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2013年广西省桂林市中考真题数学.docx

1、2013 年广西省桂林市中考真题数学 一、选择题 (共 12 小题,每小题 3 分,共 36分 . 1.(3 分 )下面各数是负数的是 ( ) A. 0 B. -2013 C. |-2013| D. 解析 : A、 0 既不是正数,也不是负数,故本选项错误; B、 -2013 是负数,故本选项正确; C、 |-2013|=2013,是正数,故本选项错误; D、 是正数,故本选项错误; 答案: B. 2.(3 分 )在 0, 2, -2, 这四个数中,最大的数是 ( ) A. 2 B. 0 C. -2 D. 解析 : -2 0 2, 最大的数是 2, 答案: A. 3.(3 分 )如图,与 1

2、是同位角的是 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 解析 : 观察图形可知,与 1 是同位角的是 4. 答案: C. 4.(3 分 )下列运算正确的是 ( ) A. 525 3=56 B. (52)3=55 C. 525 3=5 D. ( )2=5 解析 : A、 525 3=55,本选项错误; B、 (52)3=56,本选项错误; C、 525 3=5-1= ,本选项错误; D、 ( )2=5,本选项正确, 答案: D 5.(3 分 )7 位同学中考体育测试立定跳远成绩 (单位:分 )分别是: 8, 9, 7, 6, 10, 8, 9,这组数据的中位数是 ( ) A. 6 B. 8

3、 C. 9 D. 10 解析 : 把这组数据从小到大排序后为 6, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 其中第四个数据为 8, 所以这组数据的中位数为 8. 答案: B. 6.(3 分 )下列物体的主视图、俯视图和左视图不全是圆的是 ( ) A. 橄榄球 B. 兵乓球 C. 篮球 D. 排球 解析 : 橄榄球比较近似于椭球体,所以它的主视图、俯视图和左视图不全是圆; 而乒乓球、篮球、排球都是球体,所以它们的主视图、俯视图和左视图全是圆 . 答案: A. 7.(3 分 )不等式 x+1 2x-4 的解集是 ( ) A. x 5 B. x 5 C. x 1 D. x 1 解析 : 不等式 x+1

4、 2x-4 移项得, -x -5, 在两边同时乘以 -1,得 x 5.所以,不等式的解集为 x 5. 答案: A. 8.(3 分 )下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析 : A、是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意; B、是轴对称图形,也是中心对称图形,符合题意; C、是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意; D、不是轴对称图形,是中心对称图形,不符合题意 . 答案: B. 9.(3 分 )下列命题的逆命题不正确的是 ( ) A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 两直线平行,内错角相等 C. 等腰三角形的两个底角相等 D. 对顶角相等

5、解析 : A、逆命题是:对角线互相平分的四边形是平行四边形 .正确; B、逆命题是:内错角相等,两直线平行,正确; C、逆命题是:两个底角相等的三角形是等腰三角形,正确; D、逆命题是:相等的角是对顶角,错误 . 答案: D. 10.(3 分 )如图,菱形 ABCD 的对角线 BD、 AC 分别为 2、 2 ,以 B 为圆心的弧与 AD、 DC 相切,则阴影部分的面积是 ( ) A. 2 - B. 4 - C. 4 - D. 2 解析 : 连接 AC、 BD、 BE, 四边形 ABCD 是菱形, AC 与 BD 互相垂直且平分, AO= , BO=1, tanBAO= , tanABO= ,

6、BAO=30 , ABO=60 , AB=2 , BAE=60 , 以 B 为圆心的弧与 AD 相切, AEB=90 , 在 RtABE 中, AB=2, BAE=60 , BE=ABsin60= , S 菱形 -S 扇形 = 22 - =2 -. 答案: D. 11.(3 分 )已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+a-1=0 有两根为 x1和 x2,且 x12-x1x2=0,则 a的值是 ( ) A. a=1 B. a=1 或 a=-2 C. a=2 D. a=1 或 a=2 解析 : 解 x12-x1x2=0,得 x1=0,或 x1=x2, 把 x1=0 代入已知方程,得 a-1=0

7、,解得: a=1; 当 x1=x2时, =4 -4(a-1)=0,即 8-4a=0,解得: a=2. 综上所述, a=1 或 a=2. 答案: D. 12.(3 分 )如图,已知边长为 4 的正方形 ABCD, P 是 BC 边上一动点 (与 B、 C 不重合 ),连结AP,作 PEAP 交 BCD 的外角平分线于 E.设 BP=x, PCE 面积为 y,则 y 与 x 的函数关系式是 ( ) A. y=2x+1 B. y= x-2x2 C. y=2x- x2 D. y=2x 解析 : 过 E 作 EHBC 于 H, 四边形 ABCD 是正方形, DCH=90 , CE 平分 DCH , EC

8、H= DCH=45 , H=90 , ECH=CEH=45 , EH=CH , 四边形 ABCD 是正方形, APEP , B=H=APE=90 , BAP+APB=90 , APB+EPH=90 , BAP=EPH , B=H=90 , BAPHPE , = , = , EH=x , y= CPEH = (4-x)xy=2x - x2, 答案: C. 二、填空题 (共 6 小题,每小题 3 分,共 18分 ) 13.(3 分 )分解因式: 3ab2-a2b= . 解析 : 3ab2-a2b=ab(3b-a). 答案 : ab(3b-a). 14.(3 分 )我国雾霾天气多发, PM2.5 颗

9、粒物被称为大气的元凶 .PM2.5 是指直径小于或等于2.5 微米的颗粒物,已知 1 毫米 =1000 微米,用科学记数法表示 2.5 微米是 毫米 . 解析 : 1 毫米 =1000 微米, 2.5 微米 =0.0025 毫米 =2.510 -3毫米 . 答案 : 2.510 -3. 15.(3 分 )桂林市某气象站测得六月份一周七天的降雨量分别为 0, 32, 11, 45, 8, 51, 27(单位: mm),这组数据的极差是 . 解析 : 由极差的公式: 51-0=51,所以极差是 51. 答案 : 51mm. 16.(3 分 )如图,在 ABC 中, CA=CB, ADBC , BE

10、AC , AB=5, AD=4,则 AE= . 解析 : 在 ABC 中, CA=CB, ADBC , BEAC , AD=BE=4 , AB=5 , AE= =3, 答案: 3. 17.(3 分 )函数 y=x 的图象与函数 y= 的图象在第一象限内交于点 B,点 C 是函数 y= 在第一象限图象上的一个动点,当 OBC 的面积为 3 时,点 C 的横坐标是 . 解析 : 当 C 在点 B 上方时,如图 1 所示,连接 BC, OC,作 CFx 轴, BEx 轴, 设 C(c, ), y=x 与 y= 在第一象限交于 B 点, S BOE =2, S BOC =3, S 四边形 BCOE=S

11、BOE +SBOC =5, S COF +S 四边形 BCFE=5,即 2+ (2 -c)( +2)=5,解得: c=1; 当 C 在 B 下方时,如图 2 所示,连接 BC, OC,作 CFx 轴, BEx 轴, 同理可得 SBOE +S 四边形 BEFC=5,即 2+ (c -2)( +2)=5,解得: c=4, 综上, C 的横坐标为 1 或 4. 答案 : 1 或 4 18.(3 分 )如图,已知线段 AB=10, AC=BD=2,点 P 是 CD 上一动点,分别以 AP、 PB 为边向上、向下作正方形 APEF 和 PHKB,设正方形对角线的交点分别为 O1、 O2,当点 P 从点

12、C 运动到点D 时,线段 O1O2中点 G 的运动路径的长是 . 解析 : 如图所示:当 P 移动到 C 点以及 D 点时,得出 G点移动路线是直线, 利用正方形的性质即线段 O1O2中点 G 的运动路径的长就是 O2O 的长, 线段 AB=10, AC=BD=2,当 P 与 C 重合时, 以 AP、 PB 为边向上、向下作正方形 APEF 和 PHKB, AP=2 , BP=8,则 O1P= , O2P=4 , O 2P=O2B=4 , 当 P 与 D 重合,则 PB=2 ,则 AP=8 , OP=4 , OP= , HO=BO= , O 2O=4 - =3 . 答案 : 3 . 三、解答题

13、 (本大题共 8 题,共 66 分 ). 19.(6 分 )计算: (1- )0- +2sin60 -|- | 解析 : 分别根据 0 指数幂的运算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值计算出各数,再根据实数混合运算的法则进行计算即可 . 答案: 原式 =1-2 + - =1-2 . 20.(6 分 )解二元一次方程组: . 解析 : 先把 变形为 y=2x-1 代入 求出 x 的值,再把 x 的值代入 即可求出 y的值 . 答案: , 由 得: y=2x-1 把 代入 得: 3x+4x-2=19,解得: x=3, 把 x=3 代入 得: y=23 -1,即 y=5 故此方程组的解为 . 21

14、.(8 分 )如图,在矩形 ABCD 中, E, F为 BC 上两点,且 BE=CF,连接 AF, DE 交于点 O.求证: (1)ABFDCE ; (2)AOD 是等腰三角形 . 解析 : (1)根据矩形的性质可得 B=C=90 , AB=DC,然后求出 BF=CE,再利用 “ 边角边 ”证明 ABF 和 DCE 全等即可; (2)根据全等三角形对应角相等可得 BAF=EDC ,然后求出 DAF=EDA ,然后根据等腰三角形的定义证明即可 . 答案: (1)在矩形 ABCD 中, B=C=90 , AB=DC, BE=CF , BF=BC-FC, CE=BC-BE, BF=CE , 在 AB

15、F 和 DCE 中, , ABFDCE(SAS) ; (2)ABFDCE , BAF=EDC , DAF=90 -BAF , EDA=90 -EDC , DAF=EDA , AOD 是等腰三角形 . 22.(8 分 )在重阳节敬老爱老活动中,某校计划组织志愿者服务小组到 “ 夕阳红 ” 敬老院为老人服务,准备从初三 (1)班中的 3 名男生小亮、小明、小伟和 2 名女生小丽、小敏中选取一名男生和一名女生参加学校志愿者服务小组 . (1)若随机选取一名男生和一名女生参加志愿者服务小组,请用树状图或列表法写出所有可能出现的结果; (2)求出恰好选中男生小明与女生小丽的概率 . 解析 : (1)用列

16、表的方法将所有情况一一列举出来即可; (2)确定共有 6 种情况,而正好是小丽和小明的有一种情况,根据概率公式求解即可 . 答案: (1)列表为: (2) 共有 6 种等可能的情况,而正好是小丽和小明的有一种情况, 正好抽到小丽与小明的概率是 . 23.(8 分 )在 “ 美丽广西,清洁乡村 ” 活动中,李家村村长提出了两种购买垃圾桶方案;方案 1:买分类垃圾桶,需要费用 3000 元,以后每月的垃圾处理费用 250 元;方案 2:买不分类垃圾桶,需要费用 1000 元,以后每月的垃圾处理费用 500 元;设方案 1 的购买费和每月垃圾处理费共为 y1元,交费时间为 x 个月;方案 2 的购买

17、费和每月垃圾处理费共为 y2元,交费时间为 x 个月 . (1)直接写出 y1、 y2与 x 的函数关系式; (2)在同一坐标系内,画出函数 y1、 y2的图象; (3)在垃圾桶使用寿命相同的情况下,哪种方案省钱? 解析 : (1)根据总费用 =购买垃圾桶的费用 +每月的垃圾处理费用 月份数,即可求出 y1、 y2与 x 的函数关系式; (2)根据一次函数的性质,运用两点法即可画出函数 y1、 y2的图象; (3)观察图象可知:当使用时间大于 8 个月时,方案 1 省钱;当使用时间小于 8 个月时,方案 2 省钱;当使用时间等于 8 个月时,方案 1 与方案 2一样省钱 . 答案: (1)由题

18、意,得 y1=250x+3000, y2=500x+1000; (2)如图所示: (3)由图象可知: 当使用时间大于 8 个月时,直线 y1落在直线 y2的下方, y1 y2,即方案1 省钱; 当使用时间小于 8 个月时,直线 y2落在直线 y1的下方, y2 y1,即方案 2 省钱; 当使用时间等于 8 个月时, y1=y2,即方案 1 与方案 2一样省钱; 24.(8 分 )水源村在今年退耕还林活动中,计划植树 200 亩,全村在完成植树 40 亩后,某环保组织加入村民植树活动,并且该环保组织植树的速度是全村植树速度的 1.5 倍,整个植树过程共用了 13 天完成 . (1)全村每天植树多

19、少亩? (2)如果全村植树每天需 2000 元工钱,环保组织是义务植树,因此实际工钱比计划节约多少元? 解析 : (1)根据整个植树过程共用了 13 天完成,以及环保组织植树的速度是全村植树速度的1.5 倍表示出两者的植树天数得出等式求出即可 ; (2)根据 (1)中所求得出原计划全村植树天数以及节省的费用 . 答案: (1)设全村每天植树 x 亩,根据题意得: + =13, 解得: x=8, 经检验 x=8 是原方程的解, 答:全村每天植树 8 亩 . (2)根据题意得:原计划全村植树天数是 =25(天 ), 故可以节省工钱 (25-13)2000=24000( 元 ). 25.(10 分

20、)如图,在 ABC 中, C=90 , BAC 的平分线 AD 交 BC 于 D,过点 D作 DEAD交 AB 于 E,以 AE 为直径作 O . (1)求证:点 D 在 O 上; (2)求证: BC 是 O 的切线; (3)若 AC=6, BC=8,求 BDE 的面积 . 解析 : (1)连接 OD,由 DO 为直角三角形斜边上的中线,得到 OD=OA=OE,可得出点 D 在圆 O上; (2)由 AD 为角平分线,得到一对角相等,再由 OD=OA,利用等边对等角得到一对角相等,等量代换得到一对内错角相等,利用内错角相等两直线平行得到 OD 与 AC 平行,根据两直线平行同位角相等即可得到 O

21、DB 为直角,即 BC 与 OD 垂直,即可确定出 BC 为圆 O 的切线; (3)过 E 作 EH 垂直于 BC,由 OD 与 AC 平行,得到 ACB 与 ODB 相似,设 OD=OA=OE=x,表示出 OB,由相似得比例列出关于 x 的方程,求出方程的解得到 x 的值,确定出 OD 与 BE 的长,进而确定出 BD 的长,再由 BEH 与 ODB 相似,由相似得比例求出 EH 的长, BED 以 BD 为底, EH 为高,求出面积即可 . 答案: (1)连接 OD, ADE 是直角三角形, OA=OE, OD=OA=OE , 点 D 在 O 上; (2)AD 是 BAC 的角平分线, C

22、AD=DAB , OD=OA , OAD=ODA , CAD=ODA , ACOD , C=ODB=90 , BC 是 O 的切线; (3)在 RtACB 中, AC=6, BC=8, 根据勾股定理得: AB=10, 设 OD=OA=OE=x,则 OB=10-x, ACOD , ACBODB , = = ,即 = ,解得: x= , OD= , BE=10-2x=10- = , = ,即 = , BD=5 ,过 E 作 EHBD , EHOD , BEHBOD , = ,即 = , EH= , S BDE = BDEH= . 26.(12 分 )已知抛物线的顶点为 (0, 4)且与 x 轴交于

23、 (-2, 0), (2, 0). (1)直接写出抛物线解析式; (2)如图,将抛物线向右平移 k 个单位,设平移后抛物线的顶点为 D,与 x 轴的交点为 A、 B,与原抛物线的交点为 P. 当直线 OD 与以 AB 为直径的圆相切于 E 时,求此时 k的值; 是否存在这样的 k 值,使得点 O、 P、 D 三点恰好在同一条直线上?若存在,求出 k 值;若不存在,请说明理由 . 解析 : (1)由抛物线的顶点为 (0, 4),可设抛物线解析式为 y=ax2+4,再将点 (2, 0)代入,求出 a=-1,即可得到抛物线解析式为 y=-x2+4; (2) 连接 CE, CD,先根据切线的性质得出

24、CEOD ,再解 RtCDE ,得出 EDC=30 ,然后解 RtCDO ,得出 OC= ,则 k=OC= ; 设抛物线 y=-x2+4 向右平移 k 个单位后的解析式是 y=-(x-k)2+4,它与 y=-x2+4 交于点 P,先求出交点 P 的坐标是 ( , - k2+4),再利用待定系数法求出直线 OD 的解析式为 y= x,然后将点 P 的坐标代入 y= x,即可求出 k 的值 . 答案: (1) 抛物线的顶点为 (0, 4), 可设抛物线解析式为 y=ax2+4, 又 抛物线过点 (2, 0), 0=4a+4 ,解得 a=-1, 抛物线解析式为 y=-x2+4; (2) 如图,连接

25、CE, CD. OD 是 C 的切线, CEOD. 在 RtCDE 中, CED=90 , CE=AC=2, DC=4, EDC=30 , 在 RtCDO 中, OCD=90 , CD=4, ODC=30 , OC= , 当直线 OD 与以 AB 为直径的圆相切时, k=OC= ; 存在 k=2 ,能够使得点 O、 P、 D 三点恰好在同一条直线上 .理由如下: 设抛物线 y=-x2+4 向右平移 k 个单位后的解析式是 y=-(x-k)2+4,它与 y=-x2+4 交于点 P, 由 -(x-k)2+4=-x2+4,解得 x1= , x2=0(不合题意舍去 ), 当 x= 时, y=- k2+4, 点 P 的坐标是 ( , - k2+4). 设直线 OD 的解析式为 y=mx,把 D(k, 4)代入,得 mk=4,解得 m= , 直线 OD 的解析式为 y= x,若点 P( , - k2+4)在直线 y= x 上,得 - k2+4= , 解得 k=2 (负值舍去 ), 当 k=2 时, O、 P、 D 三点在同一条直线上 .

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