1、考研数学二（矩阵的特征值和特征向量、二次型）历年真题试卷汇编1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2005 年) 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为1， 2，则 1，A( 1 2)线性无关的充分必要条件是 【 】（A） 10（B） 20（C） 10（D） 202 (2010 年) 设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A2AO若 A 的秩为 3，则 A 相似于 【 】（A）（B）（C）（D）3 (2013 年) 矩阵 相似的充分必要条件为 【 】（A）a0， b2（B） a0，b 为任意常数（C） a2，b0（D）a2，
2、 b 为任意常数4 (2007 年) 设矩阵 ，则 A 与 B 【 】（A）合同，且相似（B）合同，但不相似（C）不合同，但相似（D）既不合同，也不相似5 (2008 年) 设 A ，则在实数域上与 A 合同的矩阵为 【 】（A）（B）（C）（D）6 (2015 年) 设二次型 f(1， 2， 3)在正交变换 Py 下的标准形为 2y12y 22y 32，其中 P(e 1，e 2，e 3)若 Q(e 1，e 3，e 2)，则 f(1， 2， 3)在正交变换 Qy ，下的标准形为 【 】（A）2y 12y 22y 32（B） 2y12y 22y 32（C） 2y12y 22y 32（D）2y 1
3、2y 22y 32二、填空题7 (2002 年) 矩阵 A 的非零特征值是 _8 (2008 年) 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2，3，若行列式2A 48，则_9 (2009 年) 设 ， 为 3 维列向量， T 为 的转置若矩阵 T 相似于 ，则 T_10 (2015 年) 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2，2，1， BA 2A E ，其中 E 为 3 阶单位矩阵，则行列式B_11 (2011 年) 二次型 f(1， 2， 3) 123 22 322 122 132 23，则厂的正惯性指数为_12 (2014 年) 设二次型 f(1， 2， 3) 12 222a 134 23 的负惯性
4、指数为 1，则a 的取值范围是 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 (2003 年) 若矩阵 A 相似于对角矩阵 A，试确定常数 a 的值；并求可逆矩阵 P，使 P-1APA14 (2004 年) 设矩阵 A 的特征方程有一个二重根，求 a 的值，并讨论 A 是否可相似对角化15 (2006 年) 设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1(1，2，1)T， 2(0，1，1) T 是线性方程组 A0 的两个解 ()求 A 的特征值与特征向量； ( )求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 QTAQA16 (2007 年) 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值
5、11， 22， 32，且1 (1，1， 1)T 是 A 的属于 1 的一个特征向量记 BA 54A 3E ，其中 E 为3 阶单位矩阵 () 验证 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量； ( )求矩阵 B17 (2008 年) 设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2 为 A 的分别属于特征值1，1 的特征向量，向量 3 满足 A3 2 3 ()证明 1， 2， 3 线性无关； ()令 P 1， 2， 3，求 P-1AP18 (2010 年) 设 A ，正交矩阵 Q 使得 QTAQ 为对角矩阵若 Q 的第1 列为 (1，2，1) T，求 a，Q19 (2011 年) 设 A 为
6、3 阶实对称矩阵， A 的秩为 2，且 ()求 A 的所有特征值与特征向量 ()求矩阵 A20 (2014 年) 证明 n 阶矩阵 相似21 (2015 年) 设矩阵 A 相似于矩阵 B ()求 a，b 的值； ( )求可逆矩阵 P，使 p-1AP 为对角矩阵22 (2009 年) 设二次型 f(1， 2， 3)a 12a 22(a 1) 322 132 23 ()求二次型厂的矩阵的所有特征值； ()若二次型 f 的规范形为 y12y 22 求 a 的值23 (2012 年) 已经知 A ，二次型 f(1， 2， 3) T(ATA)的秩为 2 ()求实数 a 的值； () 求正交变换 Qy 将
7、 f 化为标准形24 (2013 年) 设二次型 f(1， 2， 3)2(a 11a 22a 33)(b 11b 22b 33)2，记()证明二次型 f 对应的矩阵为 2T T ()若 ，正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为考研数学二（矩阵的特征值和特征向量、二次型）历年真题试卷汇编1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 12 及特征值的性质知 1， 2 线性无关显然，向量组1， A(1 2) 1， 11 22等价于向量组 1， 2， 2)当 20时，它线性无关，当 2 0 时，它线性相关，故 1，A(
8、1 2)线性无关 20【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量2 【正确答案】 D【试题解析】 设 A 为 A 的特征值且 为对应的特征向量，则有Am m(m1，2，)，故有 (A 2A) O 0， 即( 2) 0， 因 0，得20，从而有 0 或 1，又因 r(A)3，所以 A 的非零特征值有 3 个，有 1 个特征值为 0，即 A 的全部特征值为：1， 1，1，0，所以只有选项 D正确【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量3 【正确答案】 B【试题解析】 B 为对角矩阵，B 的特征值为其主对角线元素 2，6，0若 A 与 B相似，则由相似矩阵有相同的特征值，知 2 为 A 的一个特征值，从而有由
9、此得 a0当 a0 时，矩阵 A 的特征多项式为由此得 A 的全部特征值为2，6，0以下可分两种情形： 情形 1：若 b 为任意实数，则 A 为实对称矩阵，由于实对称矩阵必相似于对角矩阵，且对角矩阵的主对角线元素为该实对称矩阵的全部特征值，所以此时 A 必相似于 B综上可知，A 与 B 相似的充分必要条件为a0，b 为任意常数所以只有选项 B 正确 情形 2：若 b 是任意复数而不是实数，则 3 阶矩阵 A 有 3 个互不相同的特征值，因此 A 必相似于对角矩阵 B只有选项 B 正确【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量4 【正确答案】 B【试题解析】 由 A 的特征方程得 A 的全部特征值为
10、1 23， 30，由此知 A 不相似于对角矩阵 B(因为 A 的相似对角矩阵的主对角线元素必是 A 的全部特征值 3，3，0)，但由 A 的特征值知3 元二次型 f(1， 2， 3) TA的秩及正惯性指数均为二次型 f TA经适当的正交变换可化成标准形 f3y 123y 22，再经可逆线性变换可化成规范形 fz 12z 22，而 f 的矩阵 A 与，的规范形的矩阵 Bdiag(1，1， 0)是合同的【知识模块】 二次型5 【正确答案】 D【试题解析】 记 D 项中的矩阵为 D，则由知 A 与 D 有相同的特征值 3 与1，它们又都是实对称矩阵，因此存在正交矩阵 P 与 Q，使PTAP Q TD
11、Q， QPTAPQTD，或(PQ T)A(PQT)D ，其中 PQT 可逆，所以 A 与 D 合同【知识模块】 二次型6 【正确答案】 A【试题解析】 设二次型的矩阵为 A，则由题意知矩阵 P 的列向量 e1，e 2，e 3 是矩阵 A 的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是 2，1，1即有 Ae12e 1，Ae 22e 2，Ae 32e 3 从而有 AQA(e 1， e3，e 2)(Ae 1，Ae 3，Ae 2)(2e 1，( e 3)，e 2) (e 1，e 3，e 2) 矩阵 Q 的列向量 e1，e 3，e 2仍是 A 的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是 2，1，1矩阵 Q 是正
12、交矩阵，有 Q-1Q T，上式两端左乘 Q-1得 Q -1AQQ TAQ 从而知 f在正交变换 Py 下的标准形为 f2y 12y 22y 32于是选 A【知识模块】 二次型二、填空题7 【正确答案】 4【试题解析】 由 A 的特征方程得 A 的全部特征值为：0，0，4所以，A 的非零特征值是 4【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量8 【正确答案】 1【试题解析】 由于方阵的行列式等于方阵的全部特征值的乘积，故有482A8A82348 ，于是 1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量9 【正确答案】 2【试题解析】 因为矩阵相似于对角矩阵时，则对角矩阵的对角元即为矩阵的特征值，故 T 的全部特征
13、值为 12， 2 30设 (a 1，a 2，a 3)T，(b 1，b 2，b 3)T则 由于矩阵所有特征值之和等于矩阵主对角元之和，故有 Tb 1a1b 2a2b 3a3 1 2 32【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量10 【正确答案】 21【试题解析】 因为 BA 2AEf(A) ，其中多项式 f(t)t 2t1，所以由 A 的特征值 2，2，1，得 B 的特征值为 f(2)3，f( 2)7，f(1) 1 这是 3 阶矩阵 B的全部特征值，由特征值的性质得 B37121【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量11 【正确答案】 2【试题解析】 f 的矩阵为 A ，由 A 的特征方程得 A 的特
14、征值为0，1，4，因此 f 经正交变换化成的标准形为 y22y 32，因此 f 的正惯性指数为 2【知识模块】 二次型12 【正确答案】 2，2【试题解析】 对 f 配方，可得 f( 1a 3)2( 22 3)2(4a 2)32 于是 f 可经可逆线性变换 化成标准形 fz 12z 22(4a 2)z32 若4a 20，则 f 的负惯性指数为 2，不合题意； 若 4a 20，则 f 的负惯性指数为1 因此，当且仅当 4a 20，即a2 时，f 的负惯性指数为 1【知识模块】 二次型三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 由 A 的特征多项式 A (6)(2412)
15、(6) 2(2) 得 A 的特征值为 * 26， 32 因为 A 只有一个重特征值 6(二重) ，所以， A 可对角化 对应于特征值 6 的线性无关特征向量有 2 个 齐次方程组(6EA) 0 的基础解系含 2 个向量 3秩(6E A)2 秩(6EA)1 从而由 知 a0，且由此可得对应于 1 26 的两个线性无关特征向量可取为对于特征值 32，由得对应的一个特征向量可取为(1，2，0) T 于是 1， 2， 3 就是 3 阶方阵 A 的 3 个线性无关特征向量，令矩阵 则 P 可逆，且使 P-1AP 为对角矩阵【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量14 【正确答案】 A 的特征多项式为(1)若
16、 2是 f()的二重根，则有( 28183a) 2 2 216183a3a60，解得a2 当 a2 时，A 的特征值为 2，2，6，矩阵 2EA 的秩为 1，故对应于二重特征值 2 的线性无关特征向量有两个，从而 A 可相似对角化 (2)若 2 不是 f()的二重根，则 28183a 为完全平方，从而 183a 16，解得 a 当 a 时， A 的特征值为 2，4，4，矩阵 4EA 的秩为 2， 故 A 的对应于特征值 4 的线性无关特征向量只有一个，从而 A 不可相似对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量15 【正确答案】 () 由于矩阵 A 的各行元素之和均为 3，所以因为 A10，A
17、 20，即 A 10 1，A 20 2 故由定义知1 20 是 A 的二重特征值， 1， 2 为 A 的属于特征值 O 的两个线性无关特征向量； 33 是 A 的一个特征值， 3(1，1，1) T 为 A 的属于特征值 3 的特征向量 总之，A 的特征值为 0，0，3属于特征值 0 的全体特征向量为 k11k 22(k1，k 2不全为零)，属于特征值 3 的全体特征向量为 k33(k30) ()对 1， 2 正交化令1 1(1 ，2，1) T 再分别将1， 2， 3 单位化，得那么 Q 为正交矩阵，且 QTAQA【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量16 【正确答案】 () 记矩阵 A 的属于特
18、征值 i 的特征向量为 i(i1，2，3)，由特征值的定义与性质，有 Aki B1(A 54A 3E) 1( 154 131) 12 1 因1 0，故由定义知2 为 B 的一个特征值且 1为对应的一个特征向量类似可得 B 2( 25 231) 2 2 B3( 35 331) 3 3 因为 A 的全部特征值为1， 2， 3，所以 B 的全部特征值为 i54 i31(i1，2，3)，即 B 的全部特征值为2，1，1 因2 为 B 的单特征值，故 B 的属于特征值2 的全部特征向量为k11，其中 k1 是不为零的任意常数 设 ( 1， 2， 3)T 为 B 的属于特征值 1 的任一特征向量因为 A
19、是实对称矩阵，所以 B 也是实对称矩阵因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，所以有( 1， 2， 3)10，即 1 2 30 解得该方程组的基础解系为 2(1 ，1，0) T， 3(1，0，1) T 故 B 的属于特征值 1 的全部特征向量为 k22k 33，其中 k2，k 3 为不全为零的任意常数 () 由()知1， 2， 3 为 B 的 3 个线性无关的特征向量，令矩阵【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量17 【正确答案】 () 设存在一组常数 k1，k 2，k 3，使得 k 11k 22k 330 用A 左乘式两端，并利用 A1 1，A 2 2， k 11(k2k 3)2k 330
20、 一，得 2k 11k 320 因为 1， 2 是 A 的属于不同特征值的特征向量，所以1， 2 线性无关，从而由 式知 k1k 30，代入 式得 k220，又由于 20，所以 k20，故 1， 2， 3 线性无关 ()由题设条件可得 APA 1， 2， 3A 1，A 2，A 3 1， 2， 2 3 1， 2， 3由()知矩阵 P 可逆，用 P-1 左乘上式两端，得【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量18 【正确答案】 由题设，(1 ，2，1) T 为 A 的一个特征向量，于是有 A 1，即 得 A 的特征值为 2，5，4 对于特征值 5，求齐次线性方程组(5IA)0 的基础解系，由 得通解1
21、 3， 2 3(3 任意)令 31，得基础解系为(1，1，1) T，将其单位化，得属于特征值 5 的一个单位特征向量为 (1，1，1) T 同理可求得属于特征值4的一个单位特征向量为 (1，0，1) T故 Q 为所求的正交矩阵【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量19 【正确答案】 () 由于 A 的秩为 2，故 0 是 A 的一个特征值由题设可得所以，1 是 A 的一个特征值，且属于1 的特征向量为 k1(1，0，1) T，k 1 为任意非零常数；1 也是 A 的一个特征值，且属于 1 的特征向量为 k2(1，0，1) T，k 2 为任意非零常数 设 ( 1， 2， 3)T 为A 的属于 0
22、的特征向量，由于 A 为实对称矩阵，A 的属于不同特征值的特征向量相互正交，则 解得上面齐次线性方程组的基础解系为(0，1，0) T，于是属于 0 的特征向量为 k3(0，1，0) T，其中 k3 为任意非零常数【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量20 【正确答案】 所以 A与 B 有相同的特征值 1 n， n0(n1 重) 由于 A 为实对称矩阵，所以 A 相似于对角矩阵 因为 r(2EB)r(B)1，所以 B 的对应于特征值20 有 n1 个线性无关的特征向量，于是由方阵相似于对角矩阵的充要条件知B 也相似于 A再由矩阵的相似关系具有对称性和传递性知 A 与 B 也相似【知识模块】 矩阵的
23、特征值和特征向量21 【正确答案】 () 由于矩阵 A 与 B 相似，所以二矩阵有相同的迹(主对角线元素之和)、有相同的行列式，由此得 a3b2，2a3b 解得 a4，b5 ()由于矩阵 A 与 B 相似，所以它们有相同的特征多项式： E A EB (1) 2(5) 由此得 A 的特征值为 1 21， 35 对于 1 21，解方程组(E A) 0，有 得对应于 1 21 的线性无关特征向量 对于 35，解方程组(5EA) 0，由得对应于 35 的特征向量 令矩阵 P 1 2 3 则矩阵 P 可作为所求的可逆矩阵，使得【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量22 【正确答案】 得 A 的特征值为 1
24、a， 2a 2， 3a1 ( )由 f 的规范形知 f 的秩为 2，正惯性指数为 2(负惯性指数为 0)，因此，A 的特征值 2 个为正，1 个为 0若1a 0，则 220， 31，不合题意；若 2a 20，则a2， 12， 33，符合题意；若 3a10，则a1， 110， 230，不合题意故 a2【知识模块】 二次型23 【正确答案】 () 因为 r(ATA)r(A)，对 A 施以初等行变换可见当 a1 时，r(A) 2，所以a1() 由于 a1，所以 ATA 矩阵 ATA 的特征多项式为 E ATA (2)(26)(2)( 6)， 于是得 ATA 的特征值为 12， 26， 30 对于12
25、，由求方程组(2EA TA)0 的一个非零解，可得属于 12 的一个单位特征向量 (1，1，0) T； 对于 26，由求方程组(6EA TA)0 的一个非零解，可得属于 26 的一个单位特征向量 (1，1，2) T； 对于 30，由求方程组(A TA)0 的一个非零解，可得属于 30 的一个单位特征向量 (1，1，1) T 令矩阵Q 则 f 在正交变换 Qy 下的标准形为 f2y 126y 22【知识模块】 二次型24 【正确答案】 又 2T T 为对称矩阵，所以二次型 f 的矩阵为 2T T ( )记矩阵A2 T T由于 ， 正交且为单位向量，即T1， T1， T T0，所以 A(2 T T)2， A(2 T T)， 于是 12， 21 是矩阵 A 的特征值又 r(A)r(2 * *)r(2*)r( *)2， 所以 30 是矩阵 A 的特征值由于 f 在正交变换下的标准形中各变量平方项的系数为 A 的特征值，故 f 在正交变换下的标准形为 2y12y 22【知识模块】 二次型
