相似对角化故应选(D)【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化6 【正确答案】 D【试题解析】 设 A=，0，则
8、 Am=m=0故 =0(A)正确 因为A0，r(A)1，那么 Ax=0 的基础解系有 n-r(A)个解，即 =0 有 n-r(A)个线性无关的特征向量故(B)正确，而(D)不一定正确 由(E-A)(E+A+A 2+Am-1)=E-Am=E，知(C)正确 故应选(D)【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化二、填空题7 【正确答案】 =0；【试题解析】 r(A)n A=0 =0 必是 A 的特征值由 r(A)n Ax=0 有非0 解设 1， 2， n-r(A)是 Ax=0 的基础解系，则 Aj=0=0j，即j(j=1，2，n-r(A)是 =0 的特征向量因此 =0 有 n-r(A)个线性无关
9、的特征向量从而 =0 至少是矩阵 A 的 n-r(A)重特征值注意：k 重特征值至多有 k 个线性无关的特征向量【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化8 【正确答案】 【试题解析】 A 的特征值为 A*的特征值为 (A*)2 的特征值为 (A*)2+E 的特征值为 .【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化9 【正确答案】 -4【试题解析】 因为-2 是矩阵 A 的特征值，所以由【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化10 【正确答案】 -5，-5 ，0【试题解析】 因为 A 是实对称矩阵，故 A-又 r(A)=2，所以 r(A)=2设A=(0)，由 A2+5A=0 得 2+52
10、=0因此 A 的特征值为 0 或-5.从而所以矩阵 A 的特征值是： -5，-5，0【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化11 【正确答案】 4【试题解析】 设 A=，即 亦即【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化12 【正确答案】 【试题解析】 因为各行元素之和都是 5，即 亦即从而 所以矩阵 A 必有特征向量 .【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化13 【正确答案】 t(-1 ，0， 1)T，t0【试题解析】 设 A=2 的特征向量是 =(x1，x 2，x 3)，则因实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有 x3=t，x 2=0，x 1=-t所以 =2 的特征向量是
11、 t(-1，0，1) T，t0【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化14 【正确答案】 0；1【试题解析】 由 AB，知a ij=bii，且-1 是 A 的特征值，即【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化15 【正确答案】 -1【试题解析】 由 A 的特征多项式E-A= =(+1)3，知矩阵 A 的特征值是 =-1(三重根) ，因为 A 只有 2 个线性无关的特征向量，故 r(-E-A)= =1从而 a=-1【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 因为 A 是实对称矩阵，所以 A 可相似对角化要证本题的结论只
12、用证 A 的特征值只有 1 一个 设 A 是 A 的特征值，则 A 是实数，并且应满足3+2+-3=0，即(-1)( 2+2+3)=0此方程的实数解只有 1，因此 =1【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化17 【正确答案】 A TA 是实对称矩阵，特征值都是实数设 是 ATA 的一个特征值， 是属于 的一个实特征向量，则 ATA=于是 TATA=T，即(，) 0， (A，A)0 ，因此 0【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化18 【正确答案】 (1)若 k 是 A 的特征值，则 k 也是 AT 的特征值而 AT=-A，于是-k 是 A 的特征值 (2)设 的特征值为 ，则 A=
13、 T=TA=(AT)T=(-A)T=-T 不为 0，则 T=0 (3)A 为实反对称矩阵，则由上例知道，-A 2=ATA的特征值都是非负实数，从而 A2 的特征值都是非正实数设 是 A 的特征值，则2 是 2 的特征值，因此 20，于是 为 0，或为纯虚数【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化19 【正确答案】 由特征多项式E-A= =(-2)(+1)2，得到矩阵 A 的特征值 1=2， 2=3=-1由(2E-A)x=0 得基础解系 1=(5，-2，9) T，即=2 的特征向量是 k11(k10)由(-E-A)x=0 得基础解系 2=(1，-1，0) T，即 =-1 的特征向量是 k22
14、(k20)因为矩阵 A 只有 2 个线性无关的特征向量，所以 A 不能相似对角化【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化20 【正确答案】 因为 A= =B-E，而 r(B)=1，则有AE-B= 3-62所以矩阵 B 的特征值是 6，0，0故矩阵 A 的特征值是 5，-1，-1又行列式A=5，因此 A*的特征值是 1，-5 ，-5矩阵 B 属于 =6 的特征向量是 1=(1， 1，1) T，属于 =0 的特征向量是 2=(-1，1，0) T 和 3=(-1，0，1) T因此 A*属于 =1 的特征向量是 k11(k10)，属于 =-5 的特征向量是 k22+k33(k2，k 3不全为 0)
15、【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化21 【正确答案】 由特征多项式E-A= =(-1)2(+2)，知矩阵 A 的特征值为 1=2=1， 3=-2因为矩阵 A 可以相似对角化，故 r(E-A)=1而 所以 x=-6当 =1 时，由(E-A)x=0 得基础解系 1=(-2，1，0) T， 2=(0，0，1) T当 =-2 时，由(-2E-A)x=0 得基础解系 3=(-5，1，3) T那么，令 P=(1， 1， 3)= ，得 P-1AP=【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化22 【正确答案】 因为矩阵 A 不可逆，有A=0，从而 =0 是 A 的特征值由于矩阵 A 有 3 个不同
16、的特征值，则 AA= 于是 P-1AP=A那么 P-1A2P=A2因此 P-1BP=P-1A2P-P-1AP-2E= 所以矩阵 B 的特征值是1=2=0， 3=-2，且 B 可以相似对角化【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化23 【正确答案】 由 r(A)=2 知A=0，所以 =0 是 A 的另一特征值设矩阵 A属于 =0 的特征向量 =(x1，x 2，x 3)T，由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有 解出此方程组的基础解系 =(-1，1，1)T那么 A(1， 2，)=(6 1，6 2，0)，用初等变换法解此矩阵方程得【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化24 【正确答案】 因为 AB，有 P-1AP=B，那么 B2=P-1A2P=P-1AP=B【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化25 【正确答案】 若 1+2+3 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，即 A( 1+2+3)=(1+2+3) 又 A(1+2+3)=A1+A2+A3=11+22+33，于是 (- 1)1+(-2)2+(-3)3=0 因为 1， 2， 3 线性无关，故 -1=0，- 2=0，- 3=0 即1=2=3【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化
