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2013年湖北省咸宁市中考真题数学.docx

1、2013 年湖北省咸宁市中考真题数学 一、选择题 (共 8 小题,每小题 3 分,满分 24分 ) 1.(3 分 )如果温泉河的水位升高 0.8m 时水位变化记作 +0.8m,那么水位下降 0.5m 时水位变化记作 ( ) A. 0m B. 0.5m C. -0.8m D. -0.5m 解析: 水位升高 0.8m 时水位变化记作 +0.8m, 水位下降 0.5m 时水位变化记作 -0.5m; 答案: D. 2.(3 分 )2012 年,咸宁全面推进 “ 省级战略,咸宁实施 ” ,经济持续增长,全市人均 GDP再攀新高,达到约 24000 元 .将 24000 用科学记数法表示为 ( ) A.

2、2.410 4 B. 2.410 3 C. 0.2410 5 D. 2.410 5 解析: 将 24000 用科学记数法表示为 2.410 4. 答案: A. 3.(3 分 )下列学习用具中,不是轴对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析: A、是轴对称图形,不合题意,故本选项错误; B、是轴对称图形,不合题意,故本选项错误; C、不是轴对称图形,符合题意,故本选项正确; D、是轴对称图形,不合题意,故本选项错误; 答案: C. 4.(3 分 )下列运算正确的是 ( ) A. a6a 2=a3 B. 3a2b-a2b=2 C. (-2a3)2=4a6 D. (a+b)2=a2+b2

3、解析: A、 a6a 2=a4,原式计算错误,故 A 选项错误; B、 3a2b-a2b=2a2b,原式计算错误,故 B 选项错误; C、 (-2a3)2=4a6,计算正确,故 C 选项正确; D、 (a+b)2=a2+2ab+b2,计算错误,故 D 选项错误; 答案: C. 5.(3 分 )如图,过正五边形 ABCDE 的顶点 A 作直线 lBE ,则 1 的度数为 ( ) A. 30 B. 36 C. 38 D. 45 解析: ABCDE 是正五边形, BAE= (5-2)1805=108 , AEB= (180 -108 )2=36 , lBE , 1=36 , 答案: B. 6.(3

4、分 )关于 x 的一元二次方程 (a-1)x2-2x+3=0 有实数根,则整数 a 的最大值是 ( ) A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 解析: 根据题意得: =4 -12(a-1)0 ,且 a-10 ,解得: a , a1 , 则整数 a 的最大值为 0. 答案: C. 7.(3 分 )如图,正方形 ABCD 是一块绿化带,其中阴影部分 EOFB, GHMN 都是正方形的花圃 .已知自由飞翔的小鸟,将随机落在这块绿化带上,则小鸟在花圃上的概率为 ( ) A. B. C. D. 解析: 设正方形的 ABCD 的边长为 a,则 BF= BC= , AN=NM=MC= a, 阴影部分的面积

5、为 ( )2+( a)2= a2, 小鸟在花圃上的概率为 = 答案: C. 8.(3 分 )如图,在平面直角坐标系中,以 O 为圆心,适当长为半径画弧,交 x 轴于点 M,交y 轴于点 N,再分别以点 M、 N 为圆心,大于 MN 的长为半径画弧,两弧在第二象限交于点P.若点 P 的坐标为 (2a, b+1),则 a 与 b 的数量关系为 ( ) A. a=b B. 2a+b=-1 C. 2a-b=1 D. 2a+b=1 解析: 根据作图方法可得点 P 在第二象限角平分线上,则 P 点横纵坐标的和为 0, 故 2a+b+1=0,整理得: 2a+b=-1, 答案: B. 二、填空题 (共 8 小

6、题,每小题 3 分,满分 24分 ) 9.(3 分 )-3 的倒数为 . 解析: (-3) (- )=1, -3 的倒数是 - . 答案 : - . 10.(3 分 )化简 + 的结果为 . 解析: 原式 = - = =x. 答案 : x. 11.(3 分 )如图是正方体的一种平面展开图,它的每个面上都有一个汉字,那么在原正方体的表面上,与汉字 “ 香 ” 相对的面上的汉字是 . 解析: 正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形, “ 力 ” 与 “ 城 ” 是相对面, “ 香 ” 与 “ 泉 ” 是相对面, “ 魅 ” 与 “ 都 ” 是相对面 . 答案 : 泉 . 12.(3 分

7、 )已知 是二元一次方程组 的解,则 m+3n 的立方根为 . 解析: 把 代入方程组 ,得: , 则两式相加得: m+3n=8,所以 = =2. 答案 : 2. 13.(3 分 )在数轴上,点 A(表示整数 a)在原点的左侧,点 B(表示整数 b)在原点的右侧 .若|a-b|=2013,且 AO=2BO,则 a+b 的值为 . 解析: 如图, a 0 b. |a -b|=2013,且 AO=2BO, b -a=2013, a=-2b, 由 ,解得 b=671, a+b= -2b+b=-b=-671. 答案 : -671. 14.(3 分 )跳远运动员李刚对训练效果进行测试, 6 次跳远的成绩

8、如下: 7.6, 7.8, 7.7, 7.8,8.0, 7.9.(单位: m)这六次成绩的平均数为 7.8,方差为 .如果李刚再跳两次,成绩分别为 7.7, 7.9.则李刚这 8 次跳远成绩的方差 (填 “ 变大 ” 、 “ 不变 ” 或 “ 变小 ” ). 解析: 李刚再跳两次,成绩分别为 7.7, 7.9, 这组数据的平均数是 =7.8, 这 8 次跳远成绩的方差是: S2= (7.6-7.8)2+(7.8-7.8)2+2 (7.7-7.8)2+(7.8-7.8)2+(8.0-7.8)2+2 (7.9-7.8)2=, , 方差变小; 答案 : 变小 . 15.(3 分 )如图,在 RtAO

9、B 中, OA=OB=3 , O 的半径为 1,点 P 是 AB 边上的动点,过点 P 作 O 的一条切线 PQ(点 Q 为切点 ),则切线 PQ的最小值为 . 解析: 连接 OP、 OQ. PQ 是 O 的切线, OQPQ ; 根据勾股定理知 PQ2=OP2-OQ2, 当 POAB 时,线段 PQ 最短, 在 RtAOB 中, OA=OB=3 , AB= OA=6, OP= =3, PQ= = =2 . 答案 : 2 . 16.(3 分 )“ 龟兔首次赛跑 ” 之后,输了比赛的兔子没有气馁,总结反思后,和乌龟约定再赛一场 .图中的函数图象刻画了 “ 龟兔再次赛跑 ” 的故事 (x 表示乌龟从

10、起点出发所行的时间, y1表示乌龟所行的路程, y2表示兔子所行的路程 ).有下列说法: “ 龟兔再次赛跑 ” 的路程为 1000 米; 兔子和乌龟同时从起点出发; 乌龟在途中休息了 10 分钟; 兔子在途中 750 米处追上乌龟 . 其中正确的说法是 .(把你认为正确说法的序号都填上 ) 解析: 根据图象可知: 龟兔再次赛跑的路程为 1000 米,故 正确; 兔子在乌龟跑了 40 分钟之后开始跑,故 错误; 乌龟在 30-40 分钟时的路程为 0,故这 10 分钟乌龟没有跑在休息,故 正确; y1=20x-200(40x60 ), y2=100x-4000(40x50 ),当 y1=y2时,

11、兔子追上乌龟, 此时 20x-200=100x-4000, 解得: x=47.5, y1=y2=750 米,即兔子在途中 750 米处追上乌龟,故 正确 . 综上可得 正确 . 答案 : . 三、解答题 (共 8 小题,满分 72 分 ) 17.(10 分 )(1)计算: +|2- |-( )-1 (2)解不等式组: . 解析: (1)此题涉及到二次根式的化简、绝对值、负整数指数幂,根据各知识点计算后,再计算有理数的加减即可; (2)分别计算出两个不等式的解集,再根据大小小大中间找确定不等式组的解集即可 . 答案: (1)原式 =2 +2- -2= . (2)解不等式 x+63x+4 ,得;

12、x1 . 解不等式 x-1,得: x 4. 原不等式组的解集为: 1x 4. 18.(7 分 )在咸宁创建 ” 国家卫生城市 “ 的活动中,市园林公司加大了对市区主干道两旁植“ 景观树 ” 的力度,平均每天比原计划多植 5 棵,现在植 60 棵所需的时间与原计划植 45棵所需的时间相同,问现在平均每天植多少棵树? 解析: 设现在平均每天植树 x 棵,则原计划平均每天植树 (x-5)棵 .根据现在植 60 棵所需的时间与原计划植 45 棵所需的时间相同建立方程求出其解即可 . 答案: 设现在平均每天植树 x 棵,则原计划平均每天植树 (x-5)棵 . 依题意得: ,解得: x=20, 经检验,

13、x=20 是方程的解,且符合题意 . 答:现在平均每天植树 20 棵 . 19.(8 分 )如图,在平面直角坐标系中,直线 y=2x+b(b 0)与坐标轴交于 A, B 两点,与双曲线 y= (x 0)交于 D 点,过点 D 作 DCx 轴,垂足为 G,连接 OD.已知 AOBACD . (1)如果 b=-2,求 k 的值; (2)试探究 k 与 b 的数量关系,并写出直线 OD 的解析式 . 解析: (1)首先求出直线 y=2x-2与坐标轴交点的坐标,然后由 AOBACD 得到 CD=OB, AO=AC,即可求出 D 坐标,由点 D 在双曲线 y= ( x 0)的图象上求出 k 的值; (2

14、)首先直线 y=2x+b 与坐标轴交点的坐标为 A(- , 0), B(0, b),再根据 AOBACD 得到 CD=DB, AO=AC,即可求出 D 坐标,把 D 点坐标代入反比例函数解析式求出 k 和 b 之间的关系,进而也可以求出直线 OD 的解析式 . 答案: (1)当 b=-2 时,直线 y=2x-2 与坐标轴交点的坐标为 A(1, 0), B(0, -2). AOBACD , CD=OB , AO=AC, 点 D 的坐标为 (2, 2). 点 D 在双曲线 y= ( x 0)的图象上, k=22=4 . (2)直线 y=2x+b 与坐标轴交点的坐标为 A(- , 0), B(0,

15、b). AOBACD , CD=OB, AO=AC, 点 D 的坐标为 (-b, -b). 点 D 在双曲线 y= ( x 0)的图象上, k= (-b)( -b)=b2. 即 k 与 b 的数量关系为: k=b2.直线 OD 的解析式为: y=x. 20.(8 分 )如图, ABC 内接于 O , OC 和 AB 相交于点 E,点 D在 OC的延长线上,且B=D=BAC=30 . (1)试判断直线 AD 与 O 的位置关系,并说明理由; (2)AB=6 ,求 O 的半径 . 解析: (1)连接 OA,求出 AOC=2B=60 ,根据三角形内角和定理求出 OAD ,根据切线判定推出即可; (2

16、)求出 AEC=90 ,根据垂径定理求出 AE,根据锐角三角函数的定义即可求出 AC,根据等边三角形的性质推出即可 . 答案: (1)直线 AD 与 O 相切 .理由如下:如图,连接 OA. B=30 , AOC=2B=60 , OAD=180 -AOD -D=90 ,即 OAAD , OA 为半径, AD 是 O 的切线 . (2)OA=OC , AOC=60 , ACO 是等边三角形, ACO=60 , AC=OA, AEC=180 -EAC -ACE=90 , OCAB , 又 OC 是 O 的半径, AE= AB= 6 =3 , 在 RtACE 中, sinACE= =sin 60 ,

17、 AC=6 , O 的半径为 6. 21.(8 分 )在对全市初中生进行的体质健康测试中,青少年体质研究中心随机抽取的 10 名学生的坐位体前屈的成绩 (单位:厘米 )如下: 11.2, 10.5, 11.4, 10.2, 11.4, 11.4, 11.2, 9.5, 12.0, 10.2 (1)通过计算,样本数据 (10 名学生的成绩 )的平均数是 10.9,中位数是 ,众数是 ; (2)一个学生的成绩是 11.3 厘米,你认为他的成绩如何?说明理由; (3)研究中心确定了一个标准成绩,等于或大于这个成绩的学生该项素质被评定为 “ 优秀 ”等级,如果全市有一半左右的学生能够达到 “ 优秀 ”

18、 等级,你认为标准成绩定为多少?说明理由 . 解析: (1)利用中位数、众数的定义进行解答即可; (2)将其成绩与中位数比较即可得到答案; (3)用中位数作为一个标准即可衡量是否有一半学生达到优秀等级 . 答案: (1)中位数是 11.2,众数是 11.4. (2)方法 1:根据 (1)中得到的样本数据的结论,可以估计,在这次坐位体前屈的成绩测试中,全市大约有一半学生的成绩大于 11.2 厘米,有一半学生的成绩小于 11.2 厘米,这位学生的成绩是 11.3 厘米,大于中位数 11.2 厘米,可以推测他的成绩比一半以上学生的成绩好 .(5分 ) 方法 2:根据 (1)中得到的样本数据的结论,可

19、以估计,在这次坐位体前屈的成绩测试中,全市学生的平均成绩是 10.9 厘米,这位学生的成绩是 11.3 厘米,大于平均成绩 10.9 厘米,可以推测他的成绩比全市学生的平均成绩好 .(5 分 ) (3)如果全市有一半左右的学生评定为 “ 优秀 ” 等级,标准成绩应定为 11.2 厘米 (中位数 ).因为从样本情况看,成绩在 11.2 厘米以上 (含 11.2 厘米 )的学生占总人数的一半左右 .可以估计,如果标准成绩定为 11.2 厘米,全市将有一半左右的学生能够评定为 “ 优秀 ” 等级 .(8分 ) 22.(9 分 )为鼓励大学毕业生自主创业,某市政府出台了相关政策:由政府协调,本市企业按

20、成本价提供产品给大学毕业生自主销售,成本价与出厂价之间的差价由政府承担 .李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯 .已知这种节能灯的成本价为每件 10 元,出厂价为每件 12 元,每月销售量 y(件 )与销售单价 x(元 )之间的关系近似满足一次函数:y=-10x+500. (1)李明在开始创业的第一个月将销售单价定为 20 元,那么政府这个月为他承担的总差价为多少元? (2)设李明获得的利润为 w(元 ),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润? (3)物价部门规定,这种节能灯的销售单价不得高于 25 元 .如果李明想要每月获得的利润不低于 3000 元,那么政府为他承担的总差

21、价最少为多少元? 解析: (1)把 x=20 代入 y=-10x+500 求出销售 的件数,然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价; (2)由利润 =销售价 -成本价,得 w=(x-10)(-10x+500),把函数转化成顶点坐标式,根据二次函数的性质求出最大利润; (3)令 -10x2+600x-5000=3000,求出 x 的值,结合图象求出利润的范围,然后设设政府每个月为他承担的总差价为 p 元,根据一次函数的性质求出总差价的最小值 . 答案: (1)当 x=20 时, y=-10x+500=-1020+500=300 , 300 (12-10)=3002=600 元, 即政府这个月

22、为他承担的总差价为 600 元 . (2)依题意得, w=(x-10)(-10x+500)=-10x2+600x-5000=-10(x-30)2+4000 a= -10 0, 当 x=30 时, w 有最大值 4000 元 . 即当销售单价定为 30 元时,每月可获得最大利润 4000 元 . (3)由题意得: -10x2+600x-5000=3000,解得: x1=20, x2=40. a= -10 0,抛物线开口向下, 结合图象可知:当 20x40 时, 4000 w3000 . 又 x25 , 当 20x25 时, w3000 . 设政府每个月为他承担的总差价为 p 元, p= (12-

23、10) (-10x+500)=-20x+1000. k= -20 0.p 随 x 的增大而减小, 当 x=25 时, p 有最小值 500元 . 即销售单价定为 25 元时,政府每个月为他承担的总差价最少为 500 元 . 23.(10 分 )阅读理解: 如图 1,在四边形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E(点 E 不与点 A、点 B 重合 ),分别连接 ED, EC,可以把四边形 ABCD 分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把 E 叫做四边形ABCD 的边 AB 上的相似点;如果这三个三角形都相似,我们就把 E 叫做四边形 ABCD 的边 AB上的强相似点 .解决问题: (

24、1)如图 1, A=B=DEC=55 ,试判断点 E 是否是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点,并说明理由; (2)如图 2,在矩形 ABCD 中, AB=5, BC=2,且 A, B, C, D 四点均在正方形网格 (网格中每个小正方形的边长为 1)的格点 (即每个小正方形的顶点 )上,试在图 2 中画出矩形 ABCD 的边 AB上的一个强相似点 E; 拓展探究: (3)如图 3,将矩形 ABCD沿 CM 折叠,使点 D 落在 AB 边上的点 E 处 .若点 E 恰好是四边形 ABCM的边 AB 上的一个强相似点,试探究 AB 和 BC 的数量关系 . 解析: (1)要证明点 E 是四

25、边形 ABCD 的 AB 边上的相似点,只要证明有一组三角形相似就行,很容易证明 ADEBEC ,所以问题得解 . (2)根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可 . (3)因为点 E 是梯形 ABCD 的 AB 边上的一个强相似点,所以就有相似三角形出现,根据相似三角形的对应 线段成比例,可以判断出 AE 和 BE 的数量关系,从而可求出解 . 答案: (1)点 E 是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点 . 理由: A=55 , ADE+DEA=125 . DEC=55 , BEC+DEA=125 .ADE=BEC . A=B , ADEBEC . 点 E 是四边形 ABCD

26、的 AB 边上的相似点 . (2)作图如下: (3) 点 E 是四边形 ABCM 的边 AB 上的一个强相似点, AEMBCEECM ,BCE=ECM=AEM . 由折叠可知: ECMDCM , ECM=DCM , CE=CD, BCE= BCD=30 , BE= CE= AB. 在 RtBCE 中, tanBCE= =tan30 , , . 24.(12 分 )如图,已知直线 y= x+1 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,将 AOB 绕点 O 顺时针旋转 90 后得到 COD . (1)点 C 的坐标是 线段 AD 的长等于 ; (2)点 M 在 CD 上,且 CM=OM,抛物线

27、 y=x2+bx+c经过点 C, M,求抛物线的解析式; (3)如果点 E 在 y 轴上,且位于点 C 的下方,点 F在直线 AC上,那么在 (2)中的抛物线上是否存在点 P,使得以 C, E, F, P 为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出该菱形的周长 l;若不存在,请说明理由 . 解析: (1)首先求出图象与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B 的坐标,进而得出 C 点坐标以及线段 AD 的长; (2)首先得出点 M是 CD的中点,即可得出 M点坐标,进而利用待定系数法求二次函数解析式; (3)分别根据当点 F 在点 C 的左边时以及当点 F 在点 C 的右边时,分析四边形 CFPE

28、为菱形得出即可 . 答案: (1) 直线 y= x+1 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B, y=0 时, x=-3, x=0 时, y=1, A 点坐标为: (-3, 0), B 点坐标为: (0, 1), OC=3 , DO=1, 点 C 的坐标是 (0, 3),线段 AD 的长等于 4; (2)CM=OM , OCM=COM . OCM+ODM=COM+MOD=90 , ODM=MOD , OM=MD=CM , 点 M 是 CD 的中点, 点 M 的坐标为 ( , ). (说明:由 CM=OM 得到点 M 在 OC 在垂直平分线上,所以点 M的纵坐标为 ,再求出直线 CD的解析式

29、,进而求出点 M 的坐标也可 .) 抛物线 y=x2+bx+c 经过点 C, M, ,解得: . 抛物线 y=x2+bx+c 的解析式为: y=x2- x+3. (3)抛物线上存在点 P,使得以 C, E, F, P 为顶点的四边形是菱形 . 情形 1:如图 1,当点 F 在点 C 的左边时,四边形 CFEP为菱形 . FCE=PCE , 由题意可知, OA=OC, ACO=PCE=45 , FCP=90 , 菱形 CFEP 为正方形 . 过点 P 作 PHCE ,垂足为 H,则 RtCHP 为等腰直角三角形 .CP= CH= PH. 设点 P 为 (x, x2- x+3),则 OH=x2-

30、x+3, PH=x, PH=CH=OC -OH, 3 -(x2- x+3)=x,解得: x= CP= CH= = , 菱形 CFEP 的周长 l 为: 4=10 . 情形 2:如图 2,当点 F 在点 C 的右边时,四边形 CFPE为菱形 . CF=PF , CEFP . 直线 AC 过点 A(-3, 0),点 C(0, 3), 直线 AC 的解析式为: y=x+3. 过点 C 作 CMPF ,垂足为 M,则 RtCMF 为等腰直角三角形, CM=FM.延长 PF 交 x 轴于点 N, 则 PNx 轴, PF=FN -PN,设点 P 为 (x, x2- x+3),则点 F 为 (x, x+3), FC= x, FP=(x+3)-(x2- x+3)=-x2+ x, x=-x2+ x,解得: x= - , FC= x= -2, 菱形 CFEP 的周长 l 为: ( -2)4=18 -8. 综上所述,这样的菱形存在,它的周长为 10 或 18 -8.

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