1、2013 年湖北省咸宁市中考真题数学 一、选择题 (共 8 小题，每小题 3 分，满分 24分 ) 1.(3 分 )如果温泉河的水位升高 0.8m 时水位变化记作 +0.8m，那么水位下降 0.5m 时水位变化记作 ( ) A. 0m B. 0.5m C. -0.8m D. -0.5m 解析： 水位升高 0.8m 时水位变化记作 +0.8m， 水位下降 0.5m 时水位变化记作 -0.5m； 答案： D. 2.(3 分 )2012 年，咸宁全面推进 “ 省级战略，咸宁实施 ” ，经济持续增长，全市人均 GDP再攀新高，达到约 24000 元 .将 24000 用科学记数法表示为 ( ) A.
2、2.410 4 B. 2.410 3 C. 0.2410 5 D. 2.410 5 解析： 将 24000 用科学记数法表示为 2.410 4. 答案： A. 3.(3 分 )下列学习用具中，不是轴对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析： A、是轴对称图形，不合题意，故本选项错误； B、是轴对称图形，不合题意，故本选项错误； C、不是轴对称图形，符合题意，故本选项正确； D、是轴对称图形，不合题意，故本选项错误； 答案： C. 4.(3 分 )下列运算正确的是 ( ) A. a6a 2=a3 B. 3a2b-a2b=2 C. (-2a3)2=4a6 D. (a+b)2=a2+b2
3、解析： A、 a6a 2=a4，原式计算错误，故 A 选项错误； B、 3a2b-a2b=2a2b，原式计算错误，故 B 选项错误； C、 (-2a3)2=4a6，计算正确，故 C 选项正确； D、 (a+b)2=a2+2ab+b2，计算错误，故 D 选项错误； 答案： C. 5.(3 分 )如图，过正五边形 ABCDE 的顶点 A 作直线 lBE ，则 1 的度数为 ( ) A. 30 B. 36 C. 38 D. 45 解析： ABCDE 是正五边形， BAE= (5-2)1805=108 ， AEB= (180 -108 )2=36 ， lBE ， 1=36 ， 答案： B. 6.(3
4、分 )关于 x 的一元二次方程 (a-1)x2-2x+3=0 有实数根，则整数 a 的最大值是 ( ) A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 解析： 根据题意得： =4 -12(a-1)0 ，且 a-10 ，解得： a ， a1 ， 则整数 a 的最大值为 0. 答案： C. 7.(3 分 )如图，正方形 ABCD 是一块绿化带，其中阴影部分 EOFB， GHMN 都是正方形的花圃 .已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为 ( ) A. B. C. D. 解析： 设正方形的 ABCD 的边长为 a，则 BF= BC= ， AN=NM=MC= a， 阴影部分的面积
5、为 ( )2+( a)2= a2， 小鸟在花圃上的概率为 = 答案： C. 8.(3 分 )如图，在平面直角坐标系中，以 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 x 轴于点 M，交y 轴于点 N，再分别以点 M、 N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P.若点 P 的坐标为 (2a， b+1)，则 a 与 b 的数量关系为 ( ) A. a=b B. 2a+b=-1 C. 2a-b=1 D. 2a+b=1 解析： 根据作图方法可得点 P 在第二象限角平分线上，则 P 点横纵坐标的和为 0， 故 2a+b+1=0，整理得： 2a+b=-1， 答案： B. 二、填空题 (共 8 小
6、题，每小题 3 分，满分 24分 ) 9.(3 分 )-3 的倒数为 . 解析： (-3) (- )=1， -3 的倒数是 - . 答案 ： - . 10.(3 分 )化简 + 的结果为 . 解析： 原式 = - = =x. 答案 ： x. 11.(3 分 )如图是正方体的一种平面展开图，它的每个面上都有一个汉字，那么在原正方体的表面上，与汉字 “ 香 ” 相对的面上的汉字是 . 解析： 正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “ 力 ” 与 “ 城 ” 是相对面， “ 香 ” 与 “ 泉 ” 是相对面， “ 魅 ” 与 “ 都 ” 是相对面 . 答案 ： 泉 . 12.(3 分
7、 )已知 是二元一次方程组 的解，则 m+3n 的立方根为 . 解析： 把 代入方程组 ，得： ， 则两式相加得： m+3n=8，所以 = =2. 答案 ： 2. 13.(3 分 )在数轴上，点 A(表示整数 a)在原点的左侧，点 B(表示整数 b)在原点的右侧 .若|a-b|=2013，且 AO=2BO，则 a+b 的值为 . 解析： 如图， a 0 b. |a -b|=2013，且 AO=2BO， b -a=2013， a=-2b， 由 ，解得 b=671， a+b= -2b+b=-b=-671. 答案 ： -671. 14.(3 分 )跳远运动员李刚对训练效果进行测试， 6 次跳远的成绩
8、如下： 7.6， 7.8， 7.7， 7.8，8.0， 7.9.(单位： m)这六次成绩的平均数为 7.8，方差为 .如果李刚再跳两次，成绩分别为 7.7， 7.9.则李刚这 8 次跳远成绩的方差 (填 “ 变大 ” 、 “ 不变 ” 或 “ 变小 ” ). 解析： 李刚再跳两次，成绩分别为 7.7， 7.9， 这组数据的平均数是 =7.8， 这 8 次跳远成绩的方差是： S2= (7.6-7.8)2+(7.8-7.8)2+2 (7.7-7.8)2+(7.8-7.8)2+(8.0-7.8)2+2 (7.9-7.8)2=， ， 方差变小； 答案 ： 变小 . 15.(3 分 )如图，在 RtAO
9、B 中， OA=OB=3 ， O 的半径为 1，点 P 是 AB 边上的动点，过点 P 作 O 的一条切线 PQ(点 Q 为切点 )，则切线 PQ的最小值为 . 解析： 连接 OP、 OQ. PQ 是 O 的切线， OQPQ ； 根据勾股定理知 PQ2=OP2-OQ2， 当 POAB 时，线段 PQ 最短， 在 RtAOB 中， OA=OB=3 ， AB= OA=6， OP= =3， PQ= = =2 . 答案 ： 2 . 16.(3 分 )“ 龟兔首次赛跑 ” 之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场 .图中的函数图象刻画了 “ 龟兔再次赛跑 ” 的故事 (x 表示乌龟从
10、起点出发所行的时间， y1表示乌龟所行的路程， y2表示兔子所行的路程 ).有下列说法： “ 龟兔再次赛跑 ” 的路程为 1000 米； 兔子和乌龟同时从起点出发； 乌龟在途中休息了 10 分钟； 兔子在途中 750 米处追上乌龟 . 其中正确的说法是 .(把你认为正确说法的序号都填上 ) 解析： 根据图象可知： 龟兔再次赛跑的路程为 1000 米，故 正确； 兔子在乌龟跑了 40 分钟之后开始跑，故 错误； 乌龟在 30-40 分钟时的路程为 0，故这 10 分钟乌龟没有跑在休息，故 正确； y1=20x-200(40x60 )， y2=100x-4000(40x50 )，当 y1=y2时，
11、兔子追上乌龟， 此时 20x-200=100x-4000， 解得： x=47.5， y1=y2=750 米，即兔子在途中 750 米处追上乌龟，故 正确 . 综上可得 正确 . 答案 ： . 三、解答题 (共 8 小题，满分 72 分 ) 17.(10 分 )(1)计算： +|2- |-( )-1 (2)解不等式组： . 解析： (1)此题涉及到二次根式的化简、绝对值、负整数指数幂，根据各知识点计算后，再计算有理数的加减即可； (2)分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集即可 . 答案： (1)原式 =2 +2- -2= . (2)解不等式 x+63x+4 ，得；
12、x1 . 解不等式 x-1，得： x 4. 原不等式组的解集为： 1x 4. 18.(7 分 )在咸宁创建 ” 国家卫生城市 “ 的活动中，市园林公司加大了对市区主干道两旁植“ 景观树 ” 的力度，平均每天比原计划多植 5 棵，现在植 60 棵所需的时间与原计划植 45棵所需的时间相同，问现在平均每天植多少棵树？ 解析： 设现在平均每天植树 x 棵，则原计划平均每天植树 (x-5)棵 .根据现在植 60 棵所需的时间与原计划植 45 棵所需的时间相同建立方程求出其解即可 . 答案： 设现在平均每天植树 x 棵，则原计划平均每天植树 (x-5)棵 . 依题意得： ，解得： x=20， 经检验，
13、x=20 是方程的解，且符合题意 . 答：现在平均每天植树 20 棵 . 19.(8 分 )如图，在平面直角坐标系中，直线 y=2x+b(b 0)与坐标轴交于 A， B 两点，与双曲线 y= (x 0)交于 D 点，过点 D 作 DCx 轴，垂足为 G，连接 OD.已知 AOBACD . (1)如果 b=-2，求 k 的值； (2)试探究 k 与 b 的数量关系，并写出直线 OD 的解析式 . 解析： (1)首先求出直线 y=2x-2与坐标轴交点的坐标，然后由 AOBACD 得到 CD=OB， AO=AC，即可求出 D 坐标，由点 D 在双曲线 y= ( x 0)的图象上求出 k 的值； (2
14、)首先直线 y=2x+b 与坐标轴交点的坐标为 A(- ， 0)， B(0， b)，再根据 AOBACD 得到 CD=DB， AO=AC，即可求出 D 坐标，把 D 点坐标代入反比例函数解析式求出 k 和 b 之间的关系，进而也可以求出直线 OD 的解析式 . 答案： (1)当 b=-2 时，直线 y=2x-2 与坐标轴交点的坐标为 A(1， 0)， B(0， -2). AOBACD ， CD=OB ， AO=AC， 点 D 的坐标为 (2， 2). 点 D 在双曲线 y= ( x 0)的图象上， k=22=4 . (2)直线 y=2x+b 与坐标轴交点的坐标为 A(- ， 0)， B(0，
15、b). AOBACD ， CD=OB， AO=AC， 点 D 的坐标为 (-b， -b). 点 D 在双曲线 y= ( x 0)的图象上， k= (-b)( -b)=b2. 即 k 与 b 的数量关系为： k=b2.直线 OD 的解析式为： y=x. 20.(8 分 )如图， ABC 内接于 O ， OC 和 AB 相交于点 E，点 D在 OC的延长线上，且B=D=BAC=30 . (1)试判断直线 AD 与 O 的位置关系，并说明理由； (2)AB=6 ，求 O 的半径 . 解析： (1)连接 OA，求出 AOC=2B=60 ，根据三角形内角和定理求出 OAD ，根据切线判定推出即可； (2
16、)求出 AEC=90 ，根据垂径定理求出 AE，根据锐角三角函数的定义即可求出 AC，根据等边三角形的性质推出即可 . 答案： (1)直线 AD 与 O 相切 .理由如下：如图，连接 OA. B=30 ， AOC=2B=60 ， OAD=180 -AOD -D=90 ，即 OAAD ， OA 为半径， AD 是 O 的切线 . (2)OA=OC ， AOC=60 ， ACO 是等边三角形， ACO=60 ， AC=OA， AEC=180 -EAC -ACE=90 ， OCAB ， 又 OC 是 O 的半径， AE= AB= 6 =3 ， 在 RtACE 中， sinACE= =sin 60 ，
17、 AC=6 ， O 的半径为 6. 21.(8 分 )在对全市初中生进行的体质健康测试中，青少年体质研究中心随机抽取的 10 名学生的坐位体前屈的成绩 (单位：厘米 )如下： 11.2， 10.5， 11.4， 10.2， 11.4， 11.4， 11.2， 9.5， 12.0， 10.2 (1)通过计算，样本数据 (10 名学生的成绩 )的平均数是 10.9，中位数是 ，众数是 ； (2)一个学生的成绩是 11.3 厘米，你认为他的成绩如何？说明理由； (3)研究中心确定了一个标准成绩，等于或大于这个成绩的学生该项素质被评定为 “ 优秀 ”等级，如果全市有一半左右的学生能够达到 “ 优秀 ”
18、 等级，你认为标准成绩定为多少？说明理由 . 解析： (1)利用中位数、众数的定义进行解答即可； (2)将其成绩与中位数比较即可得到答案； (3)用中位数作为一个标准即可衡量是否有一半学生达到优秀等级 . 答案： (1)中位数是 11.2，众数是 11.4. (2)方法 1：根据 (1)中得到的样本数据的结论，可以估计，在这次坐位体前屈的成绩测试中，全市大约有一半学生的成绩大于 11.2 厘米，有一半学生的成绩小于 11.2 厘米，这位学生的成绩是 11.3 厘米，大于中位数 11.2 厘米，可以推测他的成绩比一半以上学生的成绩好 .(5分 ) 方法 2：根据 (1)中得到的样本数据的结论，可
19、以估计，在这次坐位体前屈的成绩测试中，全市学生的平均成绩是 10.9 厘米，这位学生的成绩是 11.3 厘米，大于平均成绩 10.9 厘米，可以推测他的成绩比全市学生的平均成绩好 .(5 分 ) (3)如果全市有一半左右的学生评定为 “ 优秀 ” 等级，标准成绩应定为 11.2 厘米 (中位数 ).因为从样本情况看，成绩在 11.2 厘米以上 (含 11.2 厘米 )的学生占总人数的一半左右 .可以估计，如果标准成绩定为 11.2 厘米，全市将有一半左右的学生能够评定为 “ 优秀 ” 等级 .(8分 ) 22.(9 分 )为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按
20、成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担 .李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯 .已知这种节能灯的成本价为每件 10 元，出厂价为每件 12 元，每月销售量 y(件 )与销售单价 x(元 )之间的关系近似满足一次函数：y=-10x+500. (1)李明在开始创业的第一个月将销售单价定为 20 元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？ (2)设李明获得的利润为 w(元 )，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ (3)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于 25 元 .如果李明想要每月获得的利润不低于 3000 元，那么政府为他承担的总差
21、价最少为多少元？ 解析： (1)把 x=20 代入 y=-10x+500 求出销售 的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价； (2)由利润 =销售价 -成本价，得 w=(x-10)(-10x+500)，把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润； (3)令 -10x2+600x-5000=3000，求出 x 的值，结合图象求出利润的范围，然后设设政府每个月为他承担的总差价为 p 元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值 . 答案： (1)当 x=20 时， y=-10x+500=-1020+500=300 ， 300 (12-10)=3002=600 元， 即政府这个月
22、为他承担的总差价为 600 元 . (2)依题意得， w=(x-10)(-10x+500)=-10x2+600x-5000=-10(x-30)2+4000 a= -10 0， 当 x=30 时， w 有最大值 4000 元 . 即当销售单价定为 30 元时，每月可获得最大利润 4000 元 . (3)由题意得： -10x2+600x-5000=3000，解得： x1=20， x2=40. a= -10 0，抛物线开口向下， 结合图象可知：当 20x40 时， 4000 w3000 . 又 x25 ， 当 20x25 时， w3000 . 设政府每个月为他承担的总差价为 p 元， p= (12-
23、10) (-10x+500)=-20x+1000. k= -20 0.p 随 x 的增大而减小， 当 x=25 时， p 有最小值 500元 . 即销售单价定为 25 元时，政府每个月为他承担的总差价最少为 500 元 . 23.(10 分 )阅读理解： 如图 1，在四边形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E(点 E 不与点 A、点 B 重合 )，分别连接 ED， EC，可以把四边形 ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把 E 叫做四边形ABCD 的边 AB 上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把 E 叫做四边形 ABCD 的边 AB上的强相似点 .解决问题： (
24、1)如图 1， A=B=DEC=55 ，试判断点 E 是否是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点，并说明理由； (2)如图 2，在矩形 ABCD 中， AB=5， BC=2，且 A， B， C， D 四点均在正方形网格 (网格中每个小正方形的边长为 1)的格点 (即每个小正方形的顶点 )上，试在图 2 中画出矩形 ABCD 的边 AB上的一个强相似点 E； 拓展探究： (3)如图 3，将矩形 ABCD沿 CM 折叠，使点 D 落在 AB 边上的点 E 处 .若点 E 恰好是四边形 ABCM的边 AB 上的一个强相似点，试探究 AB 和 BC 的数量关系 . 解析： (1)要证明点 E 是四
25、边形 ABCD 的 AB 边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明 ADEBEC ，所以问题得解 . (2)根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可 . (3)因为点 E 是梯形 ABCD 的 AB 边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应 线段成比例，可以判断出 AE 和 BE 的数量关系，从而可求出解 . 答案： (1)点 E 是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点 . 理由： A=55 ， ADE+DEA=125 . DEC=55 ， BEC+DEA=125 .ADE=BEC . A=B ， ADEBEC . 点 E 是四边形 ABCD
26、的 AB 边上的相似点 . (2)作图如下： (3) 点 E 是四边形 ABCM 的边 AB 上的一个强相似点， AEMBCEECM ，BCE=ECM=AEM . 由折叠可知： ECMDCM ， ECM=DCM ， CE=CD， BCE= BCD=30 ， BE= CE= AB. 在 RtBCE 中， tanBCE= =tan30 ， ， . 24.(12 分 )如图，已知直线 y= x+1 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，将 AOB 绕点 O 顺时针旋转 90 后得到 COD . (1)点 C 的坐标是 线段 AD 的长等于 ； (2)点 M 在 CD 上，且 CM=OM，抛物线
27、 y=x2+bx+c经过点 C， M，求抛物线的解析式； (3)如果点 E 在 y 轴上，且位于点 C 的下方，点 F在直线 AC上，那么在 (2)中的抛物线上是否存在点 P，使得以 C， E， F， P 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长 l；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)首先求出图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B 的坐标，进而得出 C 点坐标以及线段 AD 的长； (2)首先得出点 M是 CD的中点，即可得出 M点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式； (3)分别根据当点 F 在点 C 的左边时以及当点 F 在点 C 的右边时，分析四边形 CFPE
28、为菱形得出即可 . 答案： (1) 直线 y= x+1 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B， y=0 时， x=-3， x=0 时， y=1， A 点坐标为： (-3， 0)， B 点坐标为： (0， 1)， OC=3 ， DO=1， 点 C 的坐标是 (0， 3)，线段 AD 的长等于 4； (2)CM=OM ， OCM=COM . OCM+ODM=COM+MOD=90 ， ODM=MOD ， OM=MD=CM ， 点 M 是 CD 的中点， 点 M 的坐标为 ( ， ). (说明：由 CM=OM 得到点 M 在 OC 在垂直平分线上，所以点 M的纵坐标为 ，再求出直线 CD的解析式
29、，进而求出点 M 的坐标也可 .) 抛物线 y=x2+bx+c 经过点 C， M， ，解得： . 抛物线 y=x2+bx+c 的解析式为： y=x2- x+3. (3)抛物线上存在点 P，使得以 C， E， F， P 为顶点的四边形是菱形 . 情形 1：如图 1，当点 F 在点 C 的左边时，四边形 CFEP为菱形 . FCE=PCE ， 由题意可知， OA=OC， ACO=PCE=45 ， FCP=90 ， 菱形 CFEP 为正方形 . 过点 P 作 PHCE ，垂足为 H，则 RtCHP 为等腰直角三角形 .CP= CH= PH. 设点 P 为 (x， x2- x+3)，则 OH=x2-
30、x+3， PH=x， PH=CH=OC -OH， 3 -(x2- x+3)=x，解得： x= CP= CH= = ， 菱形 CFEP 的周长 l 为： 4=10 . 情形 2：如图 2，当点 F 在点 C 的右边时，四边形 CFPE为菱形 . CF=PF ， CEFP . 直线 AC 过点 A(-3， 0)，点 C(0， 3)， 直线 AC 的解析式为： y=x+3. 过点 C 作 CMPF ，垂足为 M，则 RtCMF 为等腰直角三角形， CM=FM.延长 PF 交 x 轴于点 N， 则 PNx 轴， PF=FN -PN，设点 P 为 (x， x2- x+3)，则点 F 为 (x， x+3)， FC= x， FP=(x+3)-(x2- x+3)=-x2+ x， x=-x2+ x，解得： x= - ， FC= x= -2， 菱形 CFEP 的周长 l 为： ( -2)4=18 -8. 综上所述，这样的菱形存在，它的周长为 10 或 18 -8.
