1、 绝密 *启用前 2012 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注息事项 : 1.本试卷分第 卷(选择题)和第 卷 (非选择题 )两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.问答第 卷时。选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动 .用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效 . 3.回答第 卷时。将答案写在答题卡上 .写在本试卷上无效 4.考试结束后 .将本试卷和答且卡一并交回。 第 卷 一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分 ,在每小题给同的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 ( 1) 已知集合
2、 1,2,3,4,5A , ( , ) | , , B x y x A y A x y A ,则 B 中所含元素的个数为 ( A) 3 ( B) 6 (C) 8 ( D) 10 ( 2) 将 2 名教师, 4 名 学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由 1名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有 ( A) 12 种 ( B) 10 种 (C) 9 种 ( D) 8 种 ( 3) 下面是关于复数 21z i 的四个命题 : 1:| | 2pz , 22:2p z i , 3:pz的共轭复数为 1i , 4:pz的虚部为 1 。其 中的真命题为 ( A) 2p
3、, 3p (B) 1p , 2p (C) 2p , 4p (D) 3p , 4p ( 4) 设 12FF、 是椭圆 22: ( 0 )xyE a bab 的左、右焦点, P 为直线 32ax 上一点, 21FPF 是底角为 30 的等腰三角形,则 E 的离心率为 ( A) 12 ( B) 23 ( C) 34 ( D) 45 ( 5)已知 na 为等比数列, 472aa, 56 8aa ,则 1 10aa() ( A) 7 ( B) 5 ( C) 5 ( D) 7 ( 6)如果执行右边的程序框图,输入正整数 ( 2)NN 和市属 12, ,., Na a a ,输出 ,AB, 则 ( A) A
4、B 为 12, ,., Na a a 的和 ( B) 2AB 为 12, ,., Na a a 的算术平均数 ( C) A 和 B 分别是 12, ,., Na a a 中最大的数和最小的数 ( D) A 和 B 分别是 12, ,., Na a a 中最小的数和最大的数 ( 7)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为 ( A) 6 ( B) 9 ( C) 12 ( D) 18 ( 8)等轴双曲线 C 的中心在原点, 焦点 在 x 轴上, C 与抛物线 2 16yx 的准线交于 ,AB两点, | | 4 3AB ,则 C 的实轴长为 ( A) 2
5、( B) 22 ( C) 4 ( D) 8 ( 9)已知 0 , 函数 ( ) sin ( )4f x x 在 ( ,2 单调递减, 则 的取值范围是 ( A) 15 , 24 ( B) 13 , 24 ( C) 1(0, 2 ( D) (0,2 (10) 已知函数 1()ln( 1)fx xx , 则 ()y f x 的图像大致为 ( 11)已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的 球 面上, ABC 是边长为 1的正 三角形,SC 为球 O 的直径,且 2SC , 则此棱锥的体积为 ( A) 26 ( B) 36 ( C) 23 ( D) 22 ( 12)设点 P 在曲线 12 x
6、ye 上,点 Q 在曲线 ln(2 )yx 上 ,则 |PQ 的 最小值为 ( A) 1 ln2 ( B) 2(1 ln2) ( C) 1 ln2 ( D) 2(1 ln2) 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题 -第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22-24 题为选考题,考生根据要求作答。 二填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 ( 13)已知向量 ,ab夹角为 45 ,且 | | 1a , | 2 | 10ab , 则 |b (14) 设 ,xy满足约束条件1,3,0,0,xyxyxy 则 2z x y 的取值范围为 ( 15)某个部件由三个 电子 元
7、件按下图方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作,且元件 3正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布2(1000,50 )N ,且各个部件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 元件 3元件 2元件 1 ( 16)数列 na 满足 1 ( 1) 2 1nnna a n ,则的前 60 项和为 三、 解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ( 17)(本小题满分 12 分) 已知 ,abc分别为 ABC 三个内角 ,ABC 的对边 , c o s 3 s i n 0a C a C b c 。 ( ) 求 A ; (
8、) 若 2a , ABC 的面积为 3 , 求 ,bc。 ( 18) (本小题满分 12 分) 某花店每天以每枝 5元的价格从农场购进 若干 枝 玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售 。如果 当天卖不完,剩下的玫瑰花 作 垃圾处理。 () 若 花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y (单位:元 )关于当天需求量 n (单位:枝, nN )的函数解析式。 ( ) 花店 记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: 日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概
9、率。 ( ) 若花店一天购进 16 枝玫瑰花, X 表示当天的利润(单位:元),求 X 的分布列、 数学期望及方差; ( ) 若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝? 请说明理由。 ( 19)(本小题满分 12 分) 如图, 直 三棱柱 1 1 1ABC ABC 中,112AC BC AA, D 是棱 1AA 的中点, 1DC BD 。 () 证明: 1DC BC ( ) 求二面角 11A BD C的大小。 ( 20)(本小题满分 12 分) 设抛物线 2: 2 ( 0)C x py p的焦点 为 F ,准线为 l , A 为 C 上 一点,已知以
10、 F 为圆心, FA 为半径的圆 F 交 l 于 ,BD两点 。 () 若 90BFD, ABD 的面积为 42, 求 p 的值及圆 F 的方程; ( ) 若 ,ABF 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求坐标原点 到 m , n 距离的比值。 DA 1B 1C 1CBA ( 21) (本小题满分 12 分) 已知函数 ()fx满足 121( ) (1 ) (0 ) 2xf x f e f x x () 求 ()fx的解析式及单调区间; ( ) 若 21() 2f x x ax b , 求 ( 1)ab 的最大值 请考生在第 22,23,24 题中
11、任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清楚题号。 ( 22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ,DE分别为 ABC 边 AB , AC 的中点,直线 DE交 ABC 的外接圆于 ,FG两点。 若 /CF AB ,证明: () CD BC ; ( ) BCD GBD。 (23)(本小题满分 10 分 )选修 44;坐标系与参数方程 已知曲线 1C 的参数方程是1 2 cos ,3sin ,xC y (为参数 ) , 以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线 2C 的 极坐标 方程是 2 , 正方形 ABCD 的顶点都在 2C 上,且 , , ,ABCD 依 逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 (2, )3 。 () 求点 , , ,ABCD 的直角坐标; ( ) 设 P 为 1C 上任意一点,求 2 2 2 2| | | | | | | |P A P B P C P D |的取值范围。 ( 24)(本小题满分 10 分)选修 45:不等式选讲 已知函数 ( ) | | | 2 |f x x a x 。 () 当 3a 时,求不等式 ( ) 3fx 的解集; ( ) 若 ( ) | 4|f x x的解集包含 1,2 ,求 a 的取值范围。 G FEDAB C