2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷）理科数学试题（含答案）.pdf

1、 绝密 *启用前 2012 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注息事项 : 1.本试卷分第 卷（选择题）和第 卷 (非选择题 )两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.问答第 卷时。选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动 .用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效 . 3.回答第 卷时。将答案写在答题卡上 .写在本试卷上无效 4.考试结束后 .将本试卷和答且卡一并交回。 第 卷 一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分 ，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （ 1） 已知集合

2、 1,2,3,4,5A ， ( , ) | , , B x y x A y A x y A ，则 B 中所含元素的个数为 （ A） 3 （ B） 6 (C) 8 （ D） 10 （ 2） 将 2 名教师， 4 名 学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有 （ A） 12 种 （ B） 10 种 (C) 9 种 （ D） 8 种 （ 3） 下面是关于复数 21z i 的四个命题 ： 1:| | 2pz ， 22:2p z i ， 3:pz的共轭复数为 1i ， 4:pz的虚部为 1 。其 中的真命题为 （ A） 2p

3、， 3p (B) 1p ， 2p (C) 2p ， 4p (D) 3p ， 4p （ 4） 设 12FF、 是椭圆 22: ( 0 )xyE a bab 的左、右焦点， P 为直线 32ax 上一点， 21FPF 是底角为 30 的等腰三角形，则 E 的离心率为 （ A） 12 （ B） 23 （ C） 34 （ D） 45 （ 5）已知 na 为等比数列， 472aa， 56 8aa ，则 1 10aa（） （ A） 7 （ B） 5 （ C） 5 （ D） 7 （ 6）如果执行右边的程序框图，输入正整数 ( 2)NN 和市属 12, ,., Na a a ，输出 ,AB， 则 （ A） A

4、B 为 12, ,., Na a a 的和 （ B） 2AB 为 12, ,., Na a a 的算术平均数 （ C） A 和 B 分别是 12, ,., Na a a 中最大的数和最小的数 （ D） A 和 B 分别是 12, ,., Na a a 中最小的数和最大的数 （ 7）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 （ A） 6 （ B） 9 （ C） 12 （ D） 18 （ 8）等轴双曲线 C 的中心在原点， 焦点 在 x 轴上， C 与抛物线 2 16yx 的准线交于 ,AB两点， | | 4 3AB ，则 C 的实轴长为 （ A） 2

5、（ B） 22 （ C） 4 （ D） 8 （ 9）已知 0 ， 函数 ( ) sin ( )4f x x 在 ( ,2 单调递减， 则 的取值范围是 （ A） 15 , 24 （ B） 13 , 24 （ C） 1(0, 2 （ D） (0,2 (10) 已知函数 1()ln( 1)fx xx ， 则 ()y f x 的图像大致为 （ 11）已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的 球 面上， ABC 是边长为 1的正 三角形，SC 为球 O 的直径，且 2SC ， 则此棱锥的体积为 （ A） 26 （ B） 36 （ C） 23 （ D） 22 （ 12）设点 P 在曲线 12 x

6、ye 上，点 Q 在曲线 ln(2 )yx 上 ，则 |PQ 的 最小值为 （ A） 1 ln2 （ B） 2(1 ln2) （ C） 1 ln2 （ D） 2(1 ln2) 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题 -第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22-24 题为选考题，考生根据要求作答。 二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 （ 13）已知向量 ,ab夹角为 45 ，且 | | 1a ， | 2 | 10ab ， 则 |b (14) 设 ,xy满足约束条件1,3,0,0,xyxyxy 则 2z x y 的取值范围为 （ 15）某个部件由三个 电子 元

7、件按下图方式连接而成，元件 1 或元件 2 正常工作，且元件 3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布2(1000,50 )N ，且各个部件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 元件 3元件 2元件 1 （ 16）数列 na 满足 1 ( 1) 2 1nnna a n ，则的前 60 项和为 三、 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （ 17）（本小题满分 12 分） 已知 ,abc分别为 ABC 三个内角 ,ABC 的对边 ， c o s 3 s i n 0a C a C b c 。 （ ） 求 A ； （

8、） 若 2a ， ABC 的面积为 3 ， 求 ,bc。 （ 18） （本小题满分 12 分） 某花店每天以每枝 5元的价格从农场购进 若干 枝 玫瑰花，然后以每枝 10 元的价格出售 。如果 当天卖不完，剩下的玫瑰花 作 垃圾处理。 （） 若 花店一天购进 16 枝玫瑰花，求当天的利润 y (单位：元 )关于当天需求量 n （单位：枝， nN ）的函数解析式。 （ ） 花店 记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概

9、率。 （ ） 若花店一天购进 16 枝玫瑰花， X 表示当天的利润（单位：元），求 X 的分布列、 数学期望及方差； （ ） 若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花，你认为应购进 16 枝还是 17 枝？ 请说明理由。 （ 19）（本小题满分 12 分） 如图， 直 三棱柱 1 1 1ABC ABC 中，112AC BC AA， D 是棱 1AA 的中点， 1DC BD 。 （） 证明： 1DC BC （ ） 求二面角 11A BD C的大小。 （ 20）（本小题满分 12 分） 设抛物线 2: 2 ( 0)C x py p的焦点 为 F ，准线为 l ， A 为 C 上 一点，已知以

10、 F 为圆心， FA 为半径的圆 F 交 l 于 ,BD两点 。 （） 若 90BFD， ABD 的面积为 42， 求 p 的值及圆 F 的方程； （ ） 若 ,ABF 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求坐标原点 到 m ， n 距离的比值。 DA 1B 1C 1CBA （ 21） （本小题满分 12 分） 已知函数 ()fx满足 121( ) (1 ) (0 ) 2xf x f e f x x （） 求 ()fx的解析式及单调区间； （ ） 若 21() 2f x x ax b ， 求 ( 1)ab 的最大值 请考生在第 22,23,24 题中

11、任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号。 （ 22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图， ,DE分别为 ABC 边 AB ， AC 的中点，直线 DE交 ABC 的外接圆于 ,FG两点。 若 /CF AB ，证明： （） CD BC ； （ ） BCD GBD。 (23)(本小题满分 10 分 )选修 44；坐标系与参数方程 已知曲线 1C 的参数方程是1 2 cos ,3sin ,xC y (为参数 ) ， 以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线 2C 的 极坐标 方程是 2 ， 正方形 ABCD 的顶点都在 2C 上，且 , , ,ABCD 依 逆时针次序排列，点 A 的极坐标为 (2, )3 。 （） 求点 , , ,ABCD 的直角坐标； （ ） 设 P 为 1C 上任意一点，求 2 2 2 2| | | | | | | |P A P B P C P D |的取值范围。 （ 24）（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数 ( ) | | | 2 |f x x a x 。 （） 当 3a 时，求不等式 ( ) 3fx 的解集； （ ） 若 ( ) | 4|f x x的解集包含 1,2 ，求 a 的取值范围。 G FEDAB C