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【考研类试卷】考研数学二(特征向量与特征值、相似、对角化)-试卷2及答案解析.doc

1、考研数学二(特征向量与特征值、相似、对角化)-试卷 2 及答案解析(总分:70.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:5,分数:10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 A 为 n 阶可逆矩阵, 是 A 的一个特征值,则伴随矩阵 A * 的一个特征值是(分数:2.00)A. -1 A n-1 B. -1 AC.AD.A n-1 3.设 2 是可逆矩阵 A 的一个特征值,则( (分数:2.00)A.B.C.D.4.设 A 是 3 阶不可逆矩阵, 1 , 2 是 A0 的基础解系, 3 是属于特征值 1 的特征向量,下列不是 A

2、 的特征向量的是(分数:2.00)A. 1 3 2 B. 1 2 C. 1 3 D.2 3 5.设 0 是 A 属于特征值 0 的特征向量,则 0 不一定是其特征向量的矩阵是(分数:2.00)A.(AE) 2 B.2AC.A T D.A * 二、填空题(总题数:5,分数:10.00)6.设 A 是 n 阶可逆矩阵,A 是 A 的特征值,则(A * ) 2 E 必有特征值 1(分数:2.00)填空项 1:_7.已知2 是 A (分数:2.00)填空项 1:_8.设 A 是秩为 2 的 3 阶实对称矩阵,且 2 5A0,则 A 的特征值是 1(分数:2.00)填空项 1:_9.已知 (1,1,1)

3、 T 是矩阵 A (分数:2.00)填空项 1:_10.设 A 是 3 阶矩阵,且各行元素之和都是 5,则 A 必有特征向量 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:25,分数:50.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_12.已知 A (分数:2.00)_13.已知 A (分数:2.00)_14.已知 A (分数:2.00)_15.已知 A 是 3 阶不可逆矩阵,1 和 2 是 A 的特征值,BA 2 A2E,求 B 的特征值,并问 B 能否相似对角化,并说明理由(分数:2.00)_16.设 3 阶矩阵 A 的特征值 1 1, 2 2,

4、3 3 对应的特征向量依次为 1 (1,1,1) T , 2 (1,2,4) T , 3 (1,3,9) T ()将向量 (1,1,3) T 用 1 , 2 , 3 线性表出;()求 A n (分数:2.00)_17.设矩阵 A 可逆,向量 (分数:2.00)_18.设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2, 1 2 6 是 A 的二重特征值,若 1 (1,1,0) T , 2 (2,1,1) T , 3 (1,2,3) T 都是 A 属于 6 的特征向量,求矩阵 A(分数:2.00)_19.已知 AB,A 2 A,证明 B 2 B(分数:2.00)_20.已知 A 2 0,A0,证明 A 不能相

5、似对角化(分数:2.00)_21.已知 1 , 2 , 3 是 A 的特征值, 1 , 2 , 3 是相应的特征向量且线性无关,如 1 2 3 仍是 A 的特征向量,则 1 2 3 (分数:2.00)_22.设 , 都是 n 维列向量时,证明: T 的特征值为 0,0,0, T 如果 不是零向量,则 是 T 的特征向量,特征值为 T (分数:2.00)_23.已知 (1,1,1) T 是 A (分数:2.00)_24.已知 是可逆矩阵 A (分数:2.00)_25.设 3 阶矩阵 A 有 3 个特征向量 1 (1,2,2) T , 2 (2,2,1) T , 3 (2,1,2) T ,它们的特

6、征值依次为 1,2,3,求 A(分数:2.00)_26.设 3 阶矩阵 A 有 3 个特征向量 1 (1,1,1) T , 2 (1,2,4) T , 3 (1,3,9) T ,它们的特征值依次为 1,2,3又设 (1,1,3) T ,求 A n (分数:2.00)_27.求 A (分数:2.00)_28.求 A 的特征值A (分数:2.00)_29.设 A (分数:2.00)_30.A 是 2 阶矩阵,2 维列向量 1 , 2 线性无关,A 1 1 2 ,A 2 4 1 2 求 A 的特征值和A(分数:2.00)_31.设 3 阶矩阵 A 的各行元素之和都为 2,又 1 (1,2,2) T

7、和 2 (0,2,1) T 分别是(AE)X0 的(AE)X0 的解 (1)求 A 的特征值与特征向量 (2)求矩阵 A(分数:2.00)_32.A 为三阶实对称矩阵,A 的秩为 2,且 (分数:2.00)_33.设 4 阶矩阵 A 满足 A 3 A (1)证明 A 的特征值不能为 0,1,和1 以外的数 (2)如果 A 还满足A2E8,确定 A 的特征值(分数:2.00)_34.已知 3 阶矩阵 A 满足AEAE4E2A0,求A 3 5A 2 (分数:2.00)_35.设 (1,0,1) T ,A T ,求aEA n (分数:2.00)_考研数学二(特征向量与特征值、相似、对角化)-试卷 2

8、 答案解析(总分:70.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:5,分数:10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 A 为 n 阶可逆矩阵, 是 A 的一个特征值,则伴随矩阵 A * 的一个特征值是(分数:2.00)A. -1 A n-1 B. -1 A C.AD.A n-1 解析:3.设 2 是可逆矩阵 A 的一个特征值,则( (分数:2.00)A.B.C. D.解析:4.设 A 是 3 阶不可逆矩阵, 1 , 2 是 A0 的基础解系, 3 是属于特征值 1 的特征向量,下列不是 A 的特征向量的是(分数:2.00)

9、A. 1 3 2 B. 1 2 C. 1 3 D.2 3 解析:解析:A 1 0,A 2 0,A 3 3 则 A( 1 3 2 )0,A( 1 2 )0,A(2 3 )2 3 因此选项 A、B、D 都正确 A( 1 3 ) 3 ,和 1 3 不相关,因此 1 3 不是特征向量,故应选 C5.设 0 是 A 属于特征值 0 的特征向量,则 0 不一定是其特征向量的矩阵是(分数:2.00)A.(AE) 2 B.2AC.A T D.A * 解析:解析:由EA T (EA) T EA,知 A 与 A T 有相同的特征值,但方程组(EA)0 与(EA T )0 不一定同解,故 A 与 A T 特征向量不

10、一定相同故应选 C二、填空题(总题数:5,分数:10.00)6.设 A 是 n 阶可逆矩阵,A 是 A 的特征值,则(A * ) 2 E 必有特征值 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*1)解析:7.已知2 是 A (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:4)解析:8.设 A 是秩为 2 的 3 阶实对称矩阵,且 2 5A0,则 A 的特征值是 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:5,5,0)解析:9.已知 (1,1,1) T 是矩阵 A (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:4)解析:解析:设 A,即 亦即10.

11、设 A 是 3 阶矩阵,且各行元素之和都是 5,则 A 必有特征向量 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:因为各行元素之和都是 5,即 亦即 从而 所以矩阵 A 必有特征向量三、解答题(总题数:25,分数:50.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:12.已知 A (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由特征多项式 EA )解析:13.已知 A (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 A )解析:14.已知 A (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由特征多项式 EA (1) 2 (2), 知矩

12、阵 A 的特征值为 1 2 1, 3 2 因为矩阵 A 可以相似对角化,故 r(EA)=1而 EA 所以6 当 1 时,由(EA)0 得基础解系 1 (2,1,0) T , 2 (0,0,1) T 当2 时,由(2EA)0 得基础解系 3 (5,1,3) T 那么,令 P( 1 , 2 , 3 ) ,得 P -1 AP )解析:15.已知 A 是 3 阶不可逆矩阵,1 和 2 是 A 的特征值,BA 2 A2E,求 B 的特征值,并问 B 能否相似对角化,并说明理由(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为矩阵 A 不可逆,有A0,从而 0 是 A 的特征值 由于矩阵 A 有 3 个不同的

13、特征值,则 A 于是 P -1 AP那么 P -1 A 2 P 2 因此 P -1 BPP -1 A 2 PP -1 AP2E )解析:16.设 3 阶矩阵 A 的特征值 1 1, 2 2, 3 3 对应的特征向量依次为 1 (1,1,1) T , 2 (1,2,4) T , 3 (1,3,9) T ()将向量 (1,1,3) T 用 1 , 2 , 3 线性表出;()求 A n (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()设 1 1 2 2 3 3 ,即 1 2, 2 2, 3 1 故 2 1 2 2 3 ()A2A 1 2A 2 A 3 ,则 A n 2A n 1 2A n 2 A n

14、3 2 1 2.2 n 2 3 n 3 )解析:17.设矩阵 A 可逆,向量 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 A * ,由 AA * AE,有AA,即 )解析:18.设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2, 1 2 6 是 A 的二重特征值,若 1 (1,1,0) T , 2 (2,1,1) T , 3 (1,2,3) T 都是 A 属于 6 的特征向量,求矩阵 A(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 r(A)2 知A0,所以 0 是 A 的另一特征值 设矩阵 A 属于 0 的特征向量 ( 1 , 2 , 3 ) T ,由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交,故有 解出

15、此方程组的基础解系 (1,1,1) T 那么 A( 1 , 2 ,)(6 1 ,6 2 ,0),用初等变换法解此矩阵方程得 A )解析:19.已知 AB,A 2 A,证明 B 2 B(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 AB,有 P -1 APB,那么 B 2 P -1 A 2 PP -1 APB)解析:20.已知 A 2 0,A0,证明 A 不能相似对角化(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 A,0,那么 A 2 2 0从而 0 又因 A0,r(A)1,所以 A0 的基础解系有 nr(A)个向量,即 0 有 nr(A)个线性无关的特征向量 又nr(A)n,所以 A 不能相似

16、对角化)解析:21.已知 1 , 2 , 3 是 A 的特征值, 1 , 2 , 3 是相应的特征向量且线性无关,如 1 2 3 仍是 A 的特征向量,则 1 2 3 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:若 1 2 3 是矩阵 A 属于特征值 A 的特征向量,即 A( 1 2 3 )( 1 2 3 ) 又 A( 1 2 3 )A 1 A 2 A 3 1 1 2 2 3 3 ,于是 ( 1 ) 1 ( 2 ) 2 ( 3 ) 3 0 因为 1 , 2 , 3 线性无关,故 1 0, 2 0, 3 0 即 1 2 3 )解析:22.设 , 都是 n 维列向量时,证明: T 的特征值为 0,0

17、,0, T 如果 不是零向量,则 是 T 的特征向量,特征值为 T (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:记 A T ,则 A 2 T T ( T )A,于是 A 的特征值都满足等式 2 ( T ),即只可能是 0 和 T 如果 T 0,则 A 的特征值都是 0 如果 T 0,则 A 的所有特征值之和为 tr(A) T ,它们一定是 n1 个为 0,一个为 T 仍记A T ,则 A T ( T ),因此则 是 A 的特征向量,特征值为 T )解析:23.已知 (1,1,1) T 是 A (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 A,得 )解析:24.已知 是可逆矩阵 A (分数:2.0

18、0)_正确答案:(正确答案:由 A 可逆知 也是 A 的特征向量有 A 0 于是求出 a,b 和 0 而A 0 )解析:25.设 3 阶矩阵 A 有 3 个特征向量 1 (1,2,2) T , 2 (2,2,1) T , 3 (2,1,2) T ,它们的特征值依次为 1,2,3,求 A(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:建立矩阵方程 A( 1 , 2 , 3 )( 1 ,2 2 ,3 3 ),用初等变换法求解: 得 A(13) )解析:26.设 3 阶矩阵 A 有 3 个特征向量 1 (1,1,1) T , 2 (1,2,4) T , 3 (1,3,9) T ,它们的特征值依次为 1,2

19、,3又设 (1,1,3) T ,求 A n (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:把 表示为 1 , 2 , 3 线性组合,即解方程 1 1 2 2 3 3 , )解析:27.求 A (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)特征值的计算 r(A)1,即 r(A0E)1,于是 0 是 A 的特征值,并且其重数k4r(A)3即 A 的 4 个特征值中至少有 3 个为 0于是第 4 个特征值为 tr(A)4 (2)求特征向量 属于 0 的特征向量是 AX0 的非零解 AX0 和 1 2 3 4 0 同解得 AX0的一个基础解系 1 (1,1,0,0) T , 2 (1,0,1,0) T

20、, 3 (1,0,0,1) T 属于 0 的特征向量的一般形式为 c 1 1 c 2 2 c 3 3 ,c 1 ,c 2 ,c 3 不全为 0 属于 4 的特征向量是(A4E)X0 的非零解 A4E 得(A4E)X0 的同解方程组 )解析:28.求 A 的特征值A (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由题意得 A 3E, )解析:29.设 A (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:A 的特征多项式 )解析:30.A 是 2 阶矩阵,2 维列向量 1 , 2 线性无关,A 1 1 2 ,A 2 4 1 2 求 A 的特征值和A(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:A( 1 ,)(

21、1 2 ,4 1 2 ),用矩阵分解法,得 ( 1 2 ,4 1 2 )( 1 , 2 ) 记 B ,则 A( 1 , 2 )( 1 , 2 )B 由于 1 , 2 线性无关,( 1 , 2 )是可逆矩阵,于是 A 相似于 B A 和 B 的特征值一样 EB )解析:31.设 3 阶矩阵 A 的各行元素之和都为 2,又 1 (1,2,2) T 和 2 (0,2,1) T 分别是(AE)X0 的(AE)X0 的解 (1)求 A 的特征值与特征向量 (2)求矩阵 A(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1) 1 (1,2,2) T 是(AE)X0 的解,即 A 1 1 ,于是 1 是 A的特

22、征向量,特征值为 1 同理得 2 ,是 A 的特征向量,特征值为1 记 3 (1,1,1) T ,由于 A 的各行元素之和都为 2,A 3 (2,2,2) T 2 3 ,即 3 也是 A 的特征向量,特征值为2 于是 A 的特征值为 1,1,2 属于 1 的特征向量为 c 1 ,c0 属于1 的特征向量为 c 2 ,c0 属于 2 的特征向量为 c 3 ,c0 (2)建立矩阵方程 A( 1 , 2 , 3 )( 1 , 2 ,2 3 ),用初等变换法求解: ( 1 , 2 , 3 ) T ( 1 , 2 ,2 3 ) T ) )解析:32.A 为三阶实对称矩阵,A 的秩为 2,且 (分数:2.

23、00)_正确答案:(正确答案:(1)由条件得 A(1,2,1) T (3,6,3),A(1,0,1) T (3,0,3),说明(1,2,1) T 和(1,0,1) T 都是 A 的特征向量,特征值分别为3 和 3 A 的秩为 2维数 3,于是0 也是 A 的特征值 A 的特征值为3,3,0 属于3 的特征向量为 c(1,2,1) T ,c0 属于 3的特征向量为 c(1,0,1) T ,c0 属于 0 的特征向量和(1,2,1) T ,(1,0,1) T 都正交,即是方程组 的非零解,解出属于 0 的特征向量为:c(1,1,1) T ,c0 (2)利用 A 的 3 个特征向量,建立矩阵方程求

24、A 用初等变换法求解: )解析:33.设 4 阶矩阵 A 满足 A 3 A (1)证明 A 的特征值不能为 0,1,和1 以外的数 (2)如果 A 还满足A2E8,确定 A 的特征值(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)由于 A 3 A,A 的特征值 满足 3 ,从而 A 只能为 0,1 或1 (2)由A 的特征值不是 0,1,1 外的数,得知 A2E 的特征值不是 2,3,1 之外的数又由于A2E8,必有 A2E 的特征值为 2,2,2,1,从而 A 的特征值为 0,0,0,1)解析:34.已知 3 阶矩阵 A 满足AEAE4E2A0,求A 3 5A 2 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:A 3 5A 2 A 2 (A5E),A 3 5A 2 A 2 A5E A1(1)22,A5E 的特征值为4,6,3,A5E(4)(6)(3)72于是 A 3 5A 2 4(72)288)解析:35.设 (1,0,1) T ,A T ,求aEA n (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:利用 A 容易计算其方幂,求出矩阵 aEA n 后再计算行列式 A n ( T ) n ( T ) n-1 A2 n-1 aEA n )解析:

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