1、考研数学二（特征向量与特征值，相似，对角化）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 n 阶非零矩阵，E 是 n 阶单位矩阵，若 A3=0，则( )（A）E-A 不可逆， E+A 不可逆（B） E-A 不可逆，E+A 可逆（C） E-A 可逆，E+A 可逆（D）E-A 可逆， E+A 不可逆二、填空题2 已知 A= ，A=-1 ，(-1， -1，1) T 是 A*的特征向量，特征值为 a=_，b=_ ，c=_ ，=_3 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2，3，如果2A=-48，则 =_4 A 是 3 阶矩阵，特征值为 1，2，2则4
2、A -1-E =_5 计算行列式 =_.6 计算 =_.7 计算行列式 =_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 如果 n 阶矩阵 A 的秩 r(A)1，(n 1)，则 A 的特征值为 0，0，0，tr(A)9 设 ， 都是 n 维列向量时，证明 T 的特征值为 0，0，0， T 如果 不是零向量，则 是 T 的特征向量，特征值为 T10 如果两个 n 阶矩阵 A，B 中有一个可逆，则 AB 和 BA 相似11 已知 =(1，1，-1) T 是 A= 的特征向量，求 a，b 和 的特征值12 已知 = 是可逆矩阵 A= 的伴随矩阵 A*的特征向量，特征值求 a，b，13 设
3、3 阶矩阵 A 有 3 个特征向量 1=(1，2，2) T， 2=(2，-2 ，1) T， 3=(-2，-1，2)T，它们的特征值依次为 1，2，3，求 A14 设 3 阶矩阵 A 有 3 个特征向量 1=(1，1，1) T， 2=(1，2，4) T， 3=(1，3，9) T，它们的特征值依次为 1，2，3又设 =(1，1，3) T，求 An15 求 A= 的特征值和特征向量16 求 A 的特征值17 设 求 A 和 A-1+E 的特征值18 A 是 2 阶矩阵，2 维列向量 1， 2 线性无关，A 1=1+2，A 2=41+2求 A 的特征值和A19 设 3 阶矩阵 A 的各行元素之和都为
4、2，又 1=(1，2，2) T 和 2=(0，2，1) T 分别是(A-E)X=0 的(A+E)X=0 的解 (1)求 A 的特征值与特征向量 (2) 求矩阵 A20 A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且 (1)求 A 的特征值与特征向量 (2)求矩阵 A21 设 4 阶矩阵 A 满足 A3=A (1) 证明 A 的特征值不能为 0，1，和-1 以外的数 (2)如果 A 还满足 A+2E=8，确定 A 的特征值22 已知 3 阶矩阵 A 满足A+E=A-E= 4E-2A =0 ，求A 3-5A223 设 =(1， 2，-1) 2，=(-2，1，-2) 2，A=E- T求A 2-2A+2E2
5、4 设 =(1， 0，-1) T，A= T，求aE-A n25 计算26 已知 n 阶矩阵 A 满足 A3=E (1)证明 A2-2A-3E 可逆 (2)证明 A2+A+2E 可逆考研数学二（特征向量与特征值，相似，对角化）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A3=0，所以 A 的特征值满足 3=0则 A 的特征值都是 01 和-1 都不是 A 的特征值，因此 E-A 和 E+A 都可逆【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化二、填空题2 【正确答案】 2；-3；-2；1【知识模块】 特征向量与特征值
6、，相似，对角化3 【正确答案】 -1【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化4 【正确答案】 3【试题解析】 A -1 的特征值为 1，12，124A -1-E 的特征值为 3，1，1，4A -1-E=3.【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化5 【正确答案】 x 3(4+x)【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化6 【正确答案】 x 1x2x3x4+a1b1x2x3x4+a2b2x1x3x4+a3b3x1x2x4+a4b4x1x2x3【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化7 【正确答案】 4+4a+2b-4c-2d【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化三、解答题解
7、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】 因为 r(A)n，所以 0 是 A 的特征值，特征值 O 的重数n-r(A)n-1即 A 的特征值中至少有 n-1 个是 0另外一个特征值为 tr(A)【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化9 【正确答案】 方法一 用上例的结论r( T)1，因此 T 的特征值为0，0，0，tr( T) 设 =(a1，a 2，a n)T，=(b 1，b 2，b n)T，则 T 的对角线元素为 a1b1，a 2b2， ，a nbn，于是 tr( T)=a1b1+a2b2+anbn=T 方法二 记A=T，则 A2=TT=(T)A，于是根据定理 52 的推
8、论，A 的特征值都满足等式 2=(T)A，即只可能是 0 和 T 如果 T=0，则 A 的特征值都是 0 如果T0，则根据定理 53 的 ，A 的所有特征值之和为 tr(A)=T，它们一定是 n-1个为 0，一个为 T 仍记 A=T，则 A=T=(T)，因此则 是 A 的特征向量，特征值为 T【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化10 【正确答案】 不妨设 A 可逆，则 A-1(AB)A=BA，因此 AB 和 BA 相似【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化11 【正确答案】 由 A=，得 于是-1=，2+a=，1+b=-，解出 =-1，a=-3，b=0【知识模块】 特征向量与特征
9、值，相似，对角化12 【正确答案】 由 A 可逆知 也是 A 的特征向量有 A=0于是可如同上题，求出 a，b 和 0而 = A 0 于是3+b=0，2+2b= 0b，1+a+b= 0，第 1，3 两式相减 a=2，从而求出A =4由第1，2 两式得 2+2b=(3+b)b，即 b2+b-2=0解得 b=1 或-2当 b=1 时， 0=4，=1，当 b=-2 时， 0=I，=4【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化13 【正确答案】 建立矩阵方程 A(1， 2，73)=( 1，2 2，3 3)，用初等变换法求解：( 1， 2， 3)T(1， 2， 3)T) 得【知识模块】 特征向量与特征
10、值，相似，对角化14 【正确答案】 把 表示为 1， 2， 3 线性组合，即解方程 x11+x22+x33=，得到 =21-22+3 线，于是 An=An(21-22+3)=2An1-2An2+An3=21-2n+12+3n3=(2-2n+1+3n，2-2 n+2+3n+1，2-2 n+3+3n+2)T【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化15 【正确答案】 (1)特征值的计算可按常规方法计算特征值：求出 A 的特征多项式，求其根得特征值但本题可利用特征值的性质很容易求出特征值r(A)=1，tr(A)=4 利用特征值的性质直接可得到 A 的特征值为 0，0，0，4(不用性质，也可这样计算
11、：r(A)=1，即 r(A-0E)=1，于是 0 是 A 的特征值，并且其重数 k4-r(A)=3即 A 的 4 个特征值中至少有 3 个为 0于是第 4 个特征值为 tr(A)=4)(2)求特征向量属于 0 的特征向量是 AX=0 的非零解AX=0 和 x1+x2+x3+x4=0 同解得 AX=0 的一个基础解系 1=(1，-1，0，0) T， 2=(1，0，-1，0) T， 3=(1，0，0，-1) T属于 0 的特征向量的一般形式为 c11+c22+c33，c 1，c 2，c 3 不全为 0属于 4 的特征向量是(A-4E)X=0 的非零解得(A-4E)X=0 的同解方程组 得(A-4E
12、)X=0 的基础解系 =(1，1，1，1)T属于 4 的特征向量的一般形式为 c，c0【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化16 【正确答案】 A+3E 就是一个秩为 1 的矩阵了，于是 A=A+3E-3E，用定理55 的，就容易求特征值了A= -3E 的秩为 1，因此特征值为 0，0，6A 的特征值为-3，-33【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化17 【正确答案】 A 的特征多项式=(-1)(2+4-5)=(-1)2(+5)得到 A 的特征值为 1(二重)和-5A -1 的特征值为 1(二重)和-15A -1+E 的特征值为 2(二重)和 45【知识模块】 特征向量与特征值，
13、相似，对角化18 【正确答案】 方法一先找 A 的特征向量由于 1， 2 线性无关，每个 2 维向量都可以用它们线性表示于是 A 的特征向量应是 1， 2 的非零线性组合c11+c22，由于从条件看出 1 不是特征向量，c 2 不能为 0，不妨将其定为 1，即设=c1+2 是 A 的特征向量，特征值为 ，则 A=， A=A(c 1+2)=c(1+2)+41+2=(c+4)1+(c+1)2，则 (c+4) 1+(c+1)2=(c1+)，得 c+4=c，c+1= 解得c=2 或-2 ，对应的特征值 分别为 3，-1A=-3方法二 A(1，)=(1+2，4 1+2)，用矩阵分解法，得( 1+2，4
14、1+2)=(1， 2) 记B= ，则 A(1， 2)=(1， 2)B由于 1， 2 线性无关，( 1， 2)是可逆矩阵，于是 A 相似于 BA 和 B 的特征值一样E-B= =(+1)(-3)得 A 的特征值为-1 ， 3A=-3 【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化19 【正确答案】 (1) 1=(1，2，2) T 是(A-E)X=0 的解，即 A1=1，于是 1 是 A 的特征向量，特征值为 1同理得 2 是 A 的特征向量，特征值为-1记 3=(1，1，1)T，由于 A 的各行元素之和都为 2，A 3=(2，2，2) T=23，即 3 也是 A 的特征向量，特征值为 2于是 A
15、的特征值为 1，-1，2属于 1 的特征向量为 c1，c0 属于-1的特征向量为 c2，c0属于 2 的特征向量为 c3，c0(2)建立矩阵方程A(1， 2， 3)=(1，- 2，2 3)，用初等变换法解得【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化20 【正确答案】 (1)由条件得 A(1，2，-1) T=(-3，-6，3)，A(1，0，1) T=(3，0，3)，说明(1 ，2，-1) T 和(1，0，1) T 都是 A 的特征向量，特征值分别为 -3 和 3A 的秩为2维数 3，于是 0 也是 A 的特征值A 的特征值为-3，3，0属于-3 的特征向量为 c(1，2，-1) T，c0属于
16、3 的特征向量为 c(1，0，1) T，c0 属于 0 的特征向量和(1， 2，-1) T，(1，0，1) T 都正交，即是方程组的非零解，解出属于 0 的特征向量为：c(-1，1，1) T，c0(2) 利用 A 的 3 个特征向量，建立矩阵方程求 A用初等变换法解得【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化21 【正确答案】 (1)由于 A3=A，A 的特征值 满足 3=A，从而 只能为 0，1 或-1(但并非 0，1，-1 都一定是 A 的特征值!) (2)由 A 的特征值不是 0，1，-1 外的数，得知 A+2E 的特征值不是 2，3，1 之外的数又由于A+2E=8 ，必有A+2E 的
17、特征值为 2，2，2，1，从而 A 的特征值为 0，0，0，-1【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化22 【正确答案】 条件说明-1，1，2 是 A 的特征值 得出 A3-5A2 的 3 个特征值：记 f(x)=x3-5x2，则 A3-5A2 的 3 个特征值为 f(-1)=-6，f(1)=-4 ，f(2)=-12 A 3-5A2=(-4)(-6)(-12)=-288 【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化23 【正确答案】 用特征值计算 T=2，于是 T 的特征值为 0，0，2，从而 A 的特征值为 1，1，=1，A 2-2A+2E 的特征值为 1，1，5于是A 22A+2E=
18、115=5【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化24 【正确答案】 利用 A 容易计算其方幂，求出矩阵 aE-An 后再计算行列式A n=(T)n=(T)n-1A=2n-1 aE-An=aE-A n=a(a-2 n-1)2-(2n-1)2=a2(a-2n)【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化25 【正确答案】 记矩阵则所求为AA=B+cE ，而 B= (b1，b 2，b 3，b 4)于是 B 的特征值为0，0，0，a 1b1+a2b2+a3b3+a4b4 从而 A 的特征值为c，c，c，a 1b1+a2b2+a3b3+a4b4+c则A=c 3(a1b1+a2b2+a3b3+a4b
19、4+c).【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化26 【正确答案】 通过特征值来证明，矩阵可逆的充要条件是 0 不是它的特征值 由于 A3=E，A 的特征值都满足 3=1 (1)A 2-2A-3E=(A-3E)(A+E)，3 和-1 都不满足3=1，因此都不是 A 的特征值于是(A-3E)和(A+E)都可逆，从而 A2-2A-3E 可逆 (2)设 A 的全体特征值为 1， 2， n，则 A2+A+2E 的特征值i2+i+2，i=1，2，n 由于 i3=1， i 或者为 1，或者满足 i2+i+1=0于是i2+i+2 或者为 4，或者为 1，总之都不是 0因此 A2+A+2E 可逆【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化
