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2012-2013学年北京市东城区(南片)高一下学期期末考试数学试卷与答案(带解析).doc

1、2012-2013学年北京市东城区(南片)高一下学期期末考试数学试卷与答案(带解析) 选择题 直线 l经过原点和点 (- , 1),则它的斜率为 A - B C D 答案: B 试题分析:因为,直线 l经过原点和点 (- , 1),所以,直线的斜率为,选 B。 考点:直线的斜率 点评:简单题,利用直线斜率的坐标计算公式。 设 a, b为正实数,下列结论正确的是 若 a -b =1,则 a-b0, 故, , a-b0的解集是 A ( , 1) B (1, +) C (-, 1) (2, +) D (-, ) (1, +) 答案: D 试题分析:不等式 2x -x-10,即 , 所以,其解集为 (

2、-, ) (1, +),选 D。 考点:一元二次不等式的解法 点评:简单题,一元二次不等式的解法应首先考虑 “因式分解法 ”。 填空题 已知 ABC的一个内角为 120,并且三边长构成公差为 4的等差数列,则 ABC的面积为 _ 答案: 试题分析: 120是三角形的最大角。设三角形三边长分别为 ,( a4) 由余弦定理得, , 整理得, , a=10, 所以, ABC的面积为 = 。 考点:等差数列,余弦定理的应用,三角形面积。 点评:中档题,本题综合性较强,综合考查等差数列,余弦定理的应用,三角形面积。思路比较清晰,难度不大。 等比数列 a 中, a +a =5, a +a =4,则 a +

3、a =_ 答案: 试题分析:因为,等比数列 a 中, a +a =5, a +a =4, 所以, ,两式两边分别相除,得, ,所以, a +a = = 。 考点:等比数列的通项公式 点评:简单题,首先确定等比数列的基本元素 。 过点 (-1, 6)与圆 x +y +6x-4y+9=0相切的直线方程是 _ 答案: x-4y+27=0或 x=-1. 试题分析:圆 x +y +6x-4y+9=0,即 。点 (-1, 6)在圆 x +y+6x-4y+9=0外,所以,过点 (-1, 6)与圆 x +y +6x-4y+9=0相切的直线有两条 。 当切线的斜率不存在时, x=-1符合题意; 当切线的斜率存在

4、时,设切线方程为 ,即 。 由圆心( -3, 2)到切线距离等于半径 2,得, ,解得, k= , 所以,切线方程为 3x-4y+27=0。 综上知,答案:为 3x-4y+27=0或 x=-1. 考点:直线与圆的位置关系 点评:中档题,研究直线与圆的位置关系问题,利用 “代数法 ”,须研究方程组解的情况;利用 “几何法 ”,则要研究圆心到直线的距离与半径比较。本题易错,忽视斜率不存在的情况。 已知 a 为等差数列, S 为其前 n项和,若 a = , a +a +a =3,则 S=_ 答案: 试题分析:因为,等差数列中, a = , a +a +a =3, 所以, 3a +3d=3, d= ,

5、 ,即 。 考点:等差数列的通项公式、求和公式 点评:简单题,注意从已知出发,确定数列的公差,进一步求和。 若 x0,则函数 的最小值是 _ 答案: 试题分析:因为, x0,所以,函数 当且仅当时,函数取得最小值 2. 考点:均值定理的应用 点评:简单题,应用均值定理,要注意 “一正,二定,三相等 ”,缺一不可。 过点 (-3, -1),且与直线 x-2y=0平行的直线方程为 _ 答案: x-2y+1=0 试题分析:设所求直线方程为 x-2y+a=0,将 (-3, -1)代入得, a=1, 所以,过点 (-3, -1),且与直线 x-2y=0平行的直线方程为 x-2y+1=0。 考点:直线方程

6、,直线平行的条件。 点评:简单题,两直线平行的条件是,直线的斜率相等(斜率存在)。 解答题 已知向量 a=(1, 2), b=(-2, m), m R ( )若 a b,求 m的值; ( )若 a b,求 m的值 答案: ( ) m=-4. ( )m=1. 试题分析: ( )因为 a b, 所以 1 m-2(-2)=0, m=-4. 5分 ( )因为 a b,所以 a b=0, 所以 1 (-2)+2m=0, m=1. 9分 考点:平面向量的坐标运算,向量平行、垂直的条件。 点评:简单题,两向量垂直,则它们的数量积为 0.两向量平行,则向量的坐标交叉相乘的差为 0. 某公司生产甲、乙两种桶装产

7、品已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B原料 2千克;生产乙产品 1桶需耗 A原料 2千克, B原料 1千克每桶甲产品的利润是 300元,每桶乙产品的利润是 400元公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗 A、 B原料都不超过 12千克求该公司从每天生产的甲、乙两种产品中,可获得的最大利润 答案:该公司从每天生产的甲、乙两种产品中,可获得的最大利润为 2800元 . 试题分析:设公司每天生产甲种产品 x桶,乙种产品 y桶,公司共可获得利润为 z元 /天, 则由已知,得 z=300x+400y 且 画可行域如图所示, 目标函数 z=300x+400y可变形为 解方程组 得, 即

8、A(4, 4). 所以, Z =1200+1600=2800. 所以,该公司从每天生产的甲、乙两种产品中,可获得的最大利润为 2800元 . 9分 考点:简单线性规 划的应用 点评:中档题,作为应用问题,解简单线性规划问题,要遵循 “审清题意,设出变量,布列不等式组,画,移,解,答 ”等步骤。 在 ABC中,角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c且满足 ( )求角 C的大小; ( )求 的最大值,并求取得最大值时角 A的大小 答案: ( ) ( ) 的最大值为 2,此时 A= 试题分析: ( )由正弦定理得 因为 00. 从而 sinC=cosC. 又 cosC0,所以 tanC=1

9、,则 5分 ( )由 ( )知 B= -A. 于是 = = = 因为 0A ,所以 , 所以当 ,即 A= 时, 取最大值 2. 综上所述, 的最大值为 2,此时 A= 9分 考点:正弦定理的应用,和差倍半的三角函数,三角函数的图象和性质。 点评:中档题,三角形中的问题,往往利用两角和与差的三角函数公式进行化简,利用正弦定理、余弦定理建立边角关系。本题综合性较强,综合考查两角和与差的三角函数,正弦定理的应用,三角函数的图象和性质。涉及角的较小范围,易于出错。 已知 O为平面直角坐标系的原点,过点 M(-2, 0)的直线 l与圆 x +y =1交于 P、 Q两点 ,且 ( )求 PDQ的大小;

10、( )求直线 l的方程 答案: ( ) POQ=120 ( ) 或 . 试题分析: ( )因为 P、 Q两点在圆 x +y =1上,所以 , 因为 , 所以 所以 POQ=120 5分 ( )依题意,直线 l的斜率存在, 因为直线 l过点 M(-2, 0),可设直线 l: y=k(x+2) 由 ( )可知 O到直线 l的距离等于 所以 得 所以直线 的方程为 或 9分 考点:直线与圆的位置关系,直线方程,平面向量的数量积。 点评:中档题,中档题,曲线关系问题,往往通过联立方程组,得到一元二次方程,运用韦达定理。恰当的运用圆中的 “特征三角形 ”,转化成点到直线的距离问题,更为简洁。 已知数列

11、的前 n项和为 ,且 =-n +20n, n N ( )求通项 ; ( )设 是首项为 1,公比为 3的等比数列,求数列 的通项公式及其前 n项和 答案:( ) .( ). 试题分析:( )由 ,得 当 时, 当 时, = = = 综上, 4分 ( )由 ,得 8分 考点:等差数列、等比数列的通项公式, “分组求和法 ”。 点评:中档题,涉及数列的通项公式的确定,往往利用已知条件,建立相关元素的方程组。 “分组求和法 ”“裂项相消法 ”“错位相减法 ”是高考常常考查的数列的求和方法。 在平面直角坐标系 xOy中,曲线 y=x -6x+1与坐标轴的交点都在圆 C上 ( )求圆 C的方程; ( )

12、试判断是否存在斜率为 1的直线,使其与圆 C交于 A, B两点,且OA OB,若存在,求出该直线方程,若不存在,请说明理由 答案:( ) .( )该直线存在,其方程为. 试题分析:( )曲线 与 轴的交点为 , 与 轴的交点为 , 故可设 的圆心为 , 则有 , 解得 则圆 的半径为 , 所以圆 的方程为 4分 ( )假设直线存在,依题意,设直线方程为 , 并设 , 由 ,消去 得到方程 由已知可得,判别式 因此, 从而 , 由于 ,可得 又 , 所以 由 , 得 ,满足 所以该直线存在,其方程为 8分 考点:直线与圆的位置关系,直线方程,平面向量的数量积。 点评:中档题,中档题,曲线关系问题,往往通过联立方程组,得到一元二次方程,运用韦达定理。恰当的运用圆中的 “特征三角形 ”,转化成点到直线的距离问题,更为简洁。对存在性问题,常常是先假设存在,应用已知条件,确定其存在性,达到解体目的。本题较难。

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