1、考研数学二（特征向量与特征值、相似、对角化）-试卷 2 及答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 是 A 的一个特征值，则伴随矩阵 A * 的一个特征值是（分数：2.00）A. -1 A n-1 B. -1 AC.AD.A n-1 3.设 2 是可逆矩阵 A 的一个特征值，则( （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 A 是 3 阶不可逆矩阵， 1 ， 2 是 A0 的基础解系， 3 是属于特征值 1 的特征向量，下列不是 A
2、 的特征向量的是（分数：2.00）A. 1 3 2 B. 1 2 C. 1 3 D.2 3 5.设 0 是 A 属于特征值 0 的特征向量，则 0 不一定是其特征向量的矩阵是（分数：2.00）A.(AE) 2 B.2AC.A T D.A * 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.设 A 是 n 阶可逆矩阵，A 是 A 的特征值，则(A * ) 2 E 必有特征值 1（分数：2.00）填空项 1:_7.已知2 是 A （分数：2.00）填空项 1:_8.设 A 是秩为 2 的 3 阶实对称矩阵，且 2 5A0，则 A 的特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_9.已知 (1，1，1)
3、 T 是矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_10.设 A 是 3 阶矩阵，且各行元素之和都是 5，则 A 必有特征向量 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：25，分数：50.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_12.已知 A （分数：2.00）_13.已知 A （分数：2.00）_14.已知 A （分数：2.00）_15.已知 A 是 3 阶不可逆矩阵，1 和 2 是 A 的特征值，BA 2 A2E，求 B 的特征值，并问 B 能否相似对角化，并说明理由（分数：2.00）_16.设 3 阶矩阵 A 的特征值 1 1， 2 2，
4、3 3 对应的特征向量依次为 1 (1，1，1) T ， 2 (1，2，4) T ， 3 (1，3，9) T ()将向量 (1，1，3) T 用 1 ， 2 ， 3 线性表出；()求 A n （分数：2.00）_17.设矩阵 A 可逆，向量 （分数：2.00）_18.设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1 2 6 是 A 的二重特征值，若 1 (1，1，0) T ， 2 (2，1，1) T ， 3 (1，2，3) T 都是 A 属于 6 的特征向量，求矩阵 A（分数：2.00）_19.已知 AB，A 2 A，证明 B 2 B（分数：2.00）_20.已知 A 2 0，A0，证明 A 不能相
5、似对角化（分数：2.00）_21.已知 1 ， 2 ， 3 是 A 的特征值， 1 ， 2 ， 3 是相应的特征向量且线性无关，如 1 2 3 仍是 A 的特征向量，则 1 2 3 （分数：2.00）_22.设 ， 都是 n 维列向量时，证明： T 的特征值为 0，0，0， T 如果 不是零向量，则 是 T 的特征向量，特征值为 T （分数：2.00）_23.已知 (1，1，1) T 是 A （分数：2.00）_24.已知 是可逆矩阵 A （分数：2.00）_25.设 3 阶矩阵 A 有 3 个特征向量 1 (1，2，2) T ， 2 (2，2，1) T ， 3 (2，1，2) T ，它们的特
6、征值依次为 1，2，3，求 A（分数：2.00）_26.设 3 阶矩阵 A 有 3 个特征向量 1 (1，1，1) T ， 2 (1，2，4) T ， 3 (1，3，9) T ，它们的特征值依次为 1，2，3又设 (1，1，3) T ，求 A n （分数：2.00）_27.求 A （分数：2.00）_28.求 A 的特征值A （分数：2.00）_29.设 A （分数：2.00）_30.A 是 2 阶矩阵，2 维列向量 1 ， 2 线性无关，A 1 1 2 ，A 2 4 1 2 求 A 的特征值和A（分数：2.00）_31.设 3 阶矩阵 A 的各行元素之和都为 2，又 1 (1，2，2) T
7、和 2 (0，2，1) T 分别是(AE)X0 的(AE)X0 的解 (1)求 A 的特征值与特征向量 (2)求矩阵 A（分数：2.00）_32.A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且 （分数：2.00）_33.设 4 阶矩阵 A 满足 A 3 A (1)证明 A 的特征值不能为 0，1，和1 以外的数 (2)如果 A 还满足A2E8，确定 A 的特征值（分数：2.00）_34.已知 3 阶矩阵 A 满足AEAE4E2A0，求A 3 5A 2 （分数：2.00）_35.设 (1，0，1) T ，A T ，求aEA n （分数：2.00）_考研数学二（特征向量与特征值、相似、对角化）-试卷 2
8、 答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 是 A 的一个特征值，则伴随矩阵 A * 的一个特征值是（分数：2.00）A. -1 A n-1 B. -1 A C.AD.A n-1 解析：3.设 2 是可逆矩阵 A 的一个特征值，则( （分数：2.00）A.B.C. D.解析：4.设 A 是 3 阶不可逆矩阵， 1 ， 2 是 A0 的基础解系， 3 是属于特征值 1 的特征向量，下列不是 A 的特征向量的是（分数：2.00）
9、A. 1 3 2 B. 1 2 C. 1 3 D.2 3 解析：解析：A 1 0，A 2 0，A 3 3 则 A( 1 3 2 )0，A( 1 2 )0，A(2 3 )2 3 因此选项 A、B、D 都正确 A( 1 3 ) 3 ，和 1 3 不相关，因此 1 3 不是特征向量，故应选 C5.设 0 是 A 属于特征值 0 的特征向量，则 0 不一定是其特征向量的矩阵是（分数：2.00）A.(AE) 2 B.2AC.A T D.A * 解析：解析：由EA T (EA) T EA，知 A 与 A T 有相同的特征值，但方程组(EA)0 与(EA T )0 不一定同解，故 A 与 A T 特征向量不
10、一定相同故应选 C二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.设 A 是 n 阶可逆矩阵，A 是 A 的特征值，则(A * ) 2 E 必有特征值 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*1）解析：7.已知2 是 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：8.设 A 是秩为 2 的 3 阶实对称矩阵，且 2 5A0，则 A 的特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5，5，0）解析：9.已知 (1，1，1) T 是矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：设 A，即 亦即10.
11、设 A 是 3 阶矩阵，且各行元素之和都是 5，则 A 必有特征向量 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为各行元素之和都是 5，即 亦即 从而 所以矩阵 A 必有特征向量三、解答题(总题数：25，分数：50.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：12.已知 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由特征多项式 EA )解析：13.已知 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A )解析：14.已知 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由特征多项式 EA (1) 2 (2)， 知矩
12、阵 A 的特征值为 1 2 1， 3 2 因为矩阵 A 可以相似对角化，故 r(EA)=1而 EA 所以6 当 1 时，由(EA)0 得基础解系 1 (2，1，0) T ， 2 (0，0，1) T 当2 时，由(2EA)0 得基础解系 3 (5，1，3) T 那么，令 P( 1 ， 2 ， 3 ) ，得 P -1 AP )解析：15.已知 A 是 3 阶不可逆矩阵，1 和 2 是 A 的特征值，BA 2 A2E，求 B 的特征值，并问 B 能否相似对角化，并说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为矩阵 A 不可逆，有A0，从而 0 是 A 的特征值 由于矩阵 A 有 3 个不同的
13、特征值，则 A 于是 P -1 AP那么 P -1 A 2 P 2 因此 P -1 BPP -1 A 2 PP -1 AP2E )解析：16.设 3 阶矩阵 A 的特征值 1 1， 2 2， 3 3 对应的特征向量依次为 1 (1，1，1) T ， 2 (1，2，4) T ， 3 (1，3，9) T ()将向量 (1，1，3) T 用 1 ， 2 ， 3 线性表出；()求 A n （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()设 1 1 2 2 3 3 ，即 1 2， 2 2， 3 1 故 2 1 2 2 3 ()A2A 1 2A 2 A 3 ，则 A n 2A n 1 2A n 2 A n
14、3 2 1 2.2 n 2 3 n 3 )解析：17.设矩阵 A 可逆，向量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A * ，由 AA * AE，有AA，即 )解析：18.设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1 2 6 是 A 的二重特征值，若 1 (1，1，0) T ， 2 (2，1，1) T ， 3 (1，2，3) T 都是 A 属于 6 的特征向量，求矩阵 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 r(A)2 知A0，所以 0 是 A 的另一特征值 设矩阵 A 属于 0 的特征向量 ( 1 ， 2 ， 3 ) T ，由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有 解出
15、此方程组的基础解系 (1，1，1) T 那么 A( 1 ， 2 ，)(6 1 ，6 2 ，0)，用初等变换法解此矩阵方程得 A )解析：19.已知 AB，A 2 A，证明 B 2 B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 AB，有 P -1 APB，那么 B 2 P -1 A 2 PP -1 APB)解析：20.已知 A 2 0，A0，证明 A 不能相似对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A，0，那么 A 2 2 0从而 0 又因 A0，r(A)1，所以 A0 的基础解系有 nr(A)个向量，即 0 有 nr(A)个线性无关的特征向量 又nr(A)n，所以 A 不能相似
16、对角化)解析：21.已知 1 ， 2 ， 3 是 A 的特征值， 1 ， 2 ， 3 是相应的特征向量且线性无关，如 1 2 3 仍是 A 的特征向量，则 1 2 3 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 1 2 3 是矩阵 A 属于特征值 A 的特征向量，即 A( 1 2 3 )( 1 2 3 ) 又 A( 1 2 3 )A 1 A 2 A 3 1 1 2 2 3 3 ，于是 ( 1 ) 1 ( 2 ) 2 ( 3 ) 3 0 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，故 1 0， 2 0， 3 0 即 1 2 3 )解析：22.设 ， 都是 n 维列向量时，证明： T 的特征值为 0，0
17、，0， T 如果 不是零向量，则 是 T 的特征向量，特征值为 T （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 A T ，则 A 2 T T ( T )A，于是 A 的特征值都满足等式 2 ( T )，即只可能是 0 和 T 如果 T 0，则 A 的特征值都是 0 如果 T 0，则 A 的所有特征值之和为 tr(A) T ，它们一定是 n1 个为 0，一个为 T 仍记A T ，则 A T ( T )，因此则 是 A 的特征向量，特征值为 T )解析：23.已知 (1，1，1) T 是 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A，得 )解析：24.已知 是可逆矩阵 A （分数：2.0
18、0）_正确答案：(正确答案：由 A 可逆知 也是 A 的特征向量有 A 0 于是求出 a，b 和 0 而A 0 )解析：25.设 3 阶矩阵 A 有 3 个特征向量 1 (1，2，2) T ， 2 (2，2，1) T ， 3 (2，1，2) T ，它们的特征值依次为 1，2，3，求 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：建立矩阵方程 A( 1 ， 2 ， 3 )( 1 ，2 2 ，3 3 )，用初等变换法求解： 得 A(13) )解析：26.设 3 阶矩阵 A 有 3 个特征向量 1 (1，1，1) T ， 2 (1，2，4) T ， 3 (1，3，9) T ，它们的特征值依次为 1，2
19、，3又设 (1，1，3) T ，求 A n （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把 表示为 1 ， 2 ， 3 线性组合，即解方程 1 1 2 2 3 3 ， )解析：27.求 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)特征值的计算 r(A)1，即 r(A0E)1，于是 0 是 A 的特征值，并且其重数k4r(A)3即 A 的 4 个特征值中至少有 3 个为 0于是第 4 个特征值为 tr(A)4 (2)求特征向量 属于 0 的特征向量是 AX0 的非零解 AX0 和 1 2 3 4 0 同解得 AX0的一个基础解系 1 (1，1，0，0) T ， 2 (1，0，1，0) T
20、， 3 (1，0，0，1) T 属于 0 的特征向量的一般形式为 c 1 1 c 2 2 c 3 3 ，c 1 ，c 2 ，c 3 不全为 0 属于 4 的特征向量是(A4E)X0 的非零解 A4E 得(A4E)X0 的同解方程组 )解析：28.求 A 的特征值A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意得 A 3E， )解析：29.设 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 的特征多项式 )解析：30.A 是 2 阶矩阵，2 维列向量 1 ， 2 线性无关，A 1 1 2 ，A 2 4 1 2 求 A 的特征值和A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A( 1 ，)(
21、1 2 ，4 1 2 )，用矩阵分解法，得 ( 1 2 ，4 1 2 )( 1 ， 2 ) 记 B ，则 A( 1 ， 2 )( 1 ， 2 )B 由于 1 ， 2 线性无关，( 1 ， 2 )是可逆矩阵，于是 A 相似于 B A 和 B 的特征值一样 EB )解析：31.设 3 阶矩阵 A 的各行元素之和都为 2，又 1 (1，2，2) T 和 2 (0，2，1) T 分别是(AE)X0 的(AE)X0 的解 (1)求 A 的特征值与特征向量 (2)求矩阵 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) 1 (1，2，2) T 是(AE)X0 的解，即 A 1 1 ，于是 1 是 A的特
22、征向量，特征值为 1 同理得 2 ，是 A 的特征向量，特征值为1 记 3 (1，1，1) T ，由于 A 的各行元素之和都为 2，A 3 (2，2，2) T 2 3 ，即 3 也是 A 的特征向量，特征值为2 于是 A 的特征值为 1，1，2 属于 1 的特征向量为 c 1 ，c0 属于1 的特征向量为 c 2 ，c0 属于 2 的特征向量为 c 3 ，c0 (2)建立矩阵方程 A( 1 ， 2 ， 3 )( 1 ， 2 ，2 3 )，用初等变换法求解： ( 1 ， 2 ， 3 ) T ( 1 ， 2 ，2 3 ) T ) )解析：32.A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且 （分数：2.
23、00）_正确答案：(正确答案：(1)由条件得 A(1，2，1) T (3，6，3)，A(1，0，1) T (3，0，3)，说明(1，2，1) T 和(1，0，1) T 都是 A 的特征向量，特征值分别为3 和 3 A 的秩为 2维数 3，于是0 也是 A 的特征值 A 的特征值为3，3，0 属于3 的特征向量为 c(1，2，1) T ，c0 属于 3的特征向量为 c(1，0，1) T ，c0 属于 0 的特征向量和(1，2，1) T ，(1，0，1) T 都正交，即是方程组 的非零解，解出属于 0 的特征向量为：c(1，1，1) T ，c0 (2)利用 A 的 3 个特征向量，建立矩阵方程求
24、A 用初等变换法求解： )解析：33.设 4 阶矩阵 A 满足 A 3 A (1)证明 A 的特征值不能为 0，1，和1 以外的数 (2)如果 A 还满足A2E8，确定 A 的特征值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由于 A 3 A，A 的特征值 满足 3 ，从而 A 只能为 0，1 或1 (2)由A 的特征值不是 0，1，1 外的数，得知 A2E 的特征值不是 2，3，1 之外的数又由于A2E8，必有 A2E 的特征值为 2，2，2，1，从而 A 的特征值为 0，0，0，1)解析：34.已知 3 阶矩阵 A 满足AEAE4E2A0，求A 3 5A 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 3 5A 2 A 2 (A5E)，A 3 5A 2 A 2 A5E A1(1)22，A5E 的特征值为4，6，3，A5E(4)(6)(3)72于是 A 3 5A 2 4(72)288)解析：35.设 (1，0，1) T ，A T ，求aEA n （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用 A 容易计算其方幂，求出矩阵 aEA n 后再计算行列式 A n ( T ) n ( T ) n-1 A2 n-1 aEA n )解析：
