1、2013 年广西省桂林市中考真题数学 一、选择题 (共 12 小题，每小题 3 分，共 36分 . 1.(3 分 )下面各数是负数的是 ( ) A. 0 B. -2013 C. |-2013| D. 解析 ： A、 0 既不是正数，也不是负数，故本选项错误； B、 -2013 是负数，故本选项正确； C、 |-2013|=2013，是正数，故本选项错误； D、 是正数，故本选项错误； 答案： B. 2.(3 分 )在 0， 2， -2， 这四个数中，最大的数是 ( ) A. 2 B. 0 C. -2 D. 解析 ： -2 0 2， 最大的数是 2， 答案： A. 3.(3 分 )如图，与 1
2、是同位角的是 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 解析 ： 观察图形可知，与 1 是同位角的是 4. 答案： C. 4.(3 分 )下列运算正确的是 ( ) A. 525 3=56 B. (52)3=55 C. 525 3=5 D. ( )2=5 解析 ： A、 525 3=55，本选项错误； B、 (52)3=56，本选项错误； C、 525 3=5-1= ，本选项错误； D、 ( )2=5，本选项正确， 答案： D 5.(3 分 )7 位同学中考体育测试立定跳远成绩 (单位：分 )分别是： 8， 9， 7， 6， 10， 8， 9，这组数据的中位数是 ( ) A. 6 B. 8
3、 C. 9 D. 10 解析 ： 把这组数据从小到大排序后为 6， 7， 8， 8， 9， 9， 10， 其中第四个数据为 8， 所以这组数据的中位数为 8. 答案： B. 6.(3 分 )下列物体的主视图、俯视图和左视图不全是圆的是 ( ) A. 橄榄球 B. 兵乓球 C. 篮球 D. 排球 解析 ： 橄榄球比较近似于椭球体，所以它的主视图、俯视图和左视图不全是圆； 而乒乓球、篮球、排球都是球体，所以它们的主视图、俯视图和左视图全是圆 . 答案： A. 7.(3 分 )不等式 x+1 2x-4 的解集是 ( ) A. x 5 B. x 5 C. x 1 D. x 1 解析 ： 不等式 x+1
4、 2x-4 移项得， -x -5， 在两边同时乘以 -1，得 x 5.所以，不等式的解集为 x 5. 答案： A. 8.(3 分 )下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意 . 答案： B. 9.(3 分 )下列命题的逆命题不正确的是 ( ) A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 两直线平行，内错角相等 C. 等腰三角形的两个底角相等 D. 对顶角相等
5、解析 ： A、逆命题是：对角线互相平分的四边形是平行四边形 .正确； B、逆命题是：内错角相等，两直线平行，正确； C、逆命题是：两个底角相等的三角形是等腰三角形，正确； D、逆命题是：相等的角是对顶角，错误 . 答案： D. 10.(3 分 )如图，菱形 ABCD 的对角线 BD、 AC 分别为 2、 2 ，以 B 为圆心的弧与 AD、 DC 相切，则阴影部分的面积是 ( ) A. 2 - B. 4 - C. 4 - D. 2 解析 ： 连接 AC、 BD、 BE， 四边形 ABCD 是菱形， AC 与 BD 互相垂直且平分， AO= ， BO=1， tanBAO= ， tanABO= ，
6、BAO=30 ， ABO=60 ， AB=2 ， BAE=60 ， 以 B 为圆心的弧与 AD 相切， AEB=90 ， 在 RtABE 中， AB=2， BAE=60 ， BE=ABsin60= ， S 菱形 -S 扇形 = 22 - =2 -. 答案： D. 11.(3 分 )已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+a-1=0 有两根为 x1和 x2，且 x12-x1x2=0，则 a的值是 ( ) A. a=1 B. a=1 或 a=-2 C. a=2 D. a=1 或 a=2 解析 ： 解 x12-x1x2=0，得 x1=0，或 x1=x2， 把 x1=0 代入已知方程，得 a-1=0
7、，解得： a=1； 当 x1=x2时， =4 -4(a-1)=0，即 8-4a=0，解得： a=2. 综上所述， a=1 或 a=2. 答案： D. 12.(3 分 )如图，已知边长为 4 的正方形 ABCD， P 是 BC 边上一动点 (与 B、 C 不重合 )，连结AP，作 PEAP 交 BCD 的外角平分线于 E.设 BP=x， PCE 面积为 y，则 y 与 x 的函数关系式是 ( ) A. y=2x+1 B. y= x-2x2 C. y=2x- x2 D. y=2x 解析 ： 过 E 作 EHBC 于 H， 四边形 ABCD 是正方形， DCH=90 ， CE 平分 DCH ， EC
8、H= DCH=45 ， H=90 ， ECH=CEH=45 ， EH=CH ， 四边形 ABCD 是正方形， APEP ， B=H=APE=90 ， BAP+APB=90 ， APB+EPH=90 ， BAP=EPH ， B=H=90 ， BAPHPE ， = ， = ， EH=x ， y= CPEH = (4-x)xy=2x - x2， 答案： C. 二、填空题 (共 6 小题，每小题 3 分，共 18分 ) 13.(3 分 )分解因式： 3ab2-a2b= . 解析 ： 3ab2-a2b=ab(3b-a). 答案 ： ab(3b-a). 14.(3 分 )我国雾霾天气多发， PM2.5 颗
9、粒物被称为大气的元凶 .PM2.5 是指直径小于或等于2.5 微米的颗粒物，已知 1 毫米 =1000 微米，用科学记数法表示 2.5 微米是 毫米 . 解析 ： 1 毫米 =1000 微米， 2.5 微米 =0.0025 毫米 =2.510 -3毫米 . 答案 ： 2.510 -3. 15.(3 分 )桂林市某气象站测得六月份一周七天的降雨量分别为 0， 32， 11， 45， 8， 51， 27(单位： mm)，这组数据的极差是 . 解析 ： 由极差的公式： 51-0=51，所以极差是 51. 答案 ： 51mm. 16.(3 分 )如图，在 ABC 中， CA=CB， ADBC ， BE
10、AC ， AB=5， AD=4，则 AE= . 解析 ： 在 ABC 中， CA=CB， ADBC ， BEAC ， AD=BE=4 ， AB=5 ， AE= =3， 答案： 3. 17.(3 分 )函数 y=x 的图象与函数 y= 的图象在第一象限内交于点 B，点 C 是函数 y= 在第一象限图象上的一个动点，当 OBC 的面积为 3 时，点 C 的横坐标是 . 解析 ： 当 C 在点 B 上方时，如图 1 所示，连接 BC， OC，作 CFx 轴， BEx 轴， 设 C(c， )， y=x 与 y= 在第一象限交于 B 点， S BOE =2， S BOC =3， S 四边形 BCOE=S
11、BOE +SBOC =5， S COF +S 四边形 BCFE=5，即 2+ (2 -c)( +2)=5，解得： c=1； 当 C 在 B 下方时，如图 2 所示，连接 BC， OC，作 CFx 轴， BEx 轴， 同理可得 SBOE +S 四边形 BEFC=5，即 2+ (c -2)( +2)=5，解得： c=4， 综上， C 的横坐标为 1 或 4. 答案 ： 1 或 4 18.(3 分 )如图，已知线段 AB=10， AC=BD=2，点 P 是 CD 上一动点，分别以 AP、 PB 为边向上、向下作正方形 APEF 和 PHKB，设正方形对角线的交点分别为 O1、 O2，当点 P 从点
12、C 运动到点D 时，线段 O1O2中点 G 的运动路径的长是 . 解析 ： 如图所示：当 P 移动到 C 点以及 D 点时，得出 G点移动路线是直线， 利用正方形的性质即线段 O1O2中点 G 的运动路径的长就是 O2O 的长， 线段 AB=10， AC=BD=2，当 P 与 C 重合时， 以 AP、 PB 为边向上、向下作正方形 APEF 和 PHKB， AP=2 ， BP=8，则 O1P= ， O2P=4 ， O 2P=O2B=4 ， 当 P 与 D 重合，则 PB=2 ，则 AP=8 ， OP=4 ， OP= ， HO=BO= ， O 2O=4 - =3 . 答案 ： 3 . 三、解答题
13、 (本大题共 8 题，共 66 分 ). 19.(6 分 )计算： (1- )0- +2sin60 -|- | 解析 ： 分别根据 0 指数幂的运算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可 . 答案： 原式 =1-2 + - =1-2 . 20.(6 分 )解二元一次方程组： . 解析 ： 先把 变形为 y=2x-1 代入 求出 x 的值，再把 x 的值代入 即可求出 y的值 . 答案： ， 由 得： y=2x-1 把 代入 得： 3x+4x-2=19，解得： x=3， 把 x=3 代入 得： y=23 -1，即 y=5 故此方程组的解为 . 21
14、.(8 分 )如图，在矩形 ABCD 中， E， F为 BC 上两点，且 BE=CF，连接 AF， DE 交于点 O.求证： (1)ABFDCE ； (2)AOD 是等腰三角形 . 解析 ： (1)根据矩形的性质可得 B=C=90 ， AB=DC，然后求出 BF=CE，再利用 “ 边角边 ”证明 ABF 和 DCE 全等即可； (2)根据全等三角形对应角相等可得 BAF=EDC ，然后求出 DAF=EDA ，然后根据等腰三角形的定义证明即可 . 答案： (1)在矩形 ABCD 中， B=C=90 ， AB=DC， BE=CF ， BF=BC-FC， CE=BC-BE， BF=CE ， 在 AB
15、F 和 DCE 中， ， ABFDCE(SAS) ； (2)ABFDCE ， BAF=EDC ， DAF=90 -BAF ， EDA=90 -EDC ， DAF=EDA ， AOD 是等腰三角形 . 22.(8 分 )在重阳节敬老爱老活动中，某校计划组织志愿者服务小组到 “ 夕阳红 ” 敬老院为老人服务，准备从初三 (1)班中的 3 名男生小亮、小明、小伟和 2 名女生小丽、小敏中选取一名男生和一名女生参加学校志愿者服务小组 . (1)若随机选取一名男生和一名女生参加志愿者服务小组，请用树状图或列表法写出所有可能出现的结果； (2)求出恰好选中男生小明与女生小丽的概率 . 解析 ： (1)用列
16、表的方法将所有情况一一列举出来即可； (2)确定共有 6 种情况，而正好是小丽和小明的有一种情况，根据概率公式求解即可 . 答案： (1)列表为： (2) 共有 6 种等可能的情况，而正好是小丽和小明的有一种情况， 正好抽到小丽与小明的概率是 . 23.(8 分 )在 “ 美丽广西，清洁乡村 ” 活动中，李家村村长提出了两种购买垃圾桶方案；方案 1：买分类垃圾桶，需要费用 3000 元，以后每月的垃圾处理费用 250 元；方案 2：买不分类垃圾桶，需要费用 1000 元，以后每月的垃圾处理费用 500 元；设方案 1 的购买费和每月垃圾处理费共为 y1元，交费时间为 x 个月；方案 2 的购买
17、费和每月垃圾处理费共为 y2元，交费时间为 x 个月 . (1)直接写出 y1、 y2与 x 的函数关系式； (2)在同一坐标系内，画出函数 y1、 y2的图象； (3)在垃圾桶使用寿命相同的情况下，哪种方案省钱？ 解析 ： (1)根据总费用 =购买垃圾桶的费用 +每月的垃圾处理费用 月份数，即可求出 y1、 y2与 x 的函数关系式； (2)根据一次函数的性质，运用两点法即可画出函数 y1、 y2的图象； (3)观察图象可知：当使用时间大于 8 个月时，方案 1 省钱；当使用时间小于 8 个月时，方案 2 省钱；当使用时间等于 8 个月时，方案 1 与方案 2一样省钱 . 答案： (1)由题
18、意，得 y1=250x+3000， y2=500x+1000； (2)如图所示： (3)由图象可知： 当使用时间大于 8 个月时，直线 y1落在直线 y2的下方， y1 y2，即方案1 省钱； 当使用时间小于 8 个月时，直线 y2落在直线 y1的下方， y2 y1，即方案 2 省钱； 当使用时间等于 8 个月时， y1=y2，即方案 1 与方案 2一样省钱； 24.(8 分 )水源村在今年退耕还林活动中，计划植树 200 亩，全村在完成植树 40 亩后，某环保组织加入村民植树活动，并且该环保组织植树的速度是全村植树速度的 1.5 倍，整个植树过程共用了 13 天完成 . (1)全村每天植树多
19、少亩？ (2)如果全村植树每天需 2000 元工钱，环保组织是义务植树，因此实际工钱比计划节约多少元？ 解析 ： (1)根据整个植树过程共用了 13 天完成，以及环保组织植树的速度是全村植树速度的1.5 倍表示出两者的植树天数得出等式求出即可 ； (2)根据 (1)中所求得出原计划全村植树天数以及节省的费用 . 答案： (1)设全村每天植树 x 亩，根据题意得： + =13， 解得： x=8， 经检验 x=8 是原方程的解， 答：全村每天植树 8 亩 . (2)根据题意得：原计划全村植树天数是 =25(天 )， 故可以节省工钱 (25-13)2000=24000( 元 ). 25.(10 分
20、)如图，在 ABC 中， C=90 ， BAC 的平分线 AD 交 BC 于 D，过点 D作 DEAD交 AB 于 E，以 AE 为直径作 O . (1)求证：点 D 在 O 上； (2)求证： BC 是 O 的切线； (3)若 AC=6， BC=8，求 BDE 的面积 . 解析 ： (1)连接 OD，由 DO 为直角三角形斜边上的中线，得到 OD=OA=OE，可得出点 D 在圆 O上； (2)由 AD 为角平分线，得到一对角相等，再由 OD=OA，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到 OD 与 AC 平行，根据两直线平行同位角相等即可得到 O
21、DB 为直角，即 BC 与 OD 垂直，即可确定出 BC 为圆 O 的切线； (3)过 E 作 EH 垂直于 BC，由 OD 与 AC 平行，得到 ACB 与 ODB 相似，设 OD=OA=OE=x，表示出 OB，由相似得比例列出关于 x 的方程，求出方程的解得到 x 的值，确定出 OD 与 BE 的长，进而确定出 BD 的长，再由 BEH 与 ODB 相似，由相似得比例求出 EH 的长， BED 以 BD 为底， EH 为高，求出面积即可 . 答案： (1)连接 OD， ADE 是直角三角形， OA=OE， OD=OA=OE ， 点 D 在 O 上； (2)AD 是 BAC 的角平分线， C
22、AD=DAB ， OD=OA ， OAD=ODA ， CAD=ODA ， ACOD ， C=ODB=90 ， BC 是 O 的切线； (3)在 RtACB 中， AC=6， BC=8， 根据勾股定理得： AB=10， 设 OD=OA=OE=x，则 OB=10-x， ACOD ， ACBODB ， = = ，即 = ，解得： x= ， OD= ， BE=10-2x=10- = ， = ，即 = ， BD=5 ，过 E 作 EHBD ， EHOD ， BEHBOD ， = ，即 = ， EH= ， S BDE = BDEH= . 26.(12 分 )已知抛物线的顶点为 (0， 4)且与 x 轴交于
23、 (-2， 0)， (2， 0). (1)直接写出抛物线解析式； (2)如图，将抛物线向右平移 k 个单位，设平移后抛物线的顶点为 D，与 x 轴的交点为 A、 B，与原抛物线的交点为 P. 当直线 OD 与以 AB 为直径的圆相切于 E 时，求此时 k的值； 是否存在这样的 k 值，使得点 O、 P、 D 三点恰好在同一条直线上？若存在，求出 k 值；若不存在，请说明理由 . 解析 ： (1)由抛物线的顶点为 (0， 4)，可设抛物线解析式为 y=ax2+4，再将点 (2， 0)代入，求出 a=-1，即可得到抛物线解析式为 y=-x2+4； (2) 连接 CE， CD，先根据切线的性质得出
24、CEOD ，再解 RtCDE ，得出 EDC=30 ，然后解 RtCDO ，得出 OC= ，则 k=OC= ； 设抛物线 y=-x2+4 向右平移 k 个单位后的解析式是 y=-(x-k)2+4，它与 y=-x2+4 交于点 P，先求出交点 P 的坐标是 ( ， - k2+4)，再利用待定系数法求出直线 OD 的解析式为 y= x，然后将点 P 的坐标代入 y= x，即可求出 k 的值 . 答案： (1) 抛物线的顶点为 (0， 4)， 可设抛物线解析式为 y=ax2+4， 又 抛物线过点 (2， 0)， 0=4a+4 ，解得 a=-1， 抛物线解析式为 y=-x2+4； (2) 如图，连接
25、CE， CD. OD 是 C 的切线， CEOD. 在 RtCDE 中， CED=90 ， CE=AC=2， DC=4， EDC=30 ， 在 RtCDO 中， OCD=90 ， CD=4， ODC=30 ， OC= ， 当直线 OD 与以 AB 为直径的圆相切时， k=OC= ； 存在 k=2 ，能够使得点 O、 P、 D 三点恰好在同一条直线上 .理由如下： 设抛物线 y=-x2+4 向右平移 k 个单位后的解析式是 y=-(x-k)2+4，它与 y=-x2+4 交于点 P， 由 -(x-k)2+4=-x2+4，解得 x1= ， x2=0(不合题意舍去 )， 当 x= 时， y=- k2+4， 点 P 的坐标是 ( ， - k2+4). 设直线 OD 的解析式为 y=mx，把 D(k， 4)代入，得 mk=4，解得 m= ， 直线 OD 的解析式为 y= x，若点 P( ， - k2+4)在直线 y= x 上，得 - k2+4= ， 解得 k=2 (负值舍去 )， 当 k=2 时， O、 P、 D 三点在同一条直线上 .
