1、考研数学二（特征向量与特征值、相似、对角化）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 n 阶非零矩阵，E 是 n 阶单位矩阵，若 A3=0，则( )（A）E A 不可逆，E+A 不可逆（B） EA 不可逆，E+A 可逆（C） EA 可逆，E+A 可逆（D）E A 可逆，E+A 不可逆2 A 是 4 阶实对称矩阵，A 2+2A=0，r(A)=3，则 A 相似于( )3 设 =2 是可逆矩阵 A 的一个特征值，则 +E 的一个特征值是4 设 0 是 A 的特征向量，则 0 不一定是其特征向量的矩阵是（A）(A+E) 2（B） 2A（C）
2、 AT（D）A *5 设 A 是 n 阶非零矩阵，A m=0，下列命题中不一定正确的是（A）A 的特征值只有零（B） A 必不能对角化（C） E+A+A2+Am1 必可逆（D）A 只有一个线性无关的特征向量二、填空题6 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2，3，如果2A=48，则 =_7 A 是 3 阶矩阵，它的特征值互不相等，并且A=0，则 r(A)=_8 已知2 是 A= 的特征值，则 x=_9 已知 =(1， 1，1) T 是矩阵 A= 的特征向量，则 x=_10 设 A 是 3 阶实对称矩阵，特征值是 0，1，2如果 1=(1，2，1) T 与2=(1， 1， 1)T 分别是 =0 与
3、=1 的特征向量，则 =2 的特征向量是_11 已知矩阵 A= 有两个线性无关的特征向量，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 如果 n 阶矩阵 A 的秩 r(A)1，(n 1)，则 A 的特征值为 0，0，0，tr(A)13 如果两个 n 阶矩阵 A，B 中有一个可逆，则 AB 和 BA 相似14 已知 = 是可逆矩阵 A= 的伴随矩阵 A*的特征向量，特征值 求a，b，15 设 3 阶矩阵 A 有 3 个特征向量 1=(1，1，1) T， 2=(1，2，4) T， 3=(1，3，9) T，它们的特征值依次为 1，2，3又设 =(1，1，3) T，求 An16 求
4、 A 的特征值17 A 是 2 阶矩阵，2 维列向量 1， 2 线性无关，A 1=1+2，A 2=41+2求 A 的特征值和A18 A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且 (1)求 A 的特征值与特征向量(2)求矩阵 A19 已知 3 阶矩阵 A 满足A+B= AE=4E2A =0，求A 35A 220 设 =(1， 0，1) T，A= T，求aEA n21 设 是 n 维非零列向量，记 A=E T证明 T1A 可逆22 证明 3 阶矩阵23 设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是线性的无关 3 维列向量组，满足 A1=1+22+23，A 2=21+2+23，A 3=21+22+3 (
5、1)求 A 的特征值 (2)判断A 是否相似于对角矩阵?24 已知 (1)求 x，y(2)求作可逆矩阵 U，使得 U1 AU=B25 已知 A= ，a 是一个实数(1)求作可逆矩阵 U，使得 U1 AU 是对角矩阵(2)计算 AE26 设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是线性无关的 3 维列向量组，满足 A1=1+2+3，A 2=22+3，A 3=22+33 (1) 求作矩阵 B，使得 A(1， 2， 3)=(1， 2， 3)B (2)求 A 的特征值 (3) 求作可逆矩阵 P，使得 P1 AP 为对角矩阵27 A 是 n 阶矩阵，数 ab证明下面 3 个断言互相等价：(1)(AaE)
6、(AbE)=0 (2)r(AaE)+r(AbE)=n(3)A 相似于对角矩阵，并且特征值满足(a)(b)=0 28 设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和都为 3，向量 1=(1，2，1)T， 2=(0，1，1) T 都是齐次线性方程组 AX=0 的解 (1)求 A 的特征值和特征向量 (2)求作正交矩阵 Q 和对角矩阵 ，使得 Q TAQ= (3) 求 A 及A(32)E629 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1，2，3， 1=(1，1，1) T 和2=(1，2，1) T 分别是属于 1 和 2 的特征向量，求属于 3 的特征向量，并且求A30 设 是一个 n 维非零实列向量构造 n
7、 阶实对称矩阵 A，使得它的秩=1，并且 是 A 的特征向量，特征值为非零实数 A31 已知实对称矩阵 A 满足 A3+A2+A3E=0，证明 A=E32 设 A 为反对称矩阵，则 (1)若 k 是 A 的特征值，k 一定也是 A 的特征值 (2)如果它的一个特征向量 的特征值不为 0，则 T=0 (3) 如果 A 为实反对称矩阵，则它的特征值或为 0，或为纯虚数33 已知 A= ，A *是 A 的伴随矩阵，求 A*的特征值与特征向量34 已知 A 是 3 阶不可逆矩阵，1 和 2 是 A 的特征值，B=A 2A 2E，求 B 的特征值，并问 B 能否相似对角化，并说明理由35 已知 AB，A
8、 2=A，证明 B2=B考研数学二（特征向量与特征值、相似、对角化）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A3=0，所以 A 的特征值满足 3=0则 A 的特征值都是 01 和1 都不是 A 的特征值，因此 EA 和 E+A 都可逆【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化2 【正确答案】 D【试题解析】 用排除法 由于 A2+2A=0，A 的特征值满足 2+2=0，因此只可能是0 或2于是和它相似的矩阵的特征值也只可能是 0 或2AB 中的矩阵的特征值中都有 2 因此不可能相似于 A，都可排除 又 r(
9、A)=3，和它相似的矩阵的秩也应该是 3，C 中矩阵的秩为 2，也可排除【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化3 【正确答案】 C【试题解析】 如 A=，则当 =2 时，知 +E有特征值 选 C【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化4 【正确答案】 C【试题解析】 由EA T= (E A) T=EA ，知 A 与 AT 有相同的特征值，但方程组(E A)x=0 与(E A T)x=0 不一定同解，故 A 与 AT 特征向量不一定相同故应选 C【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化5 【正确答案】 D【试题解析】 设 A=A，0，则 Am=m=0故 =0A 正确 因为A0，r(
10、A)1，那么 Ax=0 的基础解系有 nr(A)个解，即 A=0 有 nr(A)个线性无关的特征向量故 B 正确，而 D 不一定正确 由(EA)(E+A+A 2+Am1 )=EA m=E，知 C 正确 故应选 D【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化二、填空题6 【正确答案】 1【试题解析】 2A=8A，得A=6又A =23得 =1【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化7 【正确答案】 2【试题解析】 A 的特征值互不相等，因此相似于对角矩阵，并且对角线上的元素就是 A 的特征值，为 3 个互不相等数其中有一个为 0(因为A=0)，则 r(A)=2【知识模块】 特征向量与特征值，相
11、似，对角化8 【正确答案】 4【试题解析】 因为2 是矩阵 A 的特征值，所以由【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化9 【正确答案】 4【试题解析】 设 A=，即 ，亦即【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化10 【正确答案】 t(1，0，1) T，t0【试题解析】 设 =2 的特征向量是 =(x1，x 2，x 3)，则因实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有 所以 A=2 的特征向量是 t(1，0，1) T，t0【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化11 【正确答案】 1【试题解析】 由 A 的特征多项式 知矩阵 A 的特征值是 =1( 三重根)，因为 A 只有 2
12、 个线性无关的特征向量，故从而 a=1【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 因为 r(A)n，所以 0 是 A 的特征值，并且根据定理 54，特征值 0 的重数nr(A)n 1即 A 的特征值中至少有 n1 个是 0又根据定理53 的，另外一个特征值为 tr(A)【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化13 【正确答案】 不妨设 A 可逆，则 A1 (AB)A=BA，因此 AB 和 BA 相似【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化14 【正确答案】 由 A 可逆知 也是 A 的特征向量有 A=0于是求出 a，
13、b 和0而 =A 0 于是3+b=0，2+2b= 0b，1+a+b= 0，第 1，3 两式相减 a=2，从而求出A =4由第1，2 两式得 2+2b=(3+6)b，即 b2+b2=0 解得 b=1 或2当 b=1 时，0=4，=1 ，当 b=2 时， 0=1，A=4【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化15 【正确答案】 把 表示为 1， 2， 3 线性组合，即解方程 x11+x22+x33=，得到 =212 2+3线于是 An=An(212 2+3)=2An12A n2+An3=212 n+12+3n3=(22 n+1+3n，22 n+2+3n+1，22 n+3+3n+2)T【知识模块
14、】 特征向量与特征值，相似，对角化16 【正确答案】 A+3E 就是一个秩为 1 的矩阵了，于是 A=A+3E3E，用定理55 的，就容易求特征值了 的秩为 1，因此特征值为 0，0，6A 的特征值为3，3，3【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化17 【正确答案】 方法一 先找 A 的特征向量由于 1， 2 线性无关，每个 2 维向量都可以用它们线性表示于是 A 的特征向量应是 1， 2 的非零线性组合c11+c22，由于从条件看出 1 不是特征向量，c 2 不能为 0，不妨将其定为 1，即设=c1+2 是 A 的特征向量，特征值为 A，则 A=A，A=A(c 1+2)=c(1+2)+
15、41+2=(c+4)1+(c+1)2，则(c+4) 1+(c+1)2=A(c1+)，得 c+4=c，c+1=解得c=2 或2，对应的特征值 分别为 3，1A=3方法二 A( 1，)=( 1+2，4 1+2)，用矩阵分解法，得( 1+2，4 1+2)= 记 B= ，则 A(1， 2)=(1， 2)B由于 1， 2 线性无关，( 1， 2)是可逆矩阵，于是 A 相似于 B A 和 B 的特征值一样 得 A 的特征值为1，3A=3【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化18 【正确答案】 (1)由条件得 A(1，2，1) T=(3，6，3)，A(1 ，0，1)T=(3，0，3) ，说明(1 ，2
16、，1) T 和(1，0，1) T 都是 A 的特征向量，特征值分别为3 和 3A 的秩为 2维数 3，于是 0 也是 A 的特征值A 的特征值为3，3，0属于3 的特征向量为 c(1，2，1) T，c0 属于 3 的特征向量为c(1， 0，1) T，c0 属于 0 的特征向量和(1，2，1) T，(1，0，1) T 都正交，即是方程组 的非零解，解出属于 0 的特征向量为：c(1，1，1)T， c0(2)利用 A 的 3 个特征向量，建立矩阵方程求 A用初等变换法解得【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化19 【正确答案】 条件说明1，1，2 是 A 的特征值 得出 A35A 2 的 3
17、 个特征值：记 f(x)=x35x 2，则 A35A 2 的 3 个特征值为 f( 1)=6，f(1)=4，f(2)= 12 A 35A 2=(4)(6)(12)=288【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化20 【正确答案】 利用 A 容易计算其方幂，求出矩阵 aEA n 后再计算行列式aEA n=aa2 n1 )2(2 n1 )2=a2(a2 n)【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化21 【正确答案】 T 的特征值为 0，0， T，于是 A 的特征值为1，1，1 T 再用定理 51 的推论的， A 可逆 0 不是 A 的特征值1 T0(即 T1)【知识模块】 特征向量与特征值
18、，相似，对角化22 【正确答案】 证明它们的特征值相等，并且都相似于对角矩阵(1)先说明特征值相等A=C+E，其中 则 C 的秩为 1，从而特征值为 0，0，3于是 A 的特征值为 1，1，4B 是上三角矩阵，特征值就是对角线上的元素，也是1，1，4(2)再说明它们都相似于对角矩阵A 是实对称矩阵，因此相似于对角矩阵用判断法则二，要说明 B 是相似于对角矩阵，只要对二重特征值 1，说明nr(B E)=2，而 n=3，因此只要说明 r(BE)=1 r(BE)确实为 1于是 B 也相似于对角矩阵则 A 和 B 相似【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化23 【正确答案】 (1)用矩阵分解：A
19、( 1， 2， 3)=(1+22+23，2 1+2+23，2 1+22+3)=(1， 2， 3)B，这里 从1， 2， 3 线性无关的条件知道，( 1， 2， 3)是可逆矩阵于是 A 相似于 B的秩为 1，其特征值为 0，0，6得B 的征值为1，1，5则 A 的征值也为1， 1，5(2)B 是实对称矩阵，一定相似于对角矩阵，由相似的传递性，A 也相似于对角矩阵【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化24 【正确答案】 (1)A 与 B 相似，从而有相同的特征值 2，2，y2 是二重特征值，于是 r(A2E)=1 A 与 B 相似从而 tr(A)=tr(B)，于是 1+4+5=2+2+y得
20、y=6(2)求属于 2 的两个线性无关的特征向量：即求(A2E)X=0 的基础解系： 得(A 2E)X=0 的同解方程组 x 1=x 2+x3， 得基础解系 1=(1，1，0)T， 2=(1，0， 1)T 求属于 6 的一个特征向量：即求 (A6E)X=0 的一个非零解：得(A6E)X=0 的同解方程组得解 3=(1，2，3) T 令 U=(1， 2， 3)，则【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化25 【正确答案】 (1)先求 A 的特征值A 的特征值为 a+1(二重)和 a2(一重) 求属于 a+1 的两个线性无关的特征向量，即求A (a+1)EX=0 的基础解系： 得A(a+1)E
21、X=0 的同解方程组 x 1=x2+x3，得基础解系 1=(1，1，0) T， 2=(1，0，1) T 求属于 a2 的一个特征向量，即求A(a 2)EX=0 的一个非零解：得A(a 2)EX=0 的同解方程组得解 3=(1，1，1) T 令 U=(1， 2， 3)，则(2)AE 的特征值为 a(二重)和 a3，于是AE =a 2(a3) 【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化26 【正确答案】 (1)在第二章中，已经用矩阵分解求出 (2)由于1， 2， 3 线性无关，( 1， 2， 3)是可逆矩阵，并且( 1， 2， 3)1 A(1， 2， 3)=B，因此 A 和 B 相似，特征值相同
22、B 的特征值为 1，1，4A 的特征值也为 1，1，4(3)先把 B 对角化求出 B 的属于 1 的两个线性无关的特征向量(1，1，0) T，(0，2，1) T；求出 B 的属于 4 的一个特征向量(0 ，1，1) T构造矩阵 令 P=(1， 2， 3)D=(1 2，2 2 3， 2+3)，则 P1 AP=D1 (1， 2， 3)1 A(1， 2， 3)D=D1 BD=【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化27 【正确答案】 不妨设 a 和 b 都是 A 的特征值(因为如果 a 不是 A 的特征值，则 3 个断言都推出 A=bE如果 b 不是 A 的特征值，则 3 个断言都推出 A=aE
23、) (1)=(2) 用关于矩阵的秩的性质，由(AaE)(AbE)=0得到： r(AaE)+r(A bE)n， r(AaE)+r(AbE)r(A aE) (AbE)=r(ba)E)=n， 从而r(AaE)+r(AbE)=n (2)=(3) 记 ka，k b 分别是 a，b 的重数，则有 kanr(A aE) kbn r(AbE) 两式相加得 nka+kbnr(AaE)+nr(A bE)=n，于是其中 “”都为”=”，从而和都是等式，并且 ka+kb=n ka+kb=n，说明 A 的特征值只有 a 和 b，它们都满足 (a)(b)=0 和都是等式，说明 A 相似于对角矩阵 (3)=(1) A 的特
24、征值满足(a)( b)=0 ，说明 A的特征值只有 a 和 b设 B 是和 A 相似的对角矩阵，则它的对角线上的元素都是a 或 b，于是 (BaE)(BbE)=0 而(A aE)(A bE)相似于(BaE)(BbE)，因此(A aE)(AbE)=0【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化28 【正确答案】 (1)条件说明 A(1，1，1) T=(3，3，3) T，即 0=(1，1，1) T 是 A 的特征向量，特征值为 3又 1， 2 都是 AX=0 的解说明它们也都是 A 的特征向量，特征值为 0由于 1， 2 线性无关，特征值 0 的重数大于 1于是 A 的特征值为3，0，0属于 3
25、的特征向量：c 0，c0 属于 0 的特征向量：c 11+c22 c1，c 2 不都为 0(2)将 0 单位化，得 0= 对 1， 2 作施密特正交化，得作 Q=(0， 1， 2)，则 Q 是正交矩阵，并且 (3)建立矩阵方程 A(0， 1， 2)：(3 0，0，0)，用初等变换法求解： 于是A(32)E 6=(32) 6E【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化29 【正确答案】 属于 3 的特征向量和 1， 2 都正交，从而是齐次方程组的非零解解此方程组，得 3=(1，0，1) T 构成它的一个基础解系于是属于 3 的特征向量应为(k，0，k) T，k0建立矩阵方程 A(1， 2， 3
26、)=(1，2 2，3 3)，用初等变换法解得【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化30 【正确答案】 T 是 n 阶实对称矩阵，秩为 1，并且从例 52 知道，并且 是T 的特征向量，特征值为 T=(，) 和题目要求只差在 的特征值上于是记c=(，)，设 A=cT，则 A 是 n 阶实对称矩阵，秩=1，并且 A=cT=c(，)=【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化31 【正确答案】 因为 A 是实对称矩阵，所以 A 可相似对角化要证本题的结论只用证 A 的特征值只有 1 一个 设 A 是 A 的特征值，则 A 是实数，并且应满足3+2+3=0，即( 1)( 2+2+3)=0此方程
27、的实数解只有 1，因此 =1【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化32 【正确答案】 (1)若 k 是 A 的特征值，则 k 也是 AT 的特征值而 AT=A，于是k 是 A 的特征值 (2)设 的特征值为 A，则 A= T=TA=(AT)T=( A)T= T 不为 0，则 T=0 (3)A 为实反对称矩阵，则由上例知道，A 2=ATA 的特征值都是非负实数，从而 A2 的特征值都是非正实数设 A 是 A 的特征值，则 2 是 A2 的特征值，因此 20，于是 A 为 0，或为纯虚数【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化33 【正确答案】 因为 A= =BE ，而 r(B)=1，则
28、有EB= 36 2所以矩阵 B 的特征值是 6，0，0故矩阵 A 的特征值是5，1，1又行列式A=5，因此 A*的特征值是 1，5，5矩阵 B 属于=6 的特征向量是 1=(1，1，1) T，属于 =0 的特征向量是 2=(1，1，0) T 和3=( 1，0， 1)T因此 A*属于 =1 的特征向量是 k11(k10)，属于 =5 的特征向量是 k22+k33 (k2，k 3 不全为 0)【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化34 【正确答案】 因为矩阵 A 不可逆，有A=0，从而 =0 是 A 的特征值由于矩阵 A 有 3 个不同的特征值，则 A= 于是 P1 AP=那么P1 A2P=2因此 P1 BP=P1 A2PP 1 AP2E= 所以矩阵 B 的特征值是 1=2=0， 3=2，且 B 可以相似对角化【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化35 【正确答案】 因为 AB，有 P1 AP=B，那么 B2=P1 A2P=P1 AP=B【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化
