ImageVerifierCode 换一换
格式:DOC , 页数:9 ,大小:148KB ,
资源ID:1396344      下载积分:2000 积分
快捷下载
登录下载
邮箱/手机:
温馨提示:
如需开发票,请勿充值!快捷下载时,用户名和密码都是您填写的邮箱或者手机号,方便查询和重复下载(系统自动生成)。
如填写123,账号就是123,密码也是123。
特别说明:
请自助下载,系统不会自动发送文件的哦; 如果您已付费,想二次下载,请登录后访问:我的下载记录
支付方式: 支付宝扫码支付 微信扫码支付   
注意:如需开发票,请勿充值!
验证码:   换一换

加入VIP,免费下载
 

温馨提示:由于个人手机设置不同,如果发现不能下载,请复制以下地址【http://www.mydoc123.com/d-1396344.html】到电脑端继续下载(重复下载不扣费)。

已注册用户请登录:
账号:
密码:
验证码:   换一换
  忘记密码?
三方登录: 微信登录  

下载须知

1: 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。
2: 试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓。
3: 文件的所有权益归上传用户所有。
4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
5. 本站仅提供交流平台,并不能对任何下载内容负责。
6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

版权提示 | 免责声明

本文(【考研类试卷】考研数学二(线性代数)-试卷20及答案解析.doc)为本站会员(twoload295)主动上传,麦多课文库仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知麦多课文库(发送邮件至master@mydoc123.com或直接QQ联系客服),我们立即给予删除!

【考研类试卷】考研数学二(线性代数)-试卷20及答案解析.doc

1、考研数学二(线性代数)-试卷 20 及答案解析(总分:60.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 A 为 n 阶矩阵,A 2 =A,则下列成立的是( )(分数:2.00)A.A=OB.A=EC.若 A 不可逆,则 A=OD.若 A 可逆,则 A=E3.设 A=( 1 , 2 , m ),若对于任意不全为零的常数 k 1 ,k 2 ,k m ,皆有 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0,则( )(分数:2.00)A.mnB.m=nC.存在 m 阶可逆阵 P,使得 AP=

2、D.若 AB=O,则 B=O4.设 1 , 2 , m 与 1 , 2 , s 为两个 n 维向量组,且 r( 1 , 2 , m )=r( 1 , 2 , s )=r,则( )(分数:2.00)A.两个向量组等价B.r( 1 , 2 , m , 1 , 2 , s )=rC.若向量组 1 , 2 , m 可由向量组 1 , 2 , s 线性表示,则两向量组等价D.两向量组构成的矩阵等价5.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A * O,且非齐次线性方程组 AX=b 有两个不同解 1 , 2 ,则下列命题正确的是( )(分数:2.00)A.AX=b 的通解为 k 1 1 +k 2 2B. 1 +

3、2 为 AX=b 的解C.方程组 AX=0 的通解为 k( 1 + 2 )D.AX=b 的通解为 k 1 1 +k 2 2 + 6.设 A 为 mn 阶矩阵,则方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是( )(分数:2.00)A.r(A)=mB.r(A)=nC.A 为可逆矩阵D.r(A)=n 且 b 可由 A 的列向量组线性表示7.设三阶矩阵 A 的特征值为-1,1,2,其对应的特征向量为 1 , 2 , 3 ,令 P=(3 2 ,- 3 ,2 1 ),则 P -1 AP 等于( ) (分数:2.00)A.B.C.D.8.设 A,B 为 n 阶可逆矩阵,则( )(分数:2.00)A.存在可逆矩

4、阵 P,使得 P -1 AP=BB.存在正交矩阵 Q,使得 Q T AQ=BC.A,B 与同一个对角矩阵相似D.存在可逆矩阵 P,Q,使得 PAQ=B二、填空题(总题数:3,分数:6.00)9.设 A,B 都是三阶矩阵,A 相似于 B,且E-A=E-2A=E-3A=0,则B -1 +2E= 1(分数:2.00)填空项 1:_10.设 A= (分数:2.00)填空项 1:_11.设 1 , 2 , 3 是三阶矩阵 A 的三个不同特征值, 1 , 2 , 3 分别是属于特征值 1 , 2 , 3 的特征向量,若 1 ,A( 1 + 2 ),A 2 ( 1 + 2 + 3 )线性无关,则 1 , 2

5、 , 3 满足 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:17,分数:38.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13.设 A 是正交矩阵,且A_14.设 A,B 为三阶矩阵,且 AB,且 1 =1, 2 =2 为 A 的两个特征值,B=2,求 (分数:2.00)_设 A=E- T ,其中 a 为 n 维非零列向量证明:(分数:4.00)(1).A 2 =A 的充分必要条件是 g 为单位向量;(分数:2.00)_(2).当 a 是单位向量时 A 为不可逆矩阵(分数:2.00)_15.设 A 是 n(n3)阶矩阵,证明:(A * ) * =A n-2 A(分数:

6、2.00)_16.设 1 , 2 , n 为 n 个 n 维向量,证明: 1 , 2 , n 线性无关的充分必要条件是任一 n 维向量总可由 1 , 2 , n 线性表示(分数:2.00)_17.A,B 为 n 阶矩阵且 r(A)+r(B)_18.证明:r(AB)rainr(A),r(B)(分数:2.00)_19.设 A 是 mn 阶矩阵,且非齐次线性方程组 AX=b 满足 r(A)=r( (分数:2.00)_设矩阵 A= (分数:4.00)(1).若 A 有一个特征值为 3,求 a;(分数:2.00)_(2).求可逆矩阵 P,使得 p T A 2 P 为对角矩阵(分数:2.00)_20.设

7、A 为三阶矩阵,且有三个互异的正的特征值,设矩阵 B=(A * ) 2 -4E 的特征值为 0,5,32求 A -1 的特征值并判断 A -1 是否可对角化(分数:2.00)_设 A= 的一个特征值为 1 =2,其对应的特征向量为 1 = (分数:4.00)(1).求常数 a,b,c;(分数:2.00)_(2).判断 A 是否可对角化,若可对角化,求可逆矩阵 P,使得 P -1 AP 为对角矩阵若不可对角化,说明理由(分数:2.00)_21.设 A= (分数:2.00)_22.设 A 为三阶方阵,A 的每行元素之和为 5,AX=0 的通解为 ,设 = (分数:2.00)_23. (分数:2.0

8、0)_24.设 A 为 mn 阶实矩阵,且 r(A)=n证明:A T T A 的特征值全大于零(分数:2.00)_25.设二次型 f=2x 1 2 +x 2 2 +ax 3 2 +2x 1 x 2 +2bx 1 3 +2x 2 x 3 经过正交变换 X=QY 化为标准形 f=y 1 2 +y 2 2 +4y 3 2 ,求参数 a,b 及正交矩阵 Q(分数:2.00)_考研数学二(线性代数)-试卷 20 答案解析(总分:60.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 A 为

9、 n 阶矩阵,A 2 =A,则下列成立的是( )(分数:2.00)A.A=OB.A=EC.若 A 不可逆,则 A=OD.若 A 可逆,则 A=E 解析:解析:因为 A 2 =A,所以 A(E-A)=O,由矩阵秩的性质得 r(A)+r(E-A)=n,若 A 可逆,则 r(A)=n,所以 r(E-A)=0,A=E,选(D)3.设 A=( 1 , 2 , m ),若对于任意不全为零的常数 k 1 ,k 2 ,k m ,皆有 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0,则( )(分数:2.00)A.mnB.m=nC.存在 m 阶可逆阵 P,使得 AP=D.若 AB=O,则 B=O 解析:解析:因为对任

10、意不全为零的常数 k 1 ,k 2 ,k m ,有 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0,所以向量组 1 , 2 , m 线性无关,即方程组 AX=0 只有零解,故若 AB=O,则 B=O,选(D)4.设 1 , 2 , m 与 1 , 2 , s 为两个 n 维向量组,且 r( 1 , 2 , m )=r( 1 , 2 , s )=r,则( )(分数:2.00)A.两个向量组等价B.r( 1 , 2 , m , 1 , 2 , s )=rC.若向量组 1 , 2 , m 可由向量组 1 , 2 , s 线性表示,则两向量组等价D.两向量组构成的矩阵等价解析:解析:不妨设向量组 1 ,

11、2 , m 的极大线性无关组为 1 , 2 , r ,向量组 1 , 2 , s 的极大线性无关组为 1 , 2 , r ,若 1 , 2 , m 可由 1 , 2 , s 线性表示则 1 , 2 , r ,也可由 1 , 2 , r 线性表示,若 1 , 2 , r 不可由 1 , 2 , r 线性表示则 1 , 2 , s 也不可由 1 , 2 , m 线性表示,所以两向量组秩不等,矛盾,选(C)5.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A * O,且非齐次线性方程组 AX=b 有两个不同解 1 , 2 ,则下列命题正确的是( )(分数:2.00)A.AX=b 的通解为 k 1 1 +k 2 2

12、B. 1 + 2 为 AX=b 的解C.方程组 AX=0 的通解为 k( 1 + 2 ) D.AX=b 的通解为 k 1 1 +k 2 2 + 解析:解析:因为非齐次线性方程组 AX=b 的解不唯一,所以 r(A) *0,所以 r(A)=n-1, 2- 1为齐次线性方程组 AX=0 的基础解系,选(C)6.设 A 为 mn 阶矩阵,则方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是( )(分数:2.00)A.r(A)=mB.r(A)=nC.A 为可逆矩阵D.r(A)=n 且 b 可由 A 的列向量组线性表示 解析:解析:方程组 AX=b 有解的充分必要条件是 6 可由矩阵 A 的列向量组线性表示,在

13、方程组 AX=b 有解的情形下,其有唯一解的充分必要条件是 r(A)=n,故选(D)7.设三阶矩阵 A 的特征值为-1,1,2,其对应的特征向量为 1 , 2 , 3 ,令 P=(3 2 ,- 3 ,2 1 ),则 P -1 AP 等于( ) (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:显然 3 2 ,- 3 ,2 1 也是特征值 1,2,-1 的特征向量,所以 P -1 AP= 8.设 A,B 为 n 阶可逆矩阵,则( )(分数:2.00)A.存在可逆矩阵 P,使得 P -1 AP=BB.存在正交矩阵 Q,使得 Q T AQ=BC.A,B 与同一个对角矩阵相似D.存在可逆矩阵 P,Q,使

14、得 PAQ=B 解析:解析:因为 A,B 都是可逆矩阵,所以 A,B 等价,即存在可逆矩阵 P,Q,使得 PAQ=B 选(D)二、填空题(总题数:3,分数:6.00)9.设 A,B 都是三阶矩阵,A 相似于 B,且E-A=E-2A=E-3A=0,则B -1 +2E= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:60)解析:解析:因为E-A=E-2A=E-3A=0,所以 A 的三个特征值为 ,1,又 AB,所以 B的特征值为 10.设 A= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)解析:解析:BA=O11.设 1 , 2 , 3 是三阶矩阵 A 的三个不同特征值

15、, 1 , 2 , 3 分别是属于特征值 1 , 2 , 3 的特征向量,若 1 ,A( 1 + 2 ),A 2 ( 1 + 2 + 3 )线性无关,则 1 , 2 , 3 满足 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: 2 3 0)解析:解析:令 x 1 1 +x 2 A( 1 + 2 )+x 3 A 2 ( 1 + 2 + 3 )=0,即 (x 1 + 1 x 2 + 1 2 x 3 ) 1 +( 2 x 2 + 2 2 x 3 ) 2 + 3 2 x 3 3 =0,则有 x 1 + 1 x 2 + 1 2 x 3 =0, 2 x 2 + 2 2 x 3 =0, 3 2

16、x 3 =0,因为 x 1 ,x 2 ,x 3 只能全为零,所以 三、解答题(总题数:17,分数:38.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析:13.设 A 是正交矩阵,且A_正确答案:(正确答案:因为 A 是正交矩阵,所以 A T A=E,两边取行列式得A 2 =1,因为A T A+A=(A T +E)A=AA T +E=-A T +E=-(A+E)T=-E+A 得E+A=0)解析:14.设 A,B 为三阶矩阵,且 AB,且 1 =1, 2 =2 为 A 的两个特征值,B=2,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 AB,所以 A,B 特征值相同,设另一

17、特征值为 3 ,由B= 1 2 3 =2 得 3 =1A+E 的特征值为 2,3,2,(A+E) -1 的特征值为 因为 B 的特征值为1,2,1,所以 B * 的特征值为 ,即为 2,1,2,于是B * =4, (2B) * =4B * =4 3 B * =256,故 )解析:设 A=E- T ,其中 a 为 n 维非零列向量证明:(分数:4.00)(1).A 2 =A 的充分必要条件是 g 为单位向量;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 T =k,则 A 2 =(E- T )(E- T )=E-2 T +k T ,因为 a 为非零向量,所以 T O,于是 A 2 =A 的充分必要

18、条件是 k=1,而 T = 2 ,所以 A 2 =A 的充要条件是 为单位向量)解析:(2).当 a 是单位向量时 A 为不可逆矩阵(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:当 是单位向量时由 A 2 =A 得 f(a)+r(E-A)=n,因为 E-A= T 0,所以r(E-A)1,于是 r(A)n-1 )解析:15.设 A 是 n(n3)阶矩阵,证明:(A * ) * =A n-2 A(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(A * ) * A * =A * E=A n-1 E,当 r(A)=n 时,r(A * )=n,A * =AA -1 ,则(A * ) * A * =(A * ) *

19、 AA -1 =A n-1 E,故(A * ) * =A n-2 A 当 r(A)=n-1 时,A=0,r(A * )=1,r(A * ) * =0,即(A * ) * =0,原式显然成立当 r(A) *)=0,(A *)*=O,原式也成立)解析:16.设 1 , 2 , n 为 n 个 n 维向量,证明: 1 , 2 , n 线性无关的充分必要条件是任一 n 维向量总可由 1 , 2 , n 线性表示(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 1 , 2 , n 线性无关,对任意的 n 维向量 a,因为 1 , 2 , n , 一定线性相关,所以 可由 1 , 2 , n 唯一线性表示,即

20、任一 n 维向量总可由 1 , 2 , n 线性表示 反之,设任一 n 维向量总可由 1 , 2 , n 线性表示,取 )解析:17.A,B 为 n 阶矩阵且 r(A)+r(B)_正确答案:(正确答案:方程组 的解即为方程组 Ax=0 与 BX=0 的公共解 因为 r )解析:18.证明:r(AB)rainr(A),r(B)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 r(B)=r,BX=0 的基础解系含有,n-r 个线性无关的解向量,因为 BX=0 的解一定是 ABX=0 的解,所以 ABX=0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数不少于 BX=0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数,

21、即 n-r(AB)n-r(B),r(AB)r(B); 又因为 r(AB) T =r(AB)=r(B T A T )r(A T )=r(A),所以 r(AB)minr(A),r(B)解析:19.设 A 是 mn 阶矩阵,且非齐次线性方程组 AX=b 满足 r(A)=r( (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 r(A)=r 1, 2, n-r 设 0为方程组 AX=b 的一个特解, 令 0= 0, 1= 1+ 0, 2= 2+ 0, n-r= n-r+ 0,显然 0, 1, 2, n-r为方程组 AX=b的一组解 令 k0 0+k1 1+kn-r n-r=0,即 (k 0+k1+kn-r

22、) 0+k1 1+k2 2+kn-r n-r=0, 上式两边左乘 A 得(k 0+k1+kn-r)b=0, 因为 b 为非零列向量,所以 k0+k1+kn-r=0,于是 k 1 1+k2 2+kn-r n-r=0, 注意到 1, 2, n-r线性无关,所以 k1=k2=kn-r=0, 故 0, 1, 2, n-r线性无关,即方程组 AX=b 存在由 n-r+1 个线性无关的解向量构成的向量组设 1, 2, n-r+2为方程组 AX=b 的一组线性无关解, 令 1= 2- 1, 2= 3- 1, n-r+1= n-r+2= 1,根据定义,易证 1, 2, n-r+1线性无关,又 1, 2, n-

23、r+1为齐次线性方程组 AX=0 的一组解,即方程组AX=0 含有 n-r+1 个线性无关的解,矛盾,所以 AX=b 的任意 n-r+2 个解向量都是线性相关的,所以 AX=b的线性无关的解向量的个数最多为 n-r+1 个)解析:设矩阵 A= (分数:4.00)(1).若 A 有一个特征值为 3,求 a;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:E-A-( 2 -1) 2 -(a+2)+2a-1,把 =3 代入上式得 a=2,于是 )解析:(2).求可逆矩阵 P,使得 p T A 2 P 为对角矩阵(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由E-A 2 =0 得 A 2 的特征值为 1 = 2

24、 = 3 =1, 4 =9 当 =1时,由(E-A 2 )X=0 得 1 =(1,0,0,0) T , 2 =(0,1,0,0) T , 3 =(0,0,-1,1) T ; 当=9 时,由(9E-A 2 )X=0 得 4 =(0,0,1,1) T 将 1 , 2 , 3 正交规范化得 1 =(1,0,0,0) T , 2 =(0,1,0,0) T , 3 = ,将 4 规范化得 4 = )解析:20.设 A 为三阶矩阵,且有三个互异的正的特征值,设矩阵 B=(A * ) 2 -4E 的特征值为 0,5,32求 A -1 的特征值并判断 A -1 是否可对角化(分数:2.00)_正确答案:(正确

25、答案:设 A 的三个特征值为 1 , 2 , 3 ,因为 B=(A * ) 2 -4E 的三个特征值为0,5,32,所以 (A * ) 2 的三个特征值为 4,9,36,于是 A * 的三个特征值为 2,3,6 又因为A * =36=A 3-1 ,所以A=6 由 =6,得 1 =3, 2 =2, 3 =1, 由于一对逆矩阵的特征值互为倒数,所以 A -1 的特征值为 1, )解析:设 A= 的一个特征值为 1 =2,其对应的特征向量为 1 = (分数:4.00)(1).求常数 a,b,c;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:(2).判断 A 是否可对角化,若可对角化,求可逆矩阵

26、 P,使得 P -1 AP 为对角矩阵若不可对角化,说明理由(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由E-A= =0,得 1 = 2 =2, 3 =-1 )解析:21.设 A= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由E-A= =0,得 1 = 2 =1, 3 =2 因为矩阵 A 有三个线性无关的特征向量,所以 A 一定可对角化,从而 r(E-A)=1, 即 a=1,故 A= 由 =1 时,由(E-A)X=0,得 由 =2 时,由(2E-A)x=0,得 3 = )解析:22.设 A 为三阶方阵,A 的每行元素之和为 5,AX=0 的通解为 ,设 = (分数:2.00)_正确答案:(正确答

27、案:因为 A 的每行元素之和为 5,所以有 ,即 A 有一个特征值为 1 =5,其对应的特征向量为 1 = ,A 1 =5 1 又 AX=0 的通解为 ,则 r(A)=1 2 = 3 =0,其对应的特征向量为 ,A 2 =0,A 3 =0 令 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =,解得 x 1 =8,x 2 =-1,x 3 =-2, 则 A=8A 1 -A 2 -2A 3 =8A 1 =40 )解析:23. (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由E-B=0,得 1 =-1, 2 =1, 3 =2,因为 AB,所以 A 的特征值为 1 =-1, 2 =1, 3 =2 由 tr(A)=

28、 1 + 2 + 3 ,得 a=1,再由A=b= 1 2 3 =-2,得 b=-2,即 A= 由(-E-A)X=0,得 1 =(1,1,0) T ; 由(E-A)X=0,得 2 =(-2,1,1) T ; 由(2E-A)X=0,得 3 =(-2,1,0) T , 由(-E-B)X=0,得 1 =(-1,0,1) T ; 由(E-B)X=0,得 2 =(1,0,0) T ; 由(2E-B)X=0,得 3 =(8,3,4) T 由 P 1 -1 AP 1 =P 2 -1 BP 2 ,得(P 1 P 2 -1 ) -1 AP 1 P 2 -1 =B, 令 P=P 1 P 2 -1 = )解析:24.

29、设 A 为 mn 阶实矩阵,且 r(A)=n证明:A T T A 的特征值全大于零(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:首先 A T A 为实对称矩阵,r(A T A)=n,对任意的 X0, X T (A T A)X=(AX) T (AX),令 AX=,因为 r(A)=n,所以 0,所以 (AX) T (AX)=T= 2 0,即二次型 X T (A T A)X 是正定二次型,A T A 为正定矩阵,所以 A T A 的特征值全大于零)解析:25.设二次型 f=2x 1 2 +x 2 2 +ax 3 2 +2x 1 x 2 +2bx 1 3 +2x 2 x 3 经过正交变换 X=QY 化为标

30、准形 f=y 1 2 +y 2 2 +4y 3 2 ,求参数 a,b 及正交矩阵 Q(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:二次型 f=2x 1 2 +x 2 2 +ax 3 2 +2x 1 x 2 +2bx 1 3 +2x 2 x 3 的矩阵形式为 f=X T AX 其中 ,所以 AB(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵),于是 A 的特征值为1,1,4 而E-A= 3 -(a+4) 2 +(4a-b 2 +2)+(-3a-2b+2b 2 +2),所以有 3 -(a+4) 2 +(4a-b 2 +2)+(-3a-2b+2b 2 +2)=(-1) 2 (-4), 解得 a=2,b=1当 1 = 2 =1 时,由(E-A)X=0 得 由 3 =4 时,由(4E-A)X=0 得 3 = 显然 1 , 2 , 3 两两正交,单位化为 )解析:

copyright@ 2008-2019 麦多课文库(www.mydoc123.com)网站版权所有
备案/许可证编号:苏ICP备17064731号-1