1、考研数学二（特征向量与特征值、相似、对角化）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 n 阶可逆矩阵，A 是 A 的一个特征值，则伴随矩阵 A*的一个特征值是（A） 1 A n1 （B） A1 A（C） A（D）A n1 2 设 A 是 3 阶不可逆矩阵， 1， 2 是 AX=0 的基础解系， 3 是属于特征值 =1 的特征向量，下列不是 A 的特征向量的是（A） 1+32（B） 1 2（C） 1+3（D）2 33 下列矩阵中不能相似对角化的是二、填空题4 A 是 3 阶矩阵，特征值为 1，2，2则4A 1 E=_5 设 A 是 n
2、 阶可逆矩阵，A 是 A 的特征值，则(A *)2+E 必有特征值_6 设 A 是秩为 2 的 3 阶实对称矩阵，且 A2+5A=0，则 A 的特征值是_7 设 A 是 3 阶矩阵，且各行元素之和都是 5，则 A 必有特征向量_8 已知 相似，则 x=_，y=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 设 ， 都是 n 维列向量时，证明 T 的特征值为 0，0，0， T 如果 不是零向量，则 是 T 的特征向量，特征值为 T10 已知 =(1，1，1) T 是 A= 的特征向量，求 a，b 和 的特征值11 设 3 阶矩阵 A 有 3 个特征向量 1=(1，2，2) T， 2=(2
3、，2，1)T， 3=(2， 1，2) T，它们的特征值依次为 1，2 ，3，求 A12 求 A= 的特征值和特征向量13 设 求 A 和 A1 +E 的特征值14 设 3 阶矩阵 A 的各行元素之和都为 2，又 1=(1，2，2) T 和 2=(0，2，1) T 分别是(A E)X=0 的(A+E)X=0 的解 (1)求 A 的特征值与特征向量 (2)求矩阵 A15 设 4 阶矩阵 A 满足 A3=A (1) 证明 A 的特征值不能为 0，1，和1 以外的数 (2)如果 A 还满足 A+2E=8，确定 A 的特征值16 设 =(1， 2，1) T，=(2，1，2) T，A=E T求A 22A+
4、2E17 计算18 已知 n 阶矩阵 A 满足 A3=E (1)证明 A22A3E 可逆 (2) 证明 A2+A+2E 可逆19 设 n 阶矩阵 A 满足 A4+2A35A 2+2A+5E=0证明 A2E 可逆20 设 ，B=U 1 A*U求 B+2E 的特征值和特征向量21 设 A 和 B 都是可相似对角化的 n 阶矩阵，证明 A 和 B 相似A 和 B 的特征值完全相同22 已知 3 阶矩阵 A= 有一个二重特征值，求 a，并讨论 A 是否相似于对角矩阵23 A= ，求 A 的特征值判断 a，b 取什么值时 A 相似于对角矩阵?24 设 (1)问 k 为何值时 A 可相似对角化 ?(2)此
5、时作可逆矩阵 U，使得 U1 AU 是对角矩阵25 设 ， 都是 n 维非零列向量，A= T 证明： A 相似于对角矩阵 T026 已知 n 阶矩阵 A 满足(AaE)(AbE)=0，其中 ab，证明 A 可对角化27 构造正交矩阵 Q，使得 QTAQ 是对角矩阵28 A= ，正交矩阵 Q 使得 QTAQ 是对角矩阵，并且 Q 的第 1 列为(1， 2，1) T求 a 和 Q29 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1，2，2， 1=(1，1，1) T 是 A 的属于 1 的特征向量记 B=A54A 3+E (1)求 B 的特征值和特征向量 (2)求 B30 设 B 是 3 阶实对称矩阵，特征值
6、为 1，1，2，并且 =(1，1，1) T 是 B 的特征向量，特征值为2求 B31 设 A 为实矩阵，证明 ATA 的特征值都是非负实数32 已知 A= ，求 A 的特征值、特征向量，并判断 A 能否相似对角化，说明理由33 已知 A= 可对角化，求可逆矩阵 P 及对角矩阵 ，使 P1 AP=34 设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1=2=6 是 A 的二重特征值，若 1=(1，1，0)T， 2=(2，1，1) T， 3=( 1，2，3) T 都是 A 属于 =6 的特征向量，求矩阵 A35 已知 1， 2， 3 是 A 的特征值， 1， 2， 3 是相应的特征向量且线性无关，如1+2
7、+3 仍是 A 的特征向量，则 1=2=3考研数学二（特征向量与特征值、相似、对角化）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 如 A=，则 故选B【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化2 【正确答案】 C【试题解析】 A 1=0，A 2=0，A 3=3则 A(1+32)=0，A( 1 2)=0，A(2 3)=23因此 A，B ，D 都正确 A( 1+3)=3，和 1+3 不相关，因此 1+3 不是特征向量，故应选 C【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化3 【正确答案】 D【试题解析】 A 是实对称矩阵
8、，C 有 3 个不同的特征值，均可对角化B 和 D 特征值都是 0，0，3在 B 中， nr(0EA)=2，说明 =0 有 2 个线性无关的特征向量故可以相似对角化在 D 中，nr(0EA)=1，说明 =0 只有 1 个线性无关的特征向量因此不能相似对角化故应选 D【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化二、填空题4 【正确答案】 3【试题解析】 A 1 的特征值为 1，12，124A 1 E 的特征值为3，1，1，4A 1 E=3【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化5 【正确答案】 【试题解析】 A 的特征值为 =A*的特征值为 =(A*)2 的特征值为 =(A*)2+E 的特征
9、值为 +1【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化6 【正确答案】 5，5，0【试题解析】 因为 A 是实对称矩阵，故 A又 r(A)=2，所以 r()=2设A=(0)，由 A2+5A=0 得 2+5=0因此 A 的特征值为 0 或5从而 A所以矩阵 A 的特征值是：5， 5，0【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化7 【正确答案】 【试题解析】 因为各行元素之和都是 5，即 亦即【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化8 【正确答案】 0；1【试题解析】 由 AB，知 ，且1 是 A 的特征值，即【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化三、解答题解答应写出文字说明、证明过程
10、或演算步骤。9 【正确答案】 记 A=T，则 A2=TT=(T)A，于是根据定理 52 的推论，A的特征值都满足等式 2=(T)，即只可能是 0 和 T 如果 T=0，则 A 的特征值都是 0 如果 T0，则根据定理 53 的 ，A 的所有特征值之和为 tr(A)=T，它们一定是 n1 个为 0，一个为 T 仍记 A=T，则 A=T=(T)，因此则 是 A 的特征向量，特征值为 T【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化10 【正确答案】 由 A=，得 于是1=，2+a=，1+b= ，解出 =1，a=3，b=0【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化11 【正确答案】 建立矩阵方程 A
11、(1， 2， 3)=(1，2 2，3 3)，用初等变换法求解：【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化12 【正确答案】 (1)特征值的计算可按常规方法计算特征值：求出 A 的特征多项式，求其根得特征值但本题可利用特征值的性质很容易求出特征值r(A)=1，tr(A)=4 利用特征值的性质(命题 54 的推论 )直接可得到 A 的特征值为0，0，0，4(不用性质，也可这样计算：r(A)=1，即 r(A0E)=1 ，于是 0 是 A 的特征值，并且其重数 k4r(A)=3即 A 的 4 个特征值中至少有 3 个为 0于是第4 个特征值为 tr(A)=4)(2)求特征向量属于 0 的特征向量是
12、AX=0 的非零解AX=0 和 x1+x2+x3+x4=0 同解得 AX=0 的一个基础解系 1=(1，1，0，0) T， 2=(1，0，1，0) T， 3=(1，0，0，1)T T属于 0的特征向量的一般形式为 c11+c22+c33，c 1，c 2，c 3 不全为 0属于 4 的特征向量是(A 4E)X=0 的非零解得(A4E)X=0 的同解方程组 得(A 4E)X=0 的基础解系 =(1，1，1，1) T属于 4的特征向量的一般形式为 c，c0【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化13 【正确答案】 A 的特征多项式得到 A 的特征值为 1(二重)和 5A 1 的特征值为 1(二重
13、)和15A 1 +E 的特征值为 2(二重)和 45【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化14 【正确答案】 (1) 1=(1，2，2) T 是(AE)X=0 的解，即 A1=1，于是 1 是 A 的特征向量，特征值为 1同理得 2 是 A 的特征向量，特征值为1记3=(1， 1，1) T，由于 A 的各行元素之和都为 2，A 3=(2，2，2) T=23，即 3 也是A 的特征向量，特征值为 2于是 A 的特征值为 1，1，2属于 1 的特征向量为c1， c0属于1 的特征向量为 c2，c0属于 2 的特征向量为 c3，c0 (2) 建立矩阵方程 A(1， 2， 3)=(1， 2，2
14、3)，用初等变换法解得【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化15 【正确答案】 (1)由于 A3=A，A 的特征值 满足 3=A，从而 A 只能为 0，1 或1(但并非 0，1，1 都一定是 A 的特征值！) (2)由 A 的特征值不是0，1，1 外的数，得知 A+2E 的特征值不是 2，3，1 之外的数又由于A+2E=8，必有 A+2E 的特征值为 2，2，2， 1，从而 A 的特征值为0，0，0，1【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化16 【正确答案】 用特征值计算 T=2，于是 T 的特征值为 0，0，2，从而 A 的特征值为 1，1，1，A 22A+2E 的特征值为 1，
15、1，5于是A 22A+2E=115=5【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化17 【正确答案】 记矩阵则所求为AA=B+cE，而 于是 B 的特征值为0，0，0，a 1b1+a2b2+a3b3+a4b4 从而 A 的特征值为c，c，c，a 1b1+a2b2+a3b3+a4b4+c则A=c 3(a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+c)【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化18 【正确答案】 通过特征值来证明，矩阵可逆的充要条件是 0 不是它的特征值 由于 A3=B，A 的特征值都满足 3=1 (1)A 22A3E=(AE)(A+E)，3 和1 都不满足 3=1，因此都不是 A 的
16、特征值于是(A3E)和(A+E)都可逆，从而A22A3E 可逆 (2)方法一 设 A 的全体特征值为 1， 2， n，则 A2+A+2E的特征值 i2+i+2，i=1 ，2，n 由于 i3=1， i 或者为 1，或者满足i2+i+1=0于是 i2+i+2 或者为 4，或者为 1，总之都不是 0因此 A2+A+2E 可逆 方法二 A(A 2+A+2E)=A3+A2+2A=E+A2+2A=(A+E)2 由于 A3=E，每个特征值 都满足 3=1，于是1 不是 A 的特征值，即 A+E 可逆，从而 A2+A+2E 可逆【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化19 【正确答案】 由定理 51 的推
17、论的，A2E 可逆 2 不是 A 的特征值 因为A4+2A35A 2+2A+5E=0，所以 A 的特征值都是方程 4+235 2+2+5=0， 的根显然 2 不是这个方程的根，从而不是 A 的特征值【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化20 【正确答案】 本题可先求出 B+2E(先求 A*，再求 B，再求 B+2E)，然后求它的特征值与特征向量，这样做计算量大一个简捷的解法是利用特征值与特征向量的性质来计算 求特征值 A=C+E，其中 则 C 的特征值为0，0，6，从而 A 的特征值为 1，1，7A=117=7 根据定理 55 的，A *的特征值为 7，7，1 BA *，从而 B 和 A
18、*特征值完全一样，也是7，7，1 用定理 55 的，B+2E 的特征值为 9，9，3 求特征向量 A *与A 的对应特征值(指 1 与 7，7 与 1)的特征向量一样， B+2E 与 B 对应特征值(指 7与 9，1 与 3)的特征向量也一样，根据定理 58 的，A *=BU1 =U1 于是可以由 A 的特征向量来得到 B+2E 的特征向量 A 的属于 1 的特征向量就是 A*的属于 7 的特征向量，用 U1 左乘后就是 B 的属于 7 的特征向量，也就是 B+2E 的属于 9 的特征向量 A 的属于 1 的特征向量，即(AE)X=0 的非零解求得(A E)X=0 的基础解系 1=(1，1，0
19、) T， 2=(1，0，1) T 于是 A 的属于 1 的特征向量的为 c 21+c22，c 2，c 2 不全为 0 求出 1=U1 1=(1，1，0)T， 2=U1 2=(1，1，1) T，则 B+2E 的属于 9 的特征向量为 c 11+c22，c 2，c 2 不全为 0 同理，A 的属于 7 的特征向量用 U1 左乘后就是 B+2E 的属于 3 的特征向量 求出 A 的属于 7 的特征向量(即(A7E)X=0 的非零解) 为 c ，c 不为 0，其中=(1，1，1) T， 记 =U1 =(0，1，1) T，则 B+2E 的属于 9 的特征向量为 c， c0【知识模块】 特征向量与特征值，
20、相似，对角化21 【正确答案】 “= ”是相似的重要性质 “ 1， 2， n，构造对角矩阵 ，使得其对角线是的元素依次 1， 2， n由于 A 和 b 都是可相似对角化，有A，和 B ，再从相似关系的传递性，得到 AB【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化22 【正确答案】 (1)求 aA 的特征多项式为要使得它有二重根，有两种可能的情况：2 是二重根，即 2 是 28+18+3a 的根，即416+18+3a=0，求出 a=一 2，此时三个特征值为 2，2，6 2 是一重根，则28+18+3a 有二重根， 28+18+3a=(x4) 2，求出 a=23此时三个特征值为 2，4，4(2)讨
21、论 A 是否相似于对角矩阵 当 a=2 时，对二重特征值 2，考察 3r(A 2E)是否为 2？即 r(A2E)是否为1A2E= ，r(A 2E)=1 ，此时 A 可相似对角化当 a=23 时，对二重特征值 4，考察 3r(A4E) 是否为 2？即 r(A4E)是否为 1A4E=，r(A 4E)=2，此时 A 不相似于对角矩阵【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化23 【正确答案】 A 的特征值 0，5，6如果 b0 和 5，则 A 的特征值两两不同，A 相似于对角矩阵如果 b=0，则 A 的特征值 0，0，5此时 A= ，A 相似于对角矩阵特征值 0 的重数 2=3r(A)r(A)=1
22、a=0 于是：a=0 且 b=0 时 A 相似于对角矩阵；a0 且b=0 时 A 不相似于对角矩阵； 如果 b=5，则 A 的特征值 0，5，5此时 A=而 r(A5E)=2，特征值 5 的重数 23r(A5E)，A 不相似于对角矩阵【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化24 【正确答案】 (1)求 A 的特征值：于是 A 的特征值为 1(一重)和1(二重 ) 要使 A 可对角化，只需看特征值 1要满足 3r(A+E)=2 ，即r(A+B)=1， 得k=0， (2)求属于1 的两个线性无关的特征向量，即求(A+E)X=0 的基础解系： 得(A+E)X=0 的同解方程组 2x1+x2x 3
23、=0 得基础解系 1=(1，0，2) T， 2=(0，1，1) T 求属于 1 的一个特征向量，即求(AE)X=0 的一个非零解： 得(A E)X=0 的同解方程组 得解 3=(1，0，1) T 令 U=(1， 2， 3)，则【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化25 【正确答案】 由例 52 的知道，A 的特征值为 0，0，0， T 由相似对角化的判别法则二，只用对重数大于 1 的特征值 0，检查其重数是否等于nr(A0E)=nr(A)=n 1 当 T=0 时，0 的重数是 n，A 不能相似对角化 当T0 时，0 的重数是 n 1，A 可相似对角化【知识模块】 特征向量与特征值，相似，
24、对角化26 【正确答案】 首先证明 A 的特征值只能是 a 或 b 设 是 A 的特征值，则(a)( b)=0，即 =a 或 =b 如果 b 不是 A 的特征值，则 AbE 可逆，于是由(A aE)(AbE)=0 推出 AaE=0 ，即 A=aE 是对角矩阵 如果 b 是 A 的特征值，则AbE =0设 1， 2， t 是齐次方程组(AbE)X=0 的一个基础解系(这里 t=n r(A bE)，它们都是属于 b 的特征向量取 AbE 的列向量组的一个最大无关组 1， 2， k，这里 k=r(AbE) 则 1， 2， k 是属于 a 的一组特征向量则有 A 的 k+t=n 个线性无关的特征向量组
25、1， 2， ， k； 1， 2， t，因此 A 可对角化【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化27 【正确答案】 (1)先求特征值A 的特征值为 0，2，6再求单位正交特征向量组属于 0 的特征向量是齐次方程组 AX=0 的非零解，得 AX=0 的同解方程组 求得一个非零解为(1， 1，1) T，单位化得 属于 2 的特征向量是齐次方程组(A 2E)X=0 的非零解， 得 AX=0 的同解方程组求得一个非零解为(1，1，0) T，单位化得 属于6 的特征向量是齐次方程组(A6E)X=0 的非零解，得 AX=0 的同解方程组(2)先求特征值A 的特征值为 1，1，10再求单位正交特征向量组
26、属于 1 的特征向量是齐次方程组(AE)X=0 的非零解，得(AE)X=0 的同解方程组x1+2x22x 4=0，显然 1=(0，1，1) T 是一个解第 2 个解取为 2=(c，1，1) T(保证了与 1 的正交性！) ，代入方程求出 c=4，即 2=(4，1，1) T令再求出属于 10 的特征向量是齐次方程组(A10E)X=0 的非零解(1，2，2) T，令3=3 3=(1，2，2) T3作正交矩阵 Q=(1， 2， 3)则【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化28 【正确答案】 Q 1 AQ=QTAQ 是对角矩阵，说明 Q 的列向量都是 A 的特征向量，于是(1 ，2，1) T 也
27、是 A 的特征向量 (1，2，1) T 和(2，5+a，4+2a) T 相关，得 a=1，并且(1，2，1) T 的特征值为 2A 的特征值为2，5，4下面来求它们的单位特征向量 1= 是属于 2 的单位特征向量 则(1，1，1) T 是属于 5 的特征向量，单位化得 2= (1，1，1) T 则(1，0， 1)T 是属于4 的特征向量，单位化得 3= (1，0，1) T则Q=(1， 2， 3)( 不是唯一解，例如 (1， 3， 2)，( 1， 2， 3)，(1， 3， 2)等也都适合要求)【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化29 【正确答案】 (1)记 f(x)=x54x 3+1，则
28、 B 的特征值为 f(1)=2，f(2)=1，f( 2)=1 1=(1，1，1) T 是 A 的属于 1 的特征向量，则它也是 B 的特征向量，特征值2 B 的属于2 的特征向量为 c1，c0 B 也是实对称矩阵，因此 B 的属于特征值 1 的特征向量是与 1 正交的非零向量，即是 x1x 2+x3=0 的非零解求出此方程的基础解系 2=(1，1，0) T， 3=(0，1，1) T，B 的属于特征值 1 的特征向量为 c12+c23，c 1，c 2 不全为 0 (2)B( 1， 2， 3)=(2 1， 2， 3)解此矩阵方程得【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化30 【正确答案】 记
29、A=BE，则 A 是 3 阶实对称矩阵，特征值为 0，0，3，因此秩为 1用上题的结论，可知 A=cT，其中 c=3(，)=1，即A= T于是【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化31 【正确答案】 A TA 是实对称矩阵，特征值都是实数设 是 ATA 的一个特征值， 是属于 A 的一个实特征向量，则 ATA=于是 TATA=AT，即(，) 0 ，(A ，A)0 ，因此 0【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化32 【正确答案】 由特征多项式得到矩阵 A 的特征值1=2， 2=3=1由(2EA)x=0 得基础解系 1=(5，2，9) T，即 =2 的特征向量是 k11(k10)由(
30、EA)x=0 得基础解系 2=(1，1，0) T，即 =1 的特征向量是 k22(k20)因为矩阵 A 只有 2 个线性无关的特征向量，所以 A 不能相似对角化【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化33 【正确答案】 由特征多项式知矩阵 A 的特征值为1=2=1， 3=2因为矩阵 A 可以相似对角化，故 r(EA)=1而所以 x=6当 =1 时，由(EA)x=0 得基础解系 1=( 2，1，0) T， 2=(0，0，1) T当 = 2 时，由(2EA)x=0 得基础解系 3=(5， 1，3) T【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化34 【正确答案】 由 r(A)=2 知A=0，所
31、以 =0 是 A 的另一特征值设矩阵 A属于 =0 的特征向量 =(x1，x 2，x 3)T，由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有 解出此方程组的基础解系 =(1，1，1)T那么 A(1， 2，)=(6 1，6 2，0)，用初等变换法解此矩阵方程得【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化35 【正确答案】 若 1+2+3 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，即 A( 1+2+3)=(1+2+3) 又 A(1+2+3)=A1+A2+A3=11+22+33，于是 ( 1)1+( 2)2+( 3)3=0 因为 1， 2， 3 线性无关，故 1=0， 2=0， 3=0 即 1=2=3【知识模块】 特征向量与特征值，相似，对角化
