1、2012-2013学年辽宁朝阳柳城高级中学高二上期末考试理科数学试卷与答案(带解析) 选择题 若集合 3, , 0, ,则( ) A “ ”是 “ ”的充分条件但不是必要条件 B “ ”是 “ ”的必要条件但不是充分条件 C “ ”是 “ ”的充要条件 D “ ”既不是 “ ”的充分条件,也不是 “ ”的必要条件 答案: B 试题分析: ,所以 B项正确 考点:充分条件与必要条件 点评:若 ,则 是 的充分条件, 是 的必要条件 给出下列命题: 已知 ,则 ; 为空间四点,若不构成空间的一个基底,那么 共面; 已知 ,则与任何向量都不构成空间的一个基底; 若 共线,则 所在直线或者平行或者重合
2、 正确的结论的个数为( ) A 1 B 2 C 3 D 4 答案: C 试题分析: , 化简可得 正确; 不构成空间的一个基底,所以三向量共面,又有一公共点,所以四点共面 正确; 显然正确 考点:向量共线共面问题 点评:三向量不共面,则三向量才可以作为一组基底 若 、 分别是 的等差中项和等比中项,则 的值为( ) A B C D 答案: C 试题分析:由题意可得 , ,由关系式得 ,考点:等差中项等比中项及三角公式 点评:本题涉及到的公式较多,要求学生熟记掌握 过 的焦点 作直线交抛物线与 两点,若 与 的长分别是 ,则 ( ) A B C D 答案: C 试题分析:由 得 ,取直线平行于
3、x轴,则考点:直线与抛物线位置关系 点评:取直线的特殊位置使计算得到简化 已知 an是等差数列, a1=-9,S3=S7,那么使其前 n项和 Sn最小的 n是( ) A 4 B 5 C 6 D 7 答案: B 试题分析: ,令 ,所以前 5项和最小 考点:等差数列求和求通项 点评:本题还可求出前 n项和 ,再求其取得最值的条件 在平面直角坐标系中,若不等式组 ( 为常数)所表示的平面区域内的面积等于 2,则 的值为( ) A -5 B 1 C 2 D 3 答案: D 试题分析:作图可知可行域为三角形,三个顶点为 ,由面积为 2得 考点:线性规划问题 点评:线性规划问题常考的题型还有求目标函数最
4、值 已知 F1、 F2是椭圆 + =1的两焦点,经点 F2的直线交椭圆于点 A、 B,若 |AB|=5,则 |AF1|+|BF1|等于( ) A 11 B 10 C 9 D 16 答案: A 试题分析:依据椭圆定义可知 考点:椭圆定义 点评:椭圆定义在解题中应用非常广泛:椭圆上的点到焦点的距离之和为 在正方体 中, 为 的交点,则 与 所成角的( ) A B C D 答案: D 试题分析:连接 ,取中点 E,连接 OE, ,设正方体边长为 1,在三角形 中 , , ,由余弦定理得 ,所求角为 考点:异面直线所成角 点评:求异面直线所成角首先平移为相交直线 设 ,且 ,则 等于( ) A B 9
5、 C D 答案: B 试题分析: 考点:向量平行的坐标关系 点评: 若 ,则 如图,在平行六面体 ABCDA 1B1C1D1中, M为 AC 与 BD的交点 .若=a, =b, =c,则下列向量中与 相等的向量是 A - a+ b+c B a+ b+c C a- b+c D - a- b+c 答案: A 试题分析: 考点:向量加减法的平行四边形法则三角形法则 点评:该类题目首先把所求向量用已知向量采用首尾相接的方法表示 如果实数 x,y满足等式 (x-2)2+y2=3,那么 的最大值是( ) A B C D 答案: D 试题分析: ,可看作过两点 的直线斜率,结合图形可知当直线与圆相切时,斜率
6、取得最值,经计算可知斜率为 ,所以 的最大值是考点:直线与圆的位置关系 点评:数形结合法解题可以容易的找到取最值的位置 命题 “ ”的否定是( ) A B 0 C 0 D 答案: B 试题分析:全称命题的否定后为特称命题,并将后半部分否定 考点:全称命题的否定 点评:全称命题 的否定 填空题 已知双曲线的离心率为 2, F1、 F2是左右焦点, P为双曲线上一点,且, 该双曲线的标准方程为 答案: 试题分析:由双曲线焦点三角形面积公式 得又 ,方程为 考点:双曲线性质 点评:双曲线焦点三角形面积公式 ,期中 P在双曲线上 通过直线 及圆 的交点,并且有最小面积的圆 的方程为 答案: 试题分析:
7、设直线与圆交于 A,B两点,则过 A,B两点的圆中以线段 AB为直径的圆面积最小,圆 中,圆心 ,半径 , AB中点为 所求圆为 考点:直线与圆的位置关系 点评:本题先找到面积最小的圆的位置,再求其圆心半径 若 ,则 的最小值是 答案: 试题分析: 当且仅当时等号成立,取得最小值 考点:均值不等式求最值 点评:利用均值不等式求最值注意等号成立条件 命题 P:关于 x的不等式 (a-2)x2 2(a-2)x-4 0对 x R恒成立 ;命题 Q:f(x)=-(1-3a-a2)x是减函数 .若命题 PVQ 为真命题 ,则实数 a的取值范围是 _. 答案: -3 a2 试题分析:命题 P为真命题时:
8、或 ;命题 Q 为真命题时: ,若命题 PVQ 为真命题,则 P,Q 至少一个为真 考点:复合命题真假及函数单调性最值 点评:命题 PVQ 为真命题只需求 P,Q 为真命题的条件的并集 解答题 若 是定义在 上的增函数,且对一切 满足 . ( 1)求 的值 ; ( 2)若 解不等式 . 答案:( 1) 0( 2) 试题分析:( 1) ( 2) 即 上的增函数 考点:抽象函数求值及解不等式 点评:求解抽象函数构成的不等式要利用单调性转化为一般不等式 已知直四棱柱 ABCDABCD 的底面是菱形, , E、 F分别是棱 CC与 BB上的点,且 EC=BC=2FB=2. ( 1)求证:平面 AEF
9、平面 AACC; ( 2)求截面 AEF与底面 ABCD所成二面角的大小 . 答案:( 1)以 O 为原点, 分别为 x, y, z轴建立直角坐标系 , M( 0, 0, 1) F( , 0, 1) =( , 0, 0) , MF 平面 ,所以平面 AEF 平面 ( 2) 试题分析:( 1)以 O 为原点, 分别为 x, y, z 轴建立直角坐标系, 由条件知: EC=BC=2, FB=1, OA=1, OB= , 从而坐标 E( 0, 1, 2), F( , 0, 1) . ( 1)连结 AE与 交于 M,连结 MF, 可得 , M( 0, 0, 1), =( , 0, 0) . 则 MF
10、平面 yOz,即 MF 平面 , 所以平面 AEF 平面 . ( 2)取 EC 中点 G,得平面 MFG 底面 ABCD, 所以只要求面 AEF与面 MFG所成的二面角即可 . , 即 ,可见 是面 AEF与面 MFG所成二面角的平面角 . 在 Rt MGE中, EG=1, MG=1, ME= ,显然 ,所求二面角为. 考点:面面垂直的判定与二面角求解 点评:本题利用向量求解较简单,坐标原点在底面对角线交点处 (本小题满分 12分)如图,正三棱柱 ABCA 1B1C1中, D是 BC 的中点,AA1=AB=1. ( I)求证: A1C/平面 AB1D; ( II)求二面角 BAB 1D 的大小
11、; ( III)求点 C到平面 AB1D的距离 . 答案:( I)空间直角坐标系 Dxyz,( II) ( III) 试题分析 :建立空间直角坐标系 Dxyz ,如图, ( 1)证明: 连接 A1B,设 A1BAB1 = E,连接 DE. 设 A1A = AB = 1, 则 3 分 , 4 分 ( 2)解: , , 设 是平面 AB1D的法向量,则 , 故 ; 同理,可求得平面 AB1B的法向量是 6 分 设二面角 BAB 1D 的大小为 , , 二面角 BAB 1D 的大小为 8 分 ( 3)解由( II)得平面 AB1D的法向量为 , 取其单位法向量 点 C到平面 AB1D的距离 考点:线
12、面平行的判定及二面角,点面距 点评:本题第二问还可作出平面角求解,第三问利用等体积法亦可求解 已知双曲线 的离心率 ,过 的直线到原点的距离是 ( 1)求双曲线的方程; ( 2)已知直线 交双曲线于不同的点 C, D且 C, D都在以 B为圆心的圆上,求 k的值 . 答案:( 1) ( 2) 试题分析:( 1) 原点到直线 AB: 的距离. 故所求双曲线方程为 ( 2)把 中消去 y,整理得 . 设 的中点是 ,则 即,故所求 k=考点:双曲线方程及直线与双曲线位置关系 点评:直线与双曲线的位置关系常联立方程利用韦达定理 已知:数列 a-n的前 n项和为 Sn,满足 Sn=2an-2n(n N
13、*) ( 1)求数列 a-n的通项公式 a-n; ( 2)若数列 bn满足 bn=log2(an+2),而 Tn为数列 的前 n项和,求 Tn. 答案:( 1) ( 2) 试题分析:( 1)当 n N*时, Sn=2an-2n, 则当 n2, n N*时, Sn-1=2an-1-2(n-1). - ,得 an=2an-2an-1-2,即 an=2an-1+2, an+2=2(an-1+2) 当 n=1 时, S1=2a1-2,则 a1=2,当 n=2时, a2=6, a-n+2是以 a1+2为首项,以 2为公比的等比数列 . an+2=4 2n-1, an=2n+1-2, 6 分 ( 2)由 则 , - ,得 12 分 考点:数列求通项,求前 n项和 点评:由 求通项 及错位相减求和是数列问题常考知识点 设 分别是椭圆的 左,右焦点。 ( 1)若 是第一象限内该椭圆上的一点,且 = 求点 的坐标。 ( 2)设过定点 的直线与椭圆交于不同的两点 ,且 为锐角(其中 O 为坐标原点),求直线 的斜率 的取值范围。 答案:( 1) ( 2) 试题分析:( )易知 。 , 3 分 联立 ,解得 , 5 分 ( )显然 6 分 可设 联立 7 分 由 得 8 分 又 , 9 分 又 11 分 综 可知 12 分 考点:向量的坐标运算及直线与椭圆位置关系 点评:将 为锐角转化为
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