1、考研数学二（特征向量与特征值，相似，对角化）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 A 是 4 阶实对称矩阵，A 2+2A=0，r(A)=3，则 A 相似于( )二、填空题2 A 是 3 阶矩阵，它的特征值互不相等，并且A=0，则 r(A)=_3 已知 A= 可对角化， a=_，作可逆矩阵 P=_，使得 P-1AP，为对角矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 设 是 n 维非零列向量，记 A=E-T证明 T1 A 可逆5 设 n 阶矩阵 A 满足 A4+2A3-5A2+2A+5E=0证明 A-2E 可逆6 设 A= ，B=
2、U -1A*U求 B+2E 的特征值和特征向量7 设 A 和 B 都是可相似对角化的 n 阶矩阵，证明 A 和 B 相似 A 和 B 的特征值完全相同8 证明 3 阶矩阵 A= 相似9 已知 3 阶矩阵 A= 有一个二重特征值，求 a，并讨论 A 是否相似于对角矩阵10 设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是线性的无关 3 维列向量组，满足 A1=1+22+23，A 2=21+2+23，A 3=21+22+3 (1)求 A 的特征值 (2)判断A 是否相似于对角矩阵?11 A= ，求 A 的特征值判断 a，b 取什么值时 A 相似于对角矩阵?12 已知 A= .(1)求 x，y(2)求作
3、可逆矩阵 U，使得 U-1AU=B13 设 A= (1)问 k 为何值时 A 可相似对角化 ?(2)此时作可逆矩阵U，使得 U-1AU 是对角矩阵14 已知 A= ，a 是一个实数(1)求作可逆矩阵 U，使得 U-1AU 是对角矩阵(2)计算 A-E15 设 ， 都是 n 维非零列向量，A= T证明： A 相似于对角矩阵 T016 设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是线性无关的 3 维列向量组，满足 A1=1+2+3，A 2=22+3，A 3=22+33 (1) 求作矩阵 B，使得 A(1， 2， 3)=(1， 2， 3)B (2)求 A 的特征值 (3) 求作可逆矩阵 P，使得 P-
4、1AP 为对角矩阵17 已知 n 阶矩阵 A 满足(A-aE)(A-bE)=0，其中 ab，证明 A 可对角化18 A 是 n 阶矩阵，数 ab证明下面 3 个断言互相等价：(1)(A-aE)(A-bE)=0(2)r(A-aE)+r(A-bE)=n(3)A 相似于对角矩阵，并且特征值满足(-a)(-b)=019 构造正交矩阵 Q，使得 QTAQ 是对角矩阵20 设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和都为 3，向量 1=(-1，2，-1) T， 2=(0，-1，1) T 都是齐次线性方程组 AX=0 的解 (1)求 A 的特征值和特征向量 (2)求作正交矩阵 Q 和对角矩阵 ，使得 QTAQ=
5、A (3) 求 A 及A-(32)E 621 A= ，正交矩阵 Q 使得 QTAQ 是对角矩阵，并且 Q 的第 1 列为(1， 2，1) T求 a 和 Q22 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1，2，3， 1=(-1，-1，1) T 和 2=(1，-2，-1) T分别是属于 1 和 2 的特征向量，求属于 3 的特征向量，并且求 A23 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1，2，-2， 1=(1，-1，1) T 是 A 的属于 1 的特征向量记 B=A5-4A3+E (1)求 B 的特征值和特征向量 (2)求 B24 设 是一个 n 维非零实列向量构造 n 阶实对称矩阵 A，使得它的秩=
6、1，并且 是 A 的特征向量，特征值为非零实数 A25 设 B 是 3 阶实对称矩阵，特征值为 1，1，-2，并且 =(1，-1，1) T 是 B 的特征向量，特征值为-2求 B考研数学二（特征向量与特征值，相似，对角化）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 用排除法 由于 A2+2A=0，A 的特征值满足 2+2=0，因此只可能是0 或-2于是和它相似的矩阵的特征值也只可能是 0 或-2(A)(B)中的矩阵的特征值中都有 2 因此不可能相似于 A，都可排除 又 r(A)=3，和它相似的矩阵的秩也应该是 3，(C
7、) 中矩阵的秩为 2，也可排除【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化二、填空题2 【正确答案】 2【试题解析】 A 的特征值互不相等，因此相似于对角矩阵，并且对角线上的元素就是 A 的特征值，为 3 个互不相等数其中有一个为 0(因为A=0)，则 r(A)=2【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化3 【正确答案】 0；【试题解析】 A 的特征值为 6，6，-2 1=(1，2，0) T， 2=(0，0，1) T 都是属于 6的特征向量； 3=(1，-2 ，0) T 是属于-2 的特征向量令 P=(1， 2， 3)，则 P-1AP=【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化三、解答题
8、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 【正确答案】 T 的特征值为 0，0， T，于是 A 的特征值为 1，1，1-T再用定理 51 的推论的，A 可逆 0 不是 A 的特征值 1-T0(即T1)【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化5 【正确答案】 A-2E 可逆 2 不是 A 的特征值因为 A4+2A3-5A2+2A+5E=0，所以 A 的特征值都是方程 4+23-52+2+5=0的根显然 2 不是这个方程的根，从而不是 A 的特征值【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化6 【正确答案】 本题可先求出 B+2E(先求 A*，再求 B，再求 B+2E)，然后求它的特征值与特
9、征向量，这样做计算量大一个简捷的解法是利用特征值与特征向量的性质来计算求特征值 A=C+E，其中 则 C 的特征值为0，0，6，从而 A 的特征值为 1，1，7A=117=7 根据定理 55 的，A *的特征值为 7，7，1 BA *，从而 B 和 A*特征值完全一样，也是7，7，1 B+2E 的特征值为 9，9，3 求特征向量 A *与 A 的对应特征值(指1 与 7，7 与 1)的特征向量一样，B+2E 与 B 对应特征值(指 7 与 9，1 与 3)的特征向量也一样，根据定理 58 的，A *= BU-1=U-1于是可以由 A 的特征向量来得到 B+2E 的特征向量 . 4 的属于 1
10、的特征向量就是 A*的属于 7 的特征向量，用 U-1 左乘后就是 B 的属于 7 的特征向量也就是 B+2E 的属于 9 的特征向量A 的属于 1 的特征向量，即(A-E)X=0 的非零解求得(A-E)X=0 的基础解系 1=(1，-1，0) T， 2=(1，0，-1) T于是 A 的属于 1 的特征向量的为 c21+c22，c 2，c 2 不全为 0求出 1=U-11=(-1，1，0) T， 2=U-12=(1，1，-1) T，则 B+2E 的属于 9 的特征向量为 c11+c22，c 2，c 2 不全为 0同理，A 的属于 7 的特征向量用 U-1 左乘后就是 B+2E 的属于 3 的特
11、征向量求出 A 的属于 7 的特征向量(即(A-7E)X=0 的非零解)为 c，c 不为 0，其中 =(1，1，1) T，记 =U-1=(0，1，1) T，则 B+2E 的属于 9的特征向量为 c，c0 【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化7 【正确答案】 “ ”是相似的重要性质 “ ”设 A 和 B 的特征值完全相同记全部特征值为 1， 2， n，构造对角矩阵 A，使得其对角线是的元素依次1， 2， n由于 A 和 B 都是可相似对角化，有 A，和 B ，再从相似关系的传递性，得到 AB【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化8 【正确答案】 证明它们的特征值相等，并且都相似于对
12、角矩阵(1)先说明特征值相等A=C+E，其中 则 C 的秩为 1，从而特征值为 0，0，3于是 A 的特征值为 1，1，4B 是上三角矩阵，特征值就是对角线上的元素，也是1，1，4(2)再说明它们都相似于对角矩阵A 是实对称矩阵，因此相似于对角矩阵用判断法则二，要说明 B 是相似于对角矩阵，只要对二重特征值 1，说明 n-r(B-E)=2，而 n=3，因此只要说明 r(B-E)=1B-E= r(B-E)确实为 1于是B 也相似于对角矩阵则 A 和 B 相似【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化9 【正确答案】 (1)求 aA 的特征多项式为=(-2)(2-8+18+3a)要使得它有二重根
13、，有两种可能的情况： 2 是二重根，即 2 是 2-8+18+3a 的根，即 4-16+18+3a=0，求出 a=-2，此时三个特征值为 2，2，6 2是一重根，则 2-8+18+3a 有二重根， 2-8+18+3a=(-4)2，求出 a=-23此时三个特征值为 2，4，4(2)讨论 A 是否相似于对角矩阵 当 a=-2 时，对二重特征值 2，考察 3-r(A-2E)是否为 2 7 即 r(A-2E)是否为 1A-2E= ，r(A-2E)=1，此时 A 可相似对角化 当 a=-23 时，对二重特征值 4，考察 3-r(A-4E)是否为 2!即 r(A-4E)是否为 1A-4E= ，r(A-4E
14、)=2，此时 A 不相似于对角矩阵.【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化10 【正确答案】 (1)用矩阵分解： A( 1， 2， 3)=(1+22+23，2 1+2+23，2 1+22+3)=(1， 2， 3)B，这里 从1， 2， 3 线性无关的条件知道，( 1， 2， 3)是可逆矩阵于是 A 相似于 B(1)B= -E 的秩为 1，其特征值为 0，0，6得 B的征值为-1 ，-1 ，5则 A 的征值也为-1，-1 ，5(2)B 是实对称矩阵，一定相似于对角矩阵，由相似的传递性，A 也相似于对角矩阵【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化11 【正确答案】 A 的特征值 0，5，
15、b如果 b0 和 5，则 A 的特征值两两不同，A 相似于对角矩阵如果 b=0，则 A 的特征值 0，0，5此时 A 相似于对角矩阵 特征值 0 的重数 2=3-r(A) r(A)=1 a=0于是： a=0 且 b=0 时 A 相似于对角矩阵；a0 且 b=0 时 A 不相似于对角矩阵；如果 b=5，则 A 的特征值0，5，5此时 而 r(A=5E)=2，特征值 5 的重数 23-r(A-5E) ，A 不相似于对角矩阵【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化12 【正确答案】 (1)A 与 B 相似，从而有相同的特征值 2，2，y2 是二重特征值，于是 r(A-2E)=1A-2E= 得 x
16、=5A 与 B 相似从而 tr(A)=tr(B)，于是 1+4+5=2+2+y得 y=6(2) 求属于 2 的两个线性无关的特征向量：即求(A-2E)X=0 的基础解系： 得(A-2E)X=0 的同解方程组 x1=-x2+x3，得基础解系 1=(1，-1 ，0) T， 2=(1，0，1)T求属于 6 的一个特征向量：即求(A-6E)X=0 的一个非零解：得(A-6E)X=0 的同解方程组得解 3=(1，-2，3) T 令 U=(1， 2， 3)，则 U-1AU=【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化13 【正确答案】 (1)求 A 的特征值：E-A = =(-1)(+1)2于是 A 的特
17、征值为 1(一重)和-1( 二重) 要使 A 可对角化，只需看特征值-1要满足 3-r(A+E)=2，即 r(A+E)=1， 得k=0， (2)求属于-1 的两个线性无关的特征向量，即求 (A+E)X=0 的基础解系： 得(A+E)X=0 的同解方程组 2x 1+x2-x3=0 得基础解系 1=(1，0，2) T， 2=(0， 1，1) T求属于 1 的一个特征向量，即求(A-E)X=0 的一个非零解： 得(A-E)X=0 的同解方程组 得解 3=(1，0，1) T令 U=(1， 2， 3)，则 U-1AU=【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化14 【正确答案】 (1)先求 A 的特征
18、值E-A = =(-a-1)2(-a+2)A 的特征值为 a+1(二重) 和 a-2(一重)求属于 a+1 的两个线性无关的特征向量，即求A-(a+1)EX=0 的基础解系：得A-(a+1)EX=0 的同解方程组 x 1=x2+x3，得基础解系 1=(1，l，0) T， 2=(1，0，1) T求属于 a-2 的一个特征向量，即求A-(a-2)EX=0 的一个非零解：得A-(a-2)EX=0 的同解方程组得解 3=(-1，1，1) T令 U=(1， 2， 3)，则 U-1AU=(2)A-E 的特征值为 a(二重)和 a-3，于是A-E=a 2(a-3)【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化
19、15 【正确答案】 A 的特征值为 0，0，0， T 由相似对角化的判别法则二，只用对重数大于 1 的特征值 0，检查其重数是否等于 n-r(A-0E)=n-r(A)=n-1 当T=0 时，0 的重数是 n，A 不能相似对角化 当 T0 时，0 的重数是 n-1，A 可相似对角化【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化16 【正确答案】 (1)用矩阵分解求出 (2)由于 1， 2， 3 线性无关，(1， 2， 3)是可逆矩阵，并且( 1， 2， 3)-1A(1， 2， 3)=B，因此 A 和 B 相似，特征值相同E-B= =(-1)(2-5+4)=(-1)2(-4)B 的特征值为 1，1，
20、4A 的特征值也为 1，1，4(3)先把 B 对角化求出 B 的属于 1 的两个线性无关的特征向量(1，-1，0) T，(0，2，-1) T；求出 B 的属于 4 的一个特征向量(0， 1，1) T构造矩阵 D-1BD= 令 P=(1， 2， 3)D=(1-2，2 2-3， 2+3)，则 P-1AP=D-1(1， 2， 3)-1A(1， 2， 3)D=D-1BD=【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化17 【正确答案】 首先证明 A 的特征值只能是 a 或 b 设 是 A 的特征值，则(-a)(-b)=0，即 =a 或 =b 如果 b 不是 A 的特征值，则 A-bE 可逆，于是由(A-
21、aE)(A-bE)=0 推出 A-aE=0，即 A=aE 是对角矩阵 如果 b 是 A 的特征值，则A-bE=0设 1， 2， t 是齐次方程组(A-bE)X=0 的一个基础解系(这里 t=n-r(A-bE)，它们都是属于 b 的特征向量取 A-bE 的列向量组的一个最大无关组1， 2， ， k，这里 k=r(A-bE)则 1， 2， k 是属于 a 的一组特征向量则有 A 的 k+t=n 个线性无关的特征向量组 1， 2， k； 1， 2， t，因此 A可对角化【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化18 【正确答案】 不妨设 a 和 b 都是 A 的特征值(因为如果 a 不是 A 的特
22、征值，则 3 个断言都推出 A=bE如果 b 不是 A 的特征值，则 3 个断言都推出 A=aE)(1)(2)用关于矩阵的秩的性质，由(A-aE)(A-bE)=0得到： r(A-aE)+r(A-bE)n， r(A-aE)+r(A-bE)r(A-aE)-(A-bE)=r(b-a)E)=n，从而 r(A-aE)+r(A-bE)=n(2) (3)记ka， kb 分别是 a，b 的重数，则有 k an-r(A-aE) kbn-r(A-bE)两式相加得nka+kbn-r(A-aE)+n-r(A-bE)=n，于是其中“”都为”=”，从而和都是等式，并且 ka+kb=n ka+kb=n，说明 A 的特征值只
23、有 a 和 b，它们都满足(-a)(-b)=0和都是等式，说明 A 相似于对角矩阵(3) (1)A 的特征值满足(-a)(-b)=0，说明 A 的特征值只有 a 和 b设 B 是和 A 相似的对角矩阵，则它的对角线上的元素都是 a 或 b，于是 (B-aE)(B-bE)=O而(A-aE)(A-bE)相似于(B-aE)(B-bE)，因此(A-aE)(A-bE)=0【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化19 【正确答案】 (1)先求特征值E-A = =(-2)(-6)A的特征值为 0，2，6再求单位正交特征向量组属于 0 的特征向量是齐次方程组AX=0 的非零解， 求得一个非零解为(1，1，
24、 -1)T，单位化得 1= (1，1，-1) T属于 2 的特征向量是齐次方程组(A-2E)X=0 的非零解， 得 AX=0 的同解方程组求得一个非零解为(1，-1，0) T，单位化得 2= (1，-1，0) T属于 6的特征向量是齐次方程组(A-6E)X=0 的非零解，得 AX=0 的同解方程组 求得一个非零解为(1，1，2) T，单位化得 3= (1，1， 2)T作正交矩阵 Q=(1， 2， 3)，则 QTAQ=Q-1AQ= (2)先求特征值E-A= =(-1)2(-10)A 的特征值为 1， 1，10再求单位正交特征向量组属于 1 的特征向量是齐次方程组(A-E)X=0 的非零解， 得(
25、A-E)X=0 的同解方程组 x1+2x2-2x3=0，显然 1=(0，1 ，1) T 是一个解第 2 个解取为2=(c，-1，1) T(保证了与 1 的正交性!)，代入方程求出 c=4，即 2=(4，-1，1) T令1=1 1= (0，1，1) T， 2 是= 2 2= (4，-1，1) T再求出属于 10 的特征向量是齐次方程组(A-10E)X=0 的非零解(1，2，-2) T，令 3=3 3=(1，2，-2)T 3作正交矩阵 Q=(1， 2， 3)则 QTAQ=Q-1AQ=【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化20 【正确答案】 (1)条件说明 A(1，1，1) T=(3，3，3)
26、 T，即 0=(1，1，1) T 是 A 的特征向量，特征值为 3又 1， 2 都是 AX=0 的解说明它们也都是 A 的特征向量，特征值为 0由于 1， 2 线性无关，特征值 0 的重数大于 1于是 A 的特征值为3，0，0属于 3 的特征向量：c 0，c0 属于 0 的特征向量：c 11+c22，c 1，c 2 不都为 0(2)将 0 单位化，得 0= 对 1， 2 作施密特正交化，得作 Q=(0， 1， 2)，则 Q 是正交矩阵，并且 QTAQ=Q-1AQ= (3)建立矩阵方程 A(0， 1， 2)=(30，0，0)，用初等变换法求解：得 由 Q-1AQ= 得 A=Q Q-1于是 A-(
27、32)E= Q-1A-(32)E 6=(32) 6E【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化21 【正确答案】 Q -1AQ=QTAQ 是对角矩阵，说明 Q 的列向量都是 A 的特征向量，于是(1 ，2，1) T 也是 A 的特征向量 (1，2，1) T 和(2，5+a，4+2a) T 相关，得 a=-1，并且(1，2，1) T 的特征值为 2A 的特征值为2，5，-4 下面来求它们的单位特征向量 1= (1，2，1) T 是属于 2 的单位特征向量 则(1，-1，1) T 是属于 5 的特征向量，单位化得 2= (1，-1，1) T 则(1，0， -1)T 是属于-4 的特征向量，单位化
28、得 3= (1，0，-1) T则Q=(1， 2， 3)( 不是唯一解，例如 (1， 3， 2)，( 1，- 2，- 3)，( 1，- 3，- 2)等也都适合要求)【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化22 【正确答案】 属于 3 的特征向量和 1， 2 都正交，从而是齐次方程组的非零解解此方程组，得 3=(1，0，1) T 构成它的一个基础解系于是属于 3 的特征向量应为(k，0，k) T，k0建立矩阵方程 A(1， 2， 3)=(1，2 2，3 3)，用初等变换法解得【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化23 【正确答案】 (1)记 f(x)=x5-4x3+1，则 B 的特征值为
29、 f(1)=-2，f(2)=1 ，f(-2)=1 1=(1， -1，1) T 是 A 的属于 1 的特征向量，则它也是 B 的特征向量，特征值-2B的属于-2 的特征向量为 c1，c0B 也是实对称矩阵，因此 B 的属于特征值 1 的特征向量是与 1 正交的非零向量，即是 x1-x2+x3=0 的非零解求出此方程的基础解系 2=(1， 1，0) T， 3=(0，1，1) T，B 的属于特征值 1 的特征向量为 c12+c23，c 1，c 2 不全为 0(2)B( 1， 2， 3)=(-21， 2， 3)解此矩阵方程得【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化24 【正确答案】 T 是 n 阶实对称矩阵，秩为 1，并且 是 T 的特征向量，特征值为 T=(，)和题目要求只差在 的特征值上于是记 c=( ，)，设A=cT，则 A 是 n 阶实对称矩阵，秩=1，并且 A=c T=c(，)=【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化25 【正确答案】 记 A=B-E，则 A 是 3 阶实对称矩阵，特征值为 0，0，-3，因此秩为 1用上题的结论，可知 A=cT，其中 c=-3(，)=-1，即 A=-T于是B=A+E=-T+E= .【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化
