1、考研数学二（线性代数）-试卷 20 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 为 n 阶矩阵，A 2 =A，则下列成立的是( )（分数：2.00）A.A=OB.A=EC.若 A 不可逆，则 A=OD.若 A 可逆，则 A=E3.设 A=( 1 ， 2 ， m )，若对于任意不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k m ，皆有 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0，则( )（分数：2.00）A.mnB.m=nC.存在 m 阶可逆阵 P，使得 AP=
2、D.若 AB=O，则 B=O4.设 1 ， 2 ， m 与 1 ， 2 ， s 为两个 n 维向量组，且 r( 1 ， 2 ， m )=r( 1 ， 2 ， s )=r，则( )（分数：2.00）A.两个向量组等价B.r( 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， s )=rC.若向量组 1 ， 2 ， m 可由向量组 1 ， 2 ， s 线性表示，则两向量组等价D.两向量组构成的矩阵等价5.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A * O，且非齐次线性方程组 AX=b 有两个不同解 1 ， 2 ，则下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.AX=b 的通解为 k 1 1 +k 2 2B. 1 +
3、2 为 AX=b 的解C.方程组 AX=0 的通解为 k( 1 + 2 )D.AX=b 的通解为 k 1 1 +k 2 2 + 6.设 A 为 mn 阶矩阵，则方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.r(A)=mB.r(A)=nC.A 为可逆矩阵D.r(A)=n 且 b 可由 A 的列向量组线性表示7.设三阶矩阵 A 的特征值为-1，1，2，其对应的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 P=(3 2 ，- 3 ，2 1 )，则 P -1 AP 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.存在可逆矩
4、阵 P，使得 P -1 AP=BB.存在正交矩阵 Q，使得 Q T AQ=BC.A，B 与同一个对角矩阵相似D.存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B二、填空题(总题数：3，分数：6.00)9.设 A，B 都是三阶矩阵，A 相似于 B，且E-A=E-2A=E-3A=0，则B -1 +2E= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_11.设 1 ， 2 ， 3 是三阶矩阵 A 的三个不同特征值， 1 ， 2 ， 3 分别是属于特征值 1 ， 2 ， 3 的特征向量，若 1 ，A( 1 + 2 )，A 2 ( 1 + 2 + 3 )线性无关，则 1 ， 2
5、 ， 3 满足 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：38.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13.设 A 是正交矩阵，且A_14.设 A，B 为三阶矩阵，且 AB，且 1 =1， 2 =2 为 A 的两个特征值，B=2，求 （分数：2.00）_设 A=E- T ，其中 a 为 n 维非零列向量证明：（分数：4.00）(1).A 2 =A 的充分必要条件是 g 为单位向量；（分数：2.00）_(2).当 a 是单位向量时 A 为不可逆矩阵（分数：2.00）_15.设 A 是 n(n3)阶矩阵，证明：(A * ) * =A n-2 A（分数：
6、2.00）_16.设 1 ， 2 ， n 为 n 个 n 维向量，证明： 1 ， 2 ， n 线性无关的充分必要条件是任一 n 维向量总可由 1 ， 2 ， n 线性表示（分数：2.00）_17.A，B 为 n 阶矩阵且 r(A)+r(B)_18.证明：r(AB)rainr(A)，r(B)（分数：2.00）_19.设 A 是 mn 阶矩阵，且非齐次线性方程组 AX=b 满足 r(A)=r( （分数：2.00）_设矩阵 A= （分数：4.00）(1).若 A 有一个特征值为 3，求 a；（分数：2.00）_(2).求可逆矩阵 P，使得 p T A 2 P 为对角矩阵（分数：2.00）_20.设
7、A 为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵 B=(A * ) 2 -4E 的特征值为 0，5，32求 A -1 的特征值并判断 A -1 是否可对角化（分数：2.00）_设 A= 的一个特征值为 1 =2，其对应的特征向量为 1 = （分数：4.00）(1).求常数 a，b，c；（分数：2.00）_(2).判断 A 是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP 为对角矩阵若不可对角化，说明理由（分数：2.00）_21.设 A= （分数：2.00）_22.设 A 为三阶方阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 的通解为 ，设 = （分数：2.00）_23. （分数：2.0
8、0）_24.设 A 为 mn 阶实矩阵，且 r(A)=n证明：A T T A 的特征值全大于零（分数：2.00）_25.设二次型 f=2x 1 2 +x 2 2 +ax 3 2 +2x 1 x 2 +2bx 1 3 +2x 2 x 3 经过正交变换 X=QY 化为标准形 f=y 1 2 +y 2 2 +4y 3 2 ，求参数 a，b 及正交矩阵 Q（分数：2.00）_考研数学二（线性代数）-试卷 20 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 为
9、 n 阶矩阵，A 2 =A，则下列成立的是( )（分数：2.00）A.A=OB.A=EC.若 A 不可逆，则 A=OD.若 A 可逆，则 A=E 解析：解析：因为 A 2 =A，所以 A(E-A)=O，由矩阵秩的性质得 r(A)+r(E-A)=n，若 A 可逆，则 r(A)=n，所以 r(E-A)=0，A=E，选(D)3.设 A=( 1 ， 2 ， m )，若对于任意不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k m ，皆有 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0，则( )（分数：2.00）A.mnB.m=nC.存在 m 阶可逆阵 P，使得 AP=D.若 AB=O，则 B=O 解析：解析：因为对任
10、意不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k m ，有 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0，所以向量组 1 ， 2 ， m 线性无关，即方程组 AX=0 只有零解，故若 AB=O，则 B=O，选(D)4.设 1 ， 2 ， m 与 1 ， 2 ， s 为两个 n 维向量组，且 r( 1 ， 2 ， m )=r( 1 ， 2 ， s )=r，则( )（分数：2.00）A.两个向量组等价B.r( 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， s )=rC.若向量组 1 ， 2 ， m 可由向量组 1 ， 2 ， s 线性表示，则两向量组等价D.两向量组构成的矩阵等价解析：解析：不妨设向量组 1 ，
11、2 ， m 的极大线性无关组为 1 ， 2 ， r ，向量组 1 ， 2 ， s 的极大线性无关组为 1 ， 2 ， r ，若 1 ， 2 ， m 可由 1 ， 2 ， s 线性表示则 1 ， 2 ， r ，也可由 1 ， 2 ， r 线性表示，若 1 ， 2 ， r 不可由 1 ， 2 ， r 线性表示则 1 ， 2 ， s 也不可由 1 ， 2 ， m 线性表示，所以两向量组秩不等，矛盾，选(C)5.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A * O，且非齐次线性方程组 AX=b 有两个不同解 1 ， 2 ，则下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.AX=b 的通解为 k 1 1 +k 2 2
12、B. 1 + 2 为 AX=b 的解C.方程组 AX=0 的通解为 k( 1 + 2 ) D.AX=b 的通解为 k 1 1 +k 2 2 + 解析：解析：因为非齐次线性方程组 AX=b 的解不唯一，所以 r(A) *0，所以 r(A)=n-1， 2- 1为齐次线性方程组 AX=0 的基础解系，选(C)6.设 A 为 mn 阶矩阵，则方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.r(A)=mB.r(A)=nC.A 为可逆矩阵D.r(A)=n 且 b 可由 A 的列向量组线性表示 解析：解析：方程组 AX=b 有解的充分必要条件是 6 可由矩阵 A 的列向量组线性表示，在
13、方程组 AX=b 有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是 r(A)=n，故选(D)7.设三阶矩阵 A 的特征值为-1，1，2，其对应的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 P=(3 2 ，- 3 ，2 1 )，则 P -1 AP 等于( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：显然 3 2 ，- 3 ，2 1 也是特征值 1，2，-1 的特征向量，所以 P -1 AP= 8.设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=BB.存在正交矩阵 Q，使得 Q T AQ=BC.A，B 与同一个对角矩阵相似D.存在可逆矩阵 P，Q，使
14、得 PAQ=B 解析：解析：因为 A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B 选(D)二、填空题(总题数：3，分数：6.00)9.设 A，B 都是三阶矩阵，A 相似于 B，且E-A=E-2A=E-3A=0，则B -1 +2E= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：60）解析：解析：因为E-A=E-2A=E-3A=0，所以 A 的三个特征值为 ，1，又 AB，所以 B的特征值为 10.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：BA=O11.设 1 ， 2 ， 3 是三阶矩阵 A 的三个不同特征值
15、， 1 ， 2 ， 3 分别是属于特征值 1 ， 2 ， 3 的特征向量，若 1 ，A( 1 + 2 )，A 2 ( 1 + 2 + 3 )线性无关，则 1 ， 2 ， 3 满足 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 2 3 0）解析：解析：令 x 1 1 +x 2 A( 1 + 2 )+x 3 A 2 ( 1 + 2 + 3 )=0，即 (x 1 + 1 x 2 + 1 2 x 3 ) 1 +( 2 x 2 + 2 2 x 3 ) 2 + 3 2 x 3 3 =0，则有 x 1 + 1 x 2 + 1 2 x 3 =0， 2 x 2 + 2 2 x 3 =0， 3 2
16、x 3 =0，因为 x 1 ，x 2 ，x 3 只能全为零，所以 三、解答题(总题数：17，分数：38.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：13.设 A 是正交矩阵，且A_正确答案：(正确答案：因为 A 是正交矩阵，所以 A T A=E，两边取行列式得A 2 =1，因为A T A+A=(A T +E)A=AA T +E=-A T +E=-(A+E)T=-E+A 得E+A=0)解析：14.设 A，B 为三阶矩阵，且 AB，且 1 =1， 2 =2 为 A 的两个特征值，B=2，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 AB，所以 A，B 特征值相同，设另一
17、特征值为 3 ，由B= 1 2 3 =2 得 3 =1A+E 的特征值为 2，3，2，(A+E) -1 的特征值为 因为 B 的特征值为1，2，1，所以 B * 的特征值为 ，即为 2，1，2，于是B * =4， (2B) * =4B * =4 3 B * =256，故 )解析：设 A=E- T ，其中 a 为 n 维非零列向量证明：（分数：4.00）(1).A 2 =A 的充分必要条件是 g 为单位向量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 T =k，则 A 2 =(E- T )(E- T )=E-2 T +k T ，因为 a 为非零向量，所以 T O，于是 A 2 =A 的充分必要
18、条件是 k=1，而 T = 2 ，所以 A 2 =A 的充要条件是 为单位向量)解析：(2).当 a 是单位向量时 A 为不可逆矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 是单位向量时由 A 2 =A 得 f(a)+r(E-A)=n，因为 E-A= T 0，所以r(E-A)1，于是 r(A)n-1 )解析：15.设 A 是 n(n3)阶矩阵，证明：(A * ) * =A n-2 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(A * ) * A * =A * E=A n-1 E，当 r(A)=n 时，r(A * )=n，A * =AA -1 ，则(A * ) * A * =(A * ) *
19、 AA -1 =A n-1 E，故(A * ) * =A n-2 A 当 r(A)=n-1 时，A=0，r(A * )=1，r(A * ) * =0，即(A * ) * =0，原式显然成立当 r(A) *)=0，(A *)*=O，原式也成立)解析：16.设 1 ， 2 ， n 为 n 个 n 维向量，证明： 1 ， 2 ， n 线性无关的充分必要条件是任一 n 维向量总可由 1 ， 2 ， n 线性表示（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 1 ， 2 ， n 线性无关，对任意的 n 维向量 a，因为 1 ， 2 ， n ， 一定线性相关，所以 可由 1 ， 2 ， n 唯一线性表示，即
20、任一 n 维向量总可由 1 ， 2 ， n 线性表示 反之，设任一 n 维向量总可由 1 ， 2 ， n 线性表示，取 )解析：17.A，B 为 n 阶矩阵且 r(A)+r(B)_正确答案：(正确答案：方程组 的解即为方程组 Ax=0 与 BX=0 的公共解 因为 r )解析：18.证明：r(AB)rainr(A)，r(B)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 r(B)=r，BX=0 的基础解系含有，n-r 个线性无关的解向量，因为 BX=0 的解一定是 ABX=0 的解，所以 ABX=0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数不少于 BX=0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数，
21、即 n-r(AB)n-r(B)，r(AB)r(B)； 又因为 r(AB) T =r(AB)=r(B T A T )r(A T )=r(A)，所以 r(AB)minr(A)，r(B)解析：19.设 A 是 mn 阶矩阵，且非齐次线性方程组 AX=b 满足 r(A)=r( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)=r 1， 2， n-r 设 0为方程组 AX=b 的一个特解， 令 0= 0， 1= 1+ 0， 2= 2+ 0， n-r= n-r+ 0，显然 0， 1， 2， n-r为方程组 AX=b的一组解 令 k0 0+k1 1+kn-r n-r=0，即 (k 0+k1+kn-r
22、) 0+k1 1+k2 2+kn-r n-r=0， 上式两边左乘 A 得(k 0+k1+kn-r)b=0， 因为 b 为非零列向量，所以 k0+k1+kn-r=0，于是 k 1 1+k2 2+kn-r n-r=0， 注意到 1， 2， n-r线性无关，所以 k1=k2=kn-r=0， 故 0， 1， 2， n-r线性无关，即方程组 AX=b 存在由 n-r+1 个线性无关的解向量构成的向量组设 1， 2， n-r+2为方程组 AX=b 的一组线性无关解， 令 1= 2- 1， 2= 3- 1， n-r+1= n-r+2= 1，根据定义，易证 1， 2， n-r+1线性无关，又 1， 2， n-
23、r+1为齐次线性方程组 AX=0 的一组解，即方程组AX=0 含有 n-r+1 个线性无关的解，矛盾，所以 AX=b 的任意 n-r+2 个解向量都是线性相关的，所以 AX=b的线性无关的解向量的个数最多为 n-r+1 个)解析：设矩阵 A= （分数：4.00）(1).若 A 有一个特征值为 3，求 a；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E-A-( 2 -1) 2 -(a+2)+2a-1，把 =3 代入上式得 a=2，于是 )解析：(2).求可逆矩阵 P，使得 p T A 2 P 为对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由E-A 2 =0 得 A 2 的特征值为 1 = 2
24、 = 3 =1， 4 =9 当 =1时，由(E-A 2 )X=0 得 1 =(1，0，0，0) T ， 2 =(0，1，0，0) T ， 3 =(0，0，-1，1) T ； 当=9 时，由(9E-A 2 )X=0 得 4 =(0，0，1，1) T 将 1 ， 2 ， 3 正交规范化得 1 =(1，0，0，0) T ， 2 =(0，1，0，0) T ， 3 = ，将 4 规范化得 4 = )解析：20.设 A 为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵 B=(A * ) 2 -4E 的特征值为 0，5，32求 A -1 的特征值并判断 A -1 是否可对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确
25、答案：设 A 的三个特征值为 1 ， 2 ， 3 ，因为 B=(A * ) 2 -4E 的三个特征值为0，5，32，所以 (A * ) 2 的三个特征值为 4，9，36，于是 A * 的三个特征值为 2，3，6 又因为A * =36=A 3-1 ，所以A=6 由 =6，得 1 =3， 2 =2， 3 =1， 由于一对逆矩阵的特征值互为倒数，所以 A -1 的特征值为 1， )解析：设 A= 的一个特征值为 1 =2，其对应的特征向量为 1 = （分数：4.00）(1).求常数 a，b，c；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).判断 A 是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵
26、 P，使得 P -1 AP 为对角矩阵若不可对角化，说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由E-A= =0，得 1 = 2 =2， 3 =-1 )解析：21.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由E-A= =0，得 1 = 2 =1， 3 =2 因为矩阵 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 一定可对角化，从而 r(E-A)=1， 即 a=1，故 A= 由 =1 时，由(E-A)X=0，得 由 =2 时，由(2E-A)x=0，得 3 = )解析：22.设 A 为三阶方阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 的通解为 ，设 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答
27、案：因为 A 的每行元素之和为 5，所以有 ，即 A 有一个特征值为 1 =5，其对应的特征向量为 1 = ，A 1 =5 1 又 AX=0 的通解为 ，则 r(A)=1 2 = 3 =0，其对应的特征向量为 ，A 2 =0，A 3 =0 令 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =，解得 x 1 =8，x 2 =-1，x 3 =-2， 则 A=8A 1 -A 2 -2A 3 =8A 1 =40 )解析：23. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由E-B=0，得 1 =-1， 2 =1， 3 =2，因为 AB，所以 A 的特征值为 1 =-1， 2 =1， 3 =2 由 tr(A)=
28、 1 + 2 + 3 ，得 a=1，再由A=b= 1 2 3 =-2，得 b=-2，即 A= 由(-E-A)X=0，得 1 =(1，1，0) T ； 由(E-A)X=0，得 2 =(-2，1，1) T ； 由(2E-A)X=0，得 3 =(-2，1，0) T ， 由(-E-B)X=0，得 1 =(-1，0，1) T ； 由(E-B)X=0，得 2 =(1，0，0) T ； 由(2E-B)X=0，得 3 =(8，3，4) T 由 P 1 -1 AP 1 =P 2 -1 BP 2 ，得(P 1 P 2 -1 ) -1 AP 1 P 2 -1 =B， 令 P=P 1 P 2 -1 = )解析：24.
29、设 A 为 mn 阶实矩阵，且 r(A)=n证明：A T T A 的特征值全大于零（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先 A T A 为实对称矩阵，r(A T A)=n，对任意的 X0， X T (A T A)X=(AX) T (AX)，令 AX=，因为 r(A)=n，所以 0，所以 (AX) T (AX)=T= 2 0，即二次型 X T (A T A)X 是正定二次型，A T A 为正定矩阵，所以 A T A 的特征值全大于零)解析：25.设二次型 f=2x 1 2 +x 2 2 +ax 3 2 +2x 1 x 2 +2bx 1 3 +2x 2 x 3 经过正交变换 X=QY 化为标
30、准形 f=y 1 2 +y 2 2 +4y 3 2 ，求参数 a，b 及正交矩阵 Q（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型 f=2x 1 2 +x 2 2 +ax 3 2 +2x 1 x 2 +2bx 1 3 +2x 2 x 3 的矩阵形式为 f=X T AX 其中 ，所以 AB(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是 A 的特征值为1，1，4 而E-A= 3 -(a+4) 2 +(4a-b 2 +2)+(-3a-2b+2b 2 +2)，所以有 3 -(a+4) 2 +(4a-b 2 +2)+(-3a-2b+2b 2 +2)=(-1) 2 (-4)， 解得 a=2，b=1当 1 = 2 =1 时，由(E-A)X=0 得 由 3 =4 时，由(4E-A)X=0 得 3 = 显然 1 ， 2 ， 3 两两正交，单位化为 )解析：
