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2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)理数-含答案.docx

1、 绝密启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试 (北京卷) 数学(理) 第一部分 (选择题 共 40 分) 一、选择题共 8 小题。每小题 5 分,共 40 分。在每个小题 列 出的四个选项中, 选出 符合题目要求的一项。 1.已知集合 A= 1, 0, 1, B=x| 1x 1,则 AB= ( ) A.0 B. 1, 0 C.0, 1 D. 1,0,1 2.在复平面内,复数 (2 i)2 对应的点位于 ( ) A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限 3.“=”是 “ 曲线 y=sin(2x )过坐标原点 ” 的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分

2、必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 A.1 B. C. D. 5.函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与 曲线 y=ex关于 y轴对称,则 f(x)= A. B. C. D. 6.若双曲线 的离心率为 ,则其渐近线方程为 A.y=2x B.y= C. D. 7.直线 l过抛物线 C:x2=4y 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成的图形的面积等于 A. B.2 C. D. 2313216109871ex 1ex1ex 1ex221xyab 32x12yx 22yx4383 16 23 8.设关于 x,y 的不等式组 表示

3、的平面区域内 存在点 P(x0, y0)满足 x0 2y0=2.求得 m的取值范围是 A. B. C. D. 第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题共 6 题,每小题 5 分,共 30 分 . 9.在极坐标系中,点 (2, )到直线 sin=2 的距离等于 10.若等比数列 an满足 a2 a4=20, a3 a5=40,则公比 q= ;前 n 项和 Sn= . 11.如图, AB为圆 O的直径, PA 为圆 O的切线, PB与圆 O相交于 D, 若 PA=3, PD:DB=9:16,则 PD= , AB= . 12.将序号分别为 1, 2, 3, 4, 5 的 5 张参观券全部分给

4、 4 人,每人至少一张,如果分给同一人的两张参观券连号,那么不同的分法种数是 . 13.向量 a, b, c 在正方形网格中的位置如图所示,若 c=a b(, R) ,则 = . 14.如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E 为 BC 的中点,点 P 在线段 D1E 上,点 P 到直线 CC1 的距离的最小值为 . 三、解答题共 6 小题,共 80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程 . 2 1 0 ,0,0xyxmym 1, 32, 3 5, 3 6 15. (本小题共 13 分 ) 在 ABC 中, a=3, b=2 , B=2 A. (I)求 cosA

5、的值, (II)求 c 的值 16.( 本小题共 13 分 ) 下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于 100 表示空气质量优良,空气质量指数大于 200 表示空气重度污染,某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市,并停留 2 天 ( )求此人到达当日空气重度污染的概率 ( )设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求 X 的分布列与数学期望。 ( )由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明) 17. (本小题共 14 分 ) 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中, AA1C1C是边长为 4的正方形

6、, 平面 ABC平面 AA1C1C,AB=3, BC=5. ( )求证: AA1平面 ABC; ( )求二面角 A1-BC1-B1 的余弦值; ( )证明:在线段 BC1 存在点 D,使得 AD A1B,并求 的值 . 18. (本小题共 13 分 ) 设 L 为曲线 C: 在点 (1, 0)处的切线 . (I)求 L 的方程; (II)证明:除切点 (1, 0)之外,曲线 C 在直线 L 的下方 19. (本小题共 14 分 ) 61BDBClnxy x 已知 A、 B、 C 是椭圆 W: 上的三个点, O是坐标原点 . (I)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱

7、形的面积 . (II)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 是否可能为菱形,并说明理由 . 20. (本小题共 13 分 ) 已知 an是由非负整数组成的无穷数列,该数列前 n 项的最大值记为 An,第 n 项之后各项 , 的最小值记为 Bn, dn=An Bn (I)若 an为 2, 1, 4, 3, 2, 1, 4, 3 ,是一个周期为 4 的数列 (即对任意 n N*, ),写出 d1, d2, d3, d4 的值; (II)设 d 为非负 整数,证明: dn= d(n=1,2,3) 的充分必要条件为 an为 公差为 d 的等差数列; (III)证明:若 a1=2, dn=

8、1(n=1,2,3 ),则 an的项只能是 1 或 2,且有无穷多项为 1 2 2 14x y1na 2na4nnaa 要使可行域存在,必有 m 2m+1,要求可行域内包含直线 上的点,只要边界点( m, 1 2m)在直线 上方,且 (-m, m)在直线 下方,解不等式组得 m 1 12yx1 12yx 1 12yx1211 2 12112mmmmmm 23 2214111 , 32 4 4= 2 3xA B C W y OA C O BtAtAC 已 知 , , , 是 椭 圆 : 上 的 三 个 点 , 是 坐 标 的 原 点 。( 1 ) 当 点 B 是 W 的 右 顶 点 , 且 四

9、边 形 OABC 为 菱 形 时 , 求 次 菱 形 的 面 积 ;( 2 ) 当 点 B 不 是 W 的 右 顶 点 时 , 判 断 四 边 形 OABC 是 否 可 能 为 菱 形 , 并 说 明 理 由 。解 : ( 1 ) 因 为 四 边 形 OABC 为 菱 形 , 所 以 与 相 互 垂 直 平 分 , 所 以 可 设( t , ) , 代 入 椭 圆 方 程 式 得 即所 以( 2 ) 假 设 四 边 形 OABC 为 菱 形因 为222 2 21 1 2 21 2 1 2 1 2222244+ 8 4 4 04,2 1 4 2 2 1 441 4 1 4xyyy k x mk

10、m x mAx x y y x xk m mkmkkk m mACkk 点 B 不 是 W 的 顶 点 , 且 A C O B , 所 以 k0由 消 并 整 理 得( 1 4 k ) x设 ( x , y ) , C ( x , y ) , 则 所 以 的 中 点 为 M ( , )因 为 M 为 AC 和 OB 的 交 点 , 且 m 0 , k 0 , 所 以 直 线 OB 的 斜1411,4kk A C O BkO A B CB W O A B C 率 为因 为 ( ) 所 以 与 不 垂 直所 以 不 是 菱 形 , 与 假 设 矛 盾所 以 当 点 不 是 的 顶 点 时 , 四

11、边 形 不 可 能 是 菱 形 。 1 2 31 1 , 21111+112 , 3 , 6( 2 ) 0 , 1 . . . . ,. . . . n - 1 , A ,. . . . n - 1 ,d A ( 1 )dd 0 = ( . . . . n - 2 ) ,d,ni i i iii i i i iiiid d da q a a ai a B aiB a a a q qqid ( 20 ) ( 共 13 分 )解 : ( 1 )以 为 公 比 , 所 以 是 递 增 数 列因 此 , 对 =1,2 ,于 是 对 1,2 ,因 此 且 1,2 ,即 d211 2 1+1+ 1 + 1

12、 + 1+ 1 1 1 + 11 , 2 111., . . . ,n - 2 0d= m a x , . . . . , ( . . . . n - 1 )nniii i i i i i i ii i i i i i in i idd d d diBA B B d d B d AA A a a A A aa a a A a iAd 是 等 比 数 列( 3 ) 设 为 的 公 差对 1 , 因 为 B , d , 所 以又 因 为 , 所 以从 而 是 递 增 数 列 . 因 此 1,2 ,又 因 为 B1 1 1 1 1 1 2 111 2 11 + 11 2 1, . . .= . . . . . . n - 2 d , . . .nnnni i i i n ii i i ina d a a a aaBB B B aa A B d a di a a d da a a 所 以 B因 此所 以所 以因 此 对 1,2 , 都 有即 是 等 差 数 列

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