1、考研数学二（特征向量与特征值、相似、对角化）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 是 A 的一个特征值，则伴随矩阵 A*的一个特征值是（A） -1A n-1（B） -1A（C） A（D）A n-12 设 2 是可逆矩阵 A 的一个特征值，则 ( A2)-1E 的一个特征值是（A）（B）（C）（D）3 设 A 是 3 阶不可逆矩阵， 1， 2 是 A0 的基础解系， 3 是属于特征值 1 的特征向量，下列不是 A 的特征向量的是（A） 13 2（B） 1 2（C） 1 3（D）2 34 设 0 是 A 属于特征值
2、 0 的特征向量，则 0 不一定是其特征向量的矩阵是（A）(AE) 2（B） 2A（C） AT（D）A *二、填空题5 设 A 是 n 阶可逆矩阵，A 是 A 的特征值，则(A *)2E 必有特征值_6 已知2 是 A 的特征值，则 _7 设 A 是秩为 2 的 3 阶实对称矩阵，且 25A0，则 A 的特征值是_8 已知 (1，1，1) T 是矩阵 A 的特征向量，则_9 设 A 是 3 阶矩阵，且各行元素之和都是 5，则 A 必有特征向量_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 已知 A ，求 A 的特征值、特征向量，并判断 A 能否相似对角化，说明理由11 已知 A ，A
3、 *是 A 的伴随矩阵，求 A*的特征值与特征向量12 已知 A 可对角化，求可逆矩阵 P 及对角矩阵，使 P-1APA13 已知 A 是 3 阶不可逆矩阵，1 和 2 是 A 的特征值，BA 2A 2E，求 B 的特征值，并问 B 能否相似对角化，并说明理由14 设 3 阶矩阵 A 的特征值 11， 22， 33 对应的特征向量依次为1 (1，1，1) T， 2(1 ，2，4) T， 3(1，3，9) T()将向量 (1，1，3) T 用1， 2， 3 线性表出；()求 An15 设矩阵 A 可逆，向量 是矩阵 A*的特征向量，其中 A*是A 的伴随矩阵，求 a，b 的值16 设 3 阶实对
4、称矩阵 A 的秩为 2， 1 26 是 A 的二重特征值，若1 (1，1，0) T， 2(2 ，1，1) T， 3(1，2，3) T 都是 A 属于 6 的特征向量，求矩阵 A17 已知 AB，A 2A，证明 B2B18 已知 A20，A0，证明 A 不能相似对角化19 已知 1， 2， 3 是 A 的特征值， 1， 2， 3 是相应的特征向量且线性无关，如1 2 3 仍是 A 的特征向量，则 1 2 320 设 ， 都是 n 维列向量时，证明： T 的特征值为 0，0，0， T 如果 不是零向量，则 是 T 的特征向量，特征值为 T21 已知 (1，1，1) T 是 A 的特征向量，求 a，
5、b 和 的特征值 22 已知 是可逆矩阵 A 的伴随矩阵 A*的特征向量，特征值求 a，b，23 设 3 阶矩阵 A 有 3 个特征向量 1(1，2，2) T， 2(2，2，1)T， 3 (2， 1，2) T，它们的特征值依次为 1， 2，3，求 A24 设 3 阶矩阵 A 有 3 个特征向量 1(1，1，1) T， 2(1，2，4) T， 3(1，3，9)T，它们的特征值依次为 1，2，3又设 (1，1， 3)T，求 An25 求 A 的特征值和特征向量26 求 A 的特征值A27 设 A 求 A 和 A-1E 的特征值28 A 是 2 阶矩阵，2 维列向量 1， 2 线性无关，A 1 1
6、2，A 24 1 2求A 的特征值和A29 设 3 阶矩阵 A 的各行元素之和都为 2，又 1(1，2，2) T 和 2(0，2，1) T 分别是(A E)X0 的(AE)X0 的解 (1)求 A 的特征值与特征向量 (2)求矩阵 A30 A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且 (1)求 A 的特征值与特征向量 (2)求矩阵 A31 设 4 阶矩阵 A 满足 A3A (1)证明 A 的特征值不能为 0，1，和1 以外的数 (2)如果 A 还满足A2E8，确定 A 的特征值32 已知 3 阶矩阵 A 满足AEAE 4E2A0，求A 35A 233 设 (1 ， 0，1) T，A T，求aEA
7、n考研数学二（特征向量与特征值、相似、对角化）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 特征向量与特征值、相似、对角化2 【正确答案】 C【知识模块】 特征向量与特征值、相似、对角化3 【正确答案】 C【试题解析】 A 10，A 20，A 3 3则 A(13 2)0，A( 1 2)0，A(2 3) 23因此选项 A、B、D 都正确 A( 1 3) 3，和 1 3 不相关，因此 1 3 不是特征向量，故应选 C【知识模块】 特征向量与特征值、相似、对角化4 【正确答案】 C【试题解析】 由EA T(EA) TEA，知
8、A 与 AT 有相同的特征值，但方程组(E A) 0 与(E A T)0 不一定同解，故 A 与 AT 特征向量不一定相同故应选 C【知识模块】 特征向量与特征值、相似、对角化二、填空题5 【正确答案】 1【知识模块】 特征向量与特征值、相似、对角化6 【正确答案】 4【知识模块】 特征向量与特征值、相似、对角化7 【正确答案】 5，5，0【知识模块】 特征向量与特征值、相似、对角化8 【正确答案】 4【试题解析】 设 A，即 亦即4【知识模块】 特征向量与特征值、相似、对角化9 【正确答案】 【试题解析】 因为各行元素之和都是 5，即 亦即从而 所以矩阵 A 必有特征向量【知识模块】 特征向
9、量与特征值、相似、对角化三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 由特征多项式 EA (2)(1) 2， 得到矩阵 A 的特征值 12， 2 31 由(2E A) 0 得基础解系1 (5，2， 9)T，即 2 的特征向量是 k11(k10) 由(EA)0 得基础解系2 (1，1， 0)T，即 1 的特征向量是 k22(k20) 因为矩阵 A 只有 2 个线性无关的特征向量，所以 A 不能相似对角化【知识模块】 特征向量与特征值、相似、对角化11 【正确答案】 因为 A B E，而 r(B)1，则有EB 36 2所以矩阵 B 的特征值是 6，0，0 故矩阵 A 的特征
10、值是5，1，1又行列式A5，因此 A*的特征值是 1，5，5 矩阵 B 属于 6 的特征向量是 1 (1，1，1) T，属于 0 的特征向量是 2(1，1，0) T和 3 (1， 0，1) T因此 A*属于 1 的特征向量是 k11(k10)，属于 5 的特征向量是 k22k 33(k2，k 3 不全为 0)【知识模块】 特征向量与特征值、相似、对角化12 【正确答案】 由特征多项式 EA (1)2(2) ， 知矩阵 A 的特征值为 1 21， 32 因为矩阵 A 可以相似对角化，故 r(EA)=1而 EA 所以 6 当1 时，由(EA) 0 得基础解系 1( 2，1， 0)T， 2(0，0，
11、1) T 当2 时，由(2E A)0 得基础解系 3( 5，1，3) T 那么，令P( 1， 2， 3) ，得 P-1AP【知识模块】 特征向量与特征值、相似、对角化13 【正确答案】 因为矩阵 A 不可逆，有A0，从而 0 是 A 的特征值 由于矩阵 A 有 3 个不同的特征值，则 A 于是 P-1AP 那么P-1A2P 2因此 P -1BPP -1A2PP -1AP2E 所以矩阵 B 的特征值是 1 20， 32 ，且 B 可以相似对角化【知识模块】 特征向量与特征值、相似、对角化14 【正确答案】 () 设 11 22 33 ，即 12， 22， 31 故 2 12 2 3 ()A2A
12、12A 2A 3，则 A n2A n12A n2A n32 12.2 n23 n3【知识模块】 特征向量与特征值、相似、对角化15 【正确答案】 设 A*，由 AA*AE，有AA，即一：(a2)0 由矩阵 A 可逆，知 A*可逆那么特征值 0，所以 a2 b ：(b 2b2)0 知 b1 或b2【知识模块】 特征向量与特征值、相似、对角化16 【正确答案】 由 r(A) 2 知A0，所以 0 是 A 的另一特征值 设矩阵A 属于 0 的特征向量 ( 1， 2， 3)T，由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有 解出此方程组的基础解系(1，1， 1)T 那么 A(1， 2，)(6 1，6
13、 2，0)，用初等变换法解此矩阵方程得 A【知识模块】 特征向量与特征值、相似、对角化17 【正确答案】 因为 AB，有 P-1APB，那么 B2P -1A2PP -1APB【知识模块】 特征向量与特征值、相似、对角化18 【正确答案】 设 A，0，那么 A2 20从而 0 又因A0，r(A)1 ，所以 A 0 的基础解系有 nr(A)个向量，即 0 有 nr(A)个线性无关的特征向量 又 nr(A) n，所以 A 不能相似对角化【知识模块】 特征向量与特征值、相似、对角化19 【正确答案】 若 1 2 3 是矩阵 A 属于特征值 A 的特征向量，即 A(1 2 3)( 1 2 3) 又 A(
14、1 2 3)A 1A 2A 3 11 22 33，于是 ( 1)1( 2)2( 3)30 因为 1， 2， 3 线性无关，故 10， 20， 30 即 1 2 3【知识模块】 特征向量与特征值、相似、对角化20 【正确答案】 记 A T，则 A2 TT( T)A，于是 A 的特征值都满足等式 2( T)，即只可能是 0 和 T 如果 T0 ，则 A 的特征值都是 0 如果T0，则 A 的所有特征值之和为 tr(A) T，它们一定是 n1 个为 0，一个为T 仍记 A T，则 A T( T)，因此则 是 A 的特征向量，特征值为 T【知识模块】 特征向量与特征值、相似、对角化21 【正确答案】
15、由 A，得 于是1，2a，1b，解出 1，a 3，b0【知识模块】 特征向量与特征值、相似、对角化22 【正确答案】 由 A 可逆知 也是 A 的特征向量有 A 0于是求出 a，b 和0 而 A 0 于是3b 0，22b 0b，1ab 0，第 1，3 两式相减 a2，从而求出A4由第 1，2 两式得 22b(3b)b，即 b2b20解得解出 b1或2当 b1 时， 04， 1，当 b2 时， 01，4【知识模块】 特征向量与特征值、相似、对角化23 【正确答案】 建立矩阵方程 A(1， 2， 3)( 1，2 2，3 3)，用初等变换法求解：得 A(1 3)【知识模块】 特征向量与特征值、相似、
16、对角化24 【正确答案】 把 表示为 1， 2， 3 线性组合，即解方程11 22 33 ，得到2 12 2 3 线于是 A nA n(212 2 3)2A n12A n2A n32 12 n+123 n3 (2 2n+1 3n，22 n+2 3n+1，22 n+33 n+2)T【知识模块】 特征向量与特征值、相似、对角化25 【正确答案】 (1)特征值的计算 r(A)1，即 r(A0E) 1，于是 0 是 A 的特征值，并且其重数 k4r(A)3 即 A 的 4 个特征值中至少有 3 个为 0于是第 4 个特征值为 tr(A)4 (2) 求特征向量 属于 0 的特征向量是 AX0 的非零解A
17、X0 和 1 2 3 40 同解得AX0 的一个基础解系 1(1，1，0，0) T， 2(1，0，1，0)T， 3 (1，0 ，0，1) T属于 0 的特征向量的一般形式为 c11c 22c 33，c 1，c 2，c 3 不全为 0 属于 4 的特征向量是(A4E)X0 的非零解 A4E 得(A 4E)X0 的同解方程组 得(A 4E)X 0 的基础解系(1，1，1 ，1) T属于 4 的特征向量的一般形式为 c，c0【知识模块】 特征向量与特征值、相似、对角化26 【正确答案】 由题意得 A 3E， 的秩为 1，因此特征值为 0，0，6A 的特征值为3，3，3【知识模块】 特征向量与特征值、
18、相似、对角化27 【正确答案】 A 的特征多项式(1)(245)(1) 2(5) 得到 A 的特征值为 1(二重)和5 A -1 的特征值为1(二重 )和1 5 A -1 E 的特征值为 2(二重)和 45【知识模块】 特征向量与特征值、相似、对角化28 【正确答案】 A( 1，)( 1 2，4 1 2)，用矩阵分解法，得 (1 2，4 1 2)( 1， 2) 记 B ，则 A(1， 2)( 1， 2)B 由于 1， 2 线性无关， (1， 2)是可逆矩阵，于是 A 相似于 B A 和 B 的特征值一样 E B ( 1)( 3) 得 A 的特征值为1，3A3【知识模块】 特征向量与特征值、相似
19、、对角化29 【正确答案】 (1) 1(1，2，2) T 是(AE)X 0 的解，即 A1 1，于是 1 是 A的特征向量，特征值为 1 同理得 2，是 A 的特征向量，特征值为1 记3 (1，1，1) T，由于 A 的各行元素之和都为 2，A 3(2，2，2) T2 3，即 3 也是 A 的特征向量，特征值为 2 于是 A 的特征值为 1，1，2 属于 1 的特征向量为 c1，c0 属于1 的特征向量为 c2，c0 属于 2 的特征向量为c3， c0 (2)建立矩阵方程 A(1， 2， 3)( 1， 2，2 3)，用初等变换法求解：(1， 2， 3)T( 1， 2，2 3)T)【知识模块】
20、特征向量与特征值、相似、对角化30 【正确答案】 (1)由条件得 A(1，2，1) T( 3，6，3)，A(1 ，0，1)T (3，0，3)，说明(1，2，1) T 和(1，0，1) T 都是 A 的特征向量，特征值分别为3 和 3 A 的秩为 2维数 3，于是 0 也是 A 的特征值 A 的特征值为3，3，0 属于3 的特征向量为 c(1，2，1) T，c0 属于 3 的特征向量为c(1， 0，1) T，c0 属于 0 的特征向量和(1，2，1) T，(1，0，1) T 都正交，即是方程组 的非零解，解出属于 0 的特征向量为：c( 1，1，1) T，c0 (2)利用 A 的 3 个特征向量
21、，建立矩阵方程求 A用初等变换法求解：【知识模块】 特征向量与特征值、相似、对角化31 【正确答案】 (1)由于 A3A，A 的特征值 满足 3，从而 A 只能为 0，1 或1 (2)由 A 的特征值不是 0，1，1 外的数，得知 A2E 的特征值不是2，3，1 之外的数又由于A2E8，必有 A2E 的特征值为 2，2，2，1，从而 A 的特征值为 0，0，0，1【知识模块】 特征向量与特征值、相似、对角化32 【正确答案】 A 35A 2A 2(A5E) ，A 35A 2A 2A 5E A1(1)22，A5E 的特征值为4，6，3，A 5E (4)(6)( 3)72于是 A 35A 24(72)288【知识模块】 特征向量与特征值、相似、对角化33 【正确答案】 利用 A 容易计算其方幂，求出矩阵 aEA n 后再计算行列式 An( T)n( T)n-1A2 n-1 aEA naEA na(a 2n-1)2(2 n-1)2a 2(a2 n)【知识模块】 特征向量与特征值、相似、对角化
