1、 绝密启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试 （北京卷） 数学（理） 第一部分 （选择题 共 40 分） 一、选择题共 8 小题。每小题 5 分，共 40 分。在每个小题 列 出的四个选项中， 选出 符合题目要求的一项。 1.已知集合 A= 1， 0， 1， B=x| 1x 1，则 AB= ( ) A.0 B. 1， 0 C.0， 1 D. 1,0,1 2.在复平面内，复数 (2 i)2 对应的点位于 ( ) A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限 3.“=”是 “ 曲线 y=sin(2x )过坐标原点 ” 的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分
2、必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 A.1 B. C. D. 5.函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度，所得图象与 曲线 y=ex关于 y轴对称，则 f(x)= A. B. C. D. 6.若双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为 A.y=2x B.y= C. D. 7.直线 l过抛物线 C:x2=4y 的焦点且与 y 轴垂直，则 l 与 C 所围成的图形的面积等于 A. B.2 C. D. 2313216109871ex 1ex1ex 1ex221xyab 32x12yx 22yx4383 16 23 8.设关于 x,y 的不等式组 表示
3、的平面区域内 存在点 P(x0， y0)满足 x0 2y0=2.求得 m的取值范围是 A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 6 题，每小题 5 分，共 30 分 . 9.在极坐标系中，点 (2， )到直线 sin=2 的距离等于 10.若等比数列 an满足 a2 a4=20， a3 a5=40，则公比 q= ；前 n 项和 Sn= . 11.如图， AB为圆 O的直径， PA 为圆 O的切线， PB与圆 O相交于 D， 若 PA=3， PD:DB=9：16，则 PD= ， AB= . 12.将序号分别为 1， 2， 3， 4， 5 的 5 张参观券全部分给
4、 4 人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 . 13.向量 a， b， c 在正方形网格中的位置如图所示，若 c=a b(， R) ，则 = . 14.如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， E 为 BC 的中点，点 P 在线段 D1E 上，点 P 到直线 CC1 的距离的最小值为 . 三、解答题共 6 小题，共 80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 . 2 1 0 ,0,0xyxmym 1, 32, 3 5, 3 6 15. (本小题共 13 分 ) 在 ABC 中， a=3， b=2 ， B=2 A. (I)求 cosA
5、的值， (II)求 c 的值 16.( 本小题共 13 分 ) 下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染，某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市，并停留 2 天 （ ）求此人到达当日空气重度污染的概率 （ ）设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求 X 的分布列与数学期望。 （ ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） 17. (本小题共 14 分 ) 如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中， AA1C1C是边长为 4的正方形
6、， 平面 ABC平面 AA1C1C，AB=3， BC=5. （ ）求证： AA1平面 ABC； （ ）求二面角 A1-BC1-B1 的余弦值； （ ）证明：在线段 BC1 存在点 D，使得 AD A1B，并求 的值 . 18. (本小题共 13 分 ) 设 L 为曲线 C： 在点 (1， 0)处的切线 . (I)求 L 的方程； (II)证明：除切点 (1， 0)之外，曲线 C 在直线 L 的下方 19. (本小题共 14 分 ) 61BDBClnxy x 已知 A、 B、 C 是椭圆 W： 上的三个点， O是坐标原点 . (I)当点 B 是 W 的右顶点，且四边形 OABC 为菱形时，求此菱
7、形的面积 . (II)当点 B 不是 W 的顶点时，判断四边形 OABC 是否可能为菱形，并说明理由 . 20. (本小题共 13 分 ) 已知 an是由非负整数组成的无穷数列，该数列前 n 项的最大值记为 An，第 n 项之后各项 ， 的最小值记为 Bn， dn=An Bn (I)若 an为 2， 1， 4， 3， 2， 1， 4， 3 ，是一个周期为 4 的数列 (即对任意 n N*， )，写出 d1， d2， d3， d4 的值； (II)设 d 为非负 整数，证明： dn= d(n=1,2,3) 的充分必要条件为 an为 公差为 d 的等差数列； (III)证明：若 a1=2， dn=
8、1(n=1,2,3 )，则 an的项只能是 1 或 2，且有无穷多项为 1 2 2 14x y1na 2na4nnaa 要使可行域存在，必有 m 2m+1，要求可行域内包含直线 上的点，只要边界点( m， 1 2m)在直线 上方，且 (-m， m)在直线 下方，解不等式组得 m 1 12yx1 12yx 1 12yx1211 2 12112mmmmmm 23 2214111 , 32 4 4= 2 3xA B C W y OA C O BtAtAC 已 知 ， ， ， 是 椭 圆 ： 上 的 三 个 点 ， 是 坐 标 的 原 点 。（ 1 ） 当 点 B 是 W 的 右 顶 点 ， 且 四
9、边 形 OABC 为 菱 形 时 ， 求 次 菱 形 的 面 积 ；（ 2 ） 当 点 B 不 是 W 的 右 顶 点 时 ， 判 断 四 边 形 OABC 是 否 可 能 为 菱 形 ， 并 说 明 理 由 。解 ： （ 1 ） 因 为 四 边 形 OABC 为 菱 形 ， 所 以 与 相 互 垂 直 平 分 ， 所 以 可 设（ t ， ） ， 代 入 椭 圆 方 程 式 得 即所 以（ 2 ） 假 设 四 边 形 OABC 为 菱 形因 为222 2 21 1 2 21 2 1 2 1 2222244+ 8 4 4 04,2 1 4 2 2 1 441 4 1 4xyyy k x mk
10、m x mAx x y y x xk m mkmkkk m mACkk 点 B 不 是 W 的 顶 点 ， 且 A C O B , 所 以 k0由 消 并 整 理 得（ 1 4 k ） x设 （ x , y ） , C ( x , y ) , 则 所 以 的 中 点 为 M （ ， ）因 为 M 为 AC 和 OB 的 交 点 ， 且 m 0 , k 0 , 所 以 直 线 OB 的 斜1411,4kk A C O BkO A B CB W O A B C 率 为因 为 （ ） 所 以 与 不 垂 直所 以 不 是 菱 形 ， 与 假 设 矛 盾所 以 当 点 不 是 的 顶 点 时 ， 四
11、边 形 不 可 能 是 菱 形 。 1 2 31 1 , 21111+112 , 3 , 6( 2 ) 0 , 1 . . . . ,. . . . n - 1 , A ,. . . . n - 1 ,d A ( 1 )dd 0 = ( . . . . n - 2 ) ,d,ni i i iii i i i iiiid d da q a a ai a B aiB a a a q qqid （ 20 ） （ 共 13 分 ）解 ： （ 1 ）以 为 公 比 ， 所 以 是 递 增 数 列因 此 ， 对 =1,2 ，于 是 对 1,2 ，因 此 且 1,2 ，即 d211 2 1+1+ 1 + 1
12、 + 1+ 1 1 1 + 11 , 2 111., . . . ,n - 2 0d= m a x , . . . . , ( . . . . n - 1 )nniii i i i i i i ii i i i i i in i idd d d diBA B B d d B d AA A a a A A aa a a A a iAd 是 等 比 数 列（ 3 ） 设 为 的 公 差对 1 ， 因 为 B , d ， 所 以又 因 为 ， 所 以从 而 是 递 增 数 列 . 因 此 1,2 ，又 因 为 B1 1 1 1 1 1 2 111 2 11 + 11 2 1, . . .= . . . . . . n - 2 d , . . .nnnni i i i n ii i i ina d a a a aaBB B B aa A B d a di a a d da a a 所 以 B因 此所 以所 以因 此 对 1,2 ， 都 有即 是 等 差 数 列
