1、2012-2013学年北京市东城区（南片）高一下学期期末考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 直线 l经过原点和点 (- ， 1)，则它的斜率为 A - B C D 答案： B 试题分析：因为，直线 l经过原点和点 (- ， 1)，所以，直线的斜率为，选 B。 考点：直线的斜率 点评：简单题，利用直线斜率的坐标计算公式。 设 a， b为正实数，下列结论正确的是 若 a -b =1，则 a-b0， 故， ， a-b0的解集是 A ( ， 1) B (1， +) C (-， 1) (2， +) D (-， ) (1， +) 答案： D 试题分析：不等式 2x -x-10，即 ， 所以，其解集为 (
2、-， ) (1， +)，选 D。 考点：一元二次不等式的解法 点评：简单题，一元二次不等式的解法应首先考虑 “因式分解法 ”。 填空题 已知 ABC的一个内角为 120，并且三边长构成公差为 4的等差数列，则 ABC的面积为 _ 答案： 试题分析： 120是三角形的最大角。设三角形三边长分别为 ，（ a4） 由余弦定理得， ， 整理得， ， a=10， 所以， ABC的面积为 = 。 考点：等差数列，余弦定理的应用，三角形面积。 点评：中档题，本题综合性较强，综合考查等差数列，余弦定理的应用，三角形面积。思路比较清晰，难度不大。 等比数列 a 中， a +a =5， a +a =4，则 a +
3、a =_ 答案： 试题分析：因为，等比数列 a 中， a +a =5， a +a =4， 所以， ，两式两边分别相除，得， ，所以， a +a = = 。 考点：等比数列的通项公式 点评：简单题，首先确定等比数列的基本元素 。 过点 (-1， 6)与圆 x +y +6x-4y+9=0相切的直线方程是 _ 答案： x-4y+27=0或 x=-1. 试题分析：圆 x +y +6x-4y+9=0，即 。点 (-1， 6)在圆 x +y+6x-4y+9=0外，所以，过点 (-1， 6)与圆 x +y +6x-4y+9=0相切的直线有两条 。 当切线的斜率不存在时， x=-1符合题意； 当切线的斜率存在
4、时，设切线方程为 ，即 。 由圆心（ -3， 2）到切线距离等于半径 2，得， ，解得， k= ， 所以，切线方程为 3x-4y+27=0。 综上知，答案：为 3x-4y+27=0或 x=-1. 考点：直线与圆的位置关系 点评：中档题，研究直线与圆的位置关系问题，利用 “代数法 ”，须研究方程组解的情况；利用 “几何法 ”，则要研究圆心到直线的距离与半径比较。本题易错，忽视斜率不存在的情况。 已知 a 为等差数列， S 为其前 n项和，若 a = ， a +a +a =3，则 S=_ 答案： 试题分析：因为，等差数列中， a = ， a +a +a =3， 所以， 3a +3d=3， d= ，
5、 ，即 。 考点：等差数列的通项公式、求和公式 点评：简单题，注意从已知出发，确定数列的公差，进一步求和。 若 x0，则函数 的最小值是 _ 答案： 试题分析：因为， x0，所以，函数 当且仅当时，函数取得最小值 2. 考点：均值定理的应用 点评：简单题，应用均值定理，要注意 “一正，二定，三相等 ”，缺一不可。 过点 (-3， -1)，且与直线 x-2y=0平行的直线方程为 _ 答案： x-2y+1=0 试题分析：设所求直线方程为 x-2y+a=0,将 (-3， -1)代入得， a=1， 所以，过点 (-3， -1)，且与直线 x-2y=0平行的直线方程为 x-2y+1=0。 考点：直线方程
6、，直线平行的条件。 点评：简单题，两直线平行的条件是，直线的斜率相等（斜率存在）。 解答题 已知向量 a=(1， 2)， b=(-2， m)， m R ( )若 a b，求 m的值； ( )若 a b，求 m的值 答案： ( ) m=-4. ( )m=1. 试题分析： ( )因为 a b， 所以 1 m-2(-2)=0， m=-4. 5分 ( )因为 a b，所以 a b=0， 所以 1 (-2)+2m=0， m=1. 9分 考点：平面向量的坐标运算，向量平行、垂直的条件。 点评：简单题，两向量垂直，则它们的数量积为 0.两向量平行，则向量的坐标交叉相乘的差为 0. 某公司生产甲、乙两种桶装产
7、品已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B原料 2千克；生产乙产品 1桶需耗 A原料 2千克， B原料 1千克每桶甲产品的利润是 300元，每桶乙产品的利润是 400元公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 A、 B原料都不超过 12千克求该公司从每天生产的甲、乙两种产品中，可获得的最大利润 答案：该公司从每天生产的甲、乙两种产品中，可获得的最大利润为 2800元 . 试题分析：设公司每天生产甲种产品 x桶，乙种产品 y桶，公司共可获得利润为 z元 /天， 则由已知，得 z=300x+400y 且 画可行域如图所示， 目标函数 z=300x+400y可变形为 解方程组 得， 即
8、A(4， 4). 所以， Z =1200+1600=2800. 所以，该公司从每天生产的甲、乙两种产品中，可获得的最大利润为 2800元 . 9分 考点：简单线性规 划的应用 点评：中档题，作为应用问题，解简单线性规划问题，要遵循 “审清题意，设出变量，布列不等式组，画，移，解，答 ”等步骤。 在 ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c且满足 ( )求角 C的大小； ( )求 的最大值，并求取得最大值时角 A的大小 答案： ( ) ( ) 的最大值为 2，此时 A= 试题分析： ( )由正弦定理得 因为 00. 从而 sinC=cosC. 又 cosC0，所以 tanC=1
9、，则 5分 ( )由 ( )知 B= -A. 于是 = = = 因为 0A ，所以 ， 所以当 ，即 A= 时， 取最大值 2. 综上所述， 的最大值为 2，此时 A= 9分 考点：正弦定理的应用，和差倍半的三角函数，三角函数的图象和性质。 点评：中档题，三角形中的问题，往往利用两角和与差的三角函数公式进行化简，利用正弦定理、余弦定理建立边角关系。本题综合性较强，综合考查两角和与差的三角函数，正弦定理的应用，三角函数的图象和性质。涉及角的较小范围，易于出错。 已知 O为平面直角坐标系的原点，过点 M(-2， 0)的直线 l与圆 x +y =1交于 P、 Q两点 ，且 ( )求 PDQ的大小；
10、( )求直线 l的方程 答案： ( ) POQ=120 ( ) 或 . 试题分析： ( )因为 P、 Q两点在圆 x +y =1上，所以 ， 因为 ， 所以 所以 POQ=120 5分 ( )依题意，直线 l的斜率存在， 因为直线 l过点 M(-2， 0)，可设直线 l： y=k(x+2) 由 ( )可知 O到直线 l的距离等于 所以 得 所以直线 的方程为 或 9分 考点：直线与圆的位置关系，直线方程，平面向量的数量积。 点评：中档题，中档题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。恰当的运用圆中的 “特征三角形 ”，转化成点到直线的距离问题，更为简洁。 已知数列
11、的前 n项和为 ，且 =-n +20n， n N ( )求通项 ； ( )设 是首项为 1，公比为 3的等比数列，求数列 的通项公式及其前 n项和 答案：（ ） .（ ）. 试题分析：（ ）由 ，得 当 时， 当 时， = = = 综上， 4分 （ ）由 ，得 8分 考点：等差数列、等比数列的通项公式， “分组求和法 ”。 点评：中档题，涉及数列的通项公式的确定，往往利用已知条件，建立相关元素的方程组。 “分组求和法 ”“裂项相消法 ”“错位相减法 ”是高考常常考查的数列的求和方法。 在平面直角坐标系 xOy中，曲线 y=x -6x+1与坐标轴的交点都在圆 C上 ( )求圆 C的方程； ( )
12、试判断是否存在斜率为 1的直线，使其与圆 C交于 A， B两点，且OA OB，若存在，求出该直线方程，若不存在，请说明理由 答案：（ ） .（ ）该直线存在，其方程为. 试题分析：（ ）曲线 与 轴的交点为 ， 与 轴的交点为 ， 故可设 的圆心为 ， 则有 ， 解得 则圆 的半径为 ， 所以圆 的方程为 4分 （ ）假设直线存在，依题意，设直线方程为 ， 并设 ， 由 ，消去 得到方程 由已知可得，判别式 因此， 从而 ， 由于 ，可得 又 ， 所以 由 ， 得 ，满足 所以该直线存在，其方程为 8分 考点：直线与圆的位置关系，直线方程，平面向量的数量积。 点评：中档题，中档题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。恰当的运用圆中的 “特征三角形 ”，转化成点到直线的距离问题，更为简洁。对存在性问题，常常是先假设存在，应用已知条件，确定其存在性，达到解体目的。本题较难。
