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2012年人教A版高中数学选修2-1 3.1空间向量及其运算练习卷与答案(带解析).doc

1、2012年人教 A版高中数学选修 2-1 3.1空间向量及其运算练习卷与答案(带解析) 选择题 在平行六面体 ABCDA 1B1C1D1中, M为 AC与 BD的交点,若 = ,= , = .则下列向量中与 相等的向量是( ) A B C D 答案: A 试题分析: = + ( - ) =- + 考点:本题主要考查向量相等、向量的线性运算 .考查学生的空间想象能力 . 点评:用向量的方法处理立体几何问题,使复杂的线面空间关系代数化。 已知 ,则 的最小值为 ( ) A B C D 答案: C 试题分析:由已知 , = =,所以 的最小值为 ,故选 C。 考点: 本题主要考查向量的坐标运算、模的

2、概念及计算。 点评:将 用坐标表示,将问题转化成二次函数最值问题。 已知 A( 1, 1, 1)、 B( 2, 2, 2)、 C( 3, 2, 4),则 ABC的面积为 ( ) A B C D 答案: D 试题分析:应用向量的运算,显然 ,从而得 = ,故选 D。 考点:本题考查两个向量的坐标运算、数量积以及两个向量的夹角公式的应用。 点评:本题解答思路明确,要求考生细心计算。 空间四边形 OABC 中, OB=OC, DAOB=DAOC=600,则 cos = ( ) A B C - D 0 答案: D 试题分析:选定基向量 ,再来处理 的值 因为 OB=OC, = =0,故选 D。 考点:

3、本题考查两个向量的数量积的定义,两个向量的夹角公式的应用。 点评:利用 OB=OC,以及两个向量的数量积的定义化简计算 cos 的值。 设 A、 B、 C、 D是空间不共面的四点,且满足,则 DBCD是 ( ) A钝角三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D不确定 答案: B 试题分析:因为 ,所以过点 A的棱两两垂直,通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形,故选 B。 考点:本题主要考查向量的线性运算及向量的数量积,考查了余弦定理的应用 . 点评:将向量与三角形综合在一起进行考查,既考查了向量的数量积又考查了余弦定理,是一道不错的题目。 已知空间四边形 ABCD中, ,点 M在 OA上,

4、且OM=2MA, N为 BC中点,则 = ( ) A B C D 答案: B 试题分析:显然 ,故选 B 考点:本题主要考查向量的线性运算,考生的空间想象能力 . 点评:熟记向量的线性运算。 已知 A( -1, -2, 6) , B( 1, 2, -6) O为坐标原点,则向量 的夹角是( ) A 0 BC D答案: C 试题分析: 应用向量的夹角公式 =-1所以量 的夹角是,故选 C。 考点:本题主要考查向量的数量积及向量的坐标运算 . 点评:较好地考查考生综合应用知识解题的能力以及运算能力,属于基本题型。 与向量 平行的一个向量的坐标是 ( ) A( , 1, 1) B( -1, -3, 2

5、) C( - , , -1) D( , -3, -2 ) 答案: C; 试题分析:向量的共线(平行)问题,可利用空间向量共线定理写成数乘的形式即 也可直接运用坐标运算。经计算选 C。 考点:本题主要考查向量的共线及向量的坐标运算 . 点评:有不同解法,较好地考查考生综合应用知识解题的能力。 已知平行六面体 中, AB=4, AD=3, , ,则 等于 ( ) A 85 B C D 50 答案: B; 试题分析:只需将 ,运用向量的内即运算即可,经计算选 B 考点:本题主要考查向量相等、向量的线性运算、向量的数量积 .考查学生的空间想象能力 . 点评:认识到 是解题的关键,利用此常常能将向量问题

6、 “实数化 ”。 在下列条件中,使 M与 A、 B、 C一定共面的是 ( ) A B C D 答案: A; 试题分析:空间的四点 P、 A、 B、 C共面只需满足 且既可只有选项 A 考点:主要考查向量的线性运算,共面向量基本定理。 点评:属基本题型,要求熟记共面向量基本定理。 填空题 已知向量 , ,若 成 1200的角,则 k= 答案: 试题分析:由已知 ,解得 ,而 成 1200的角,所以 k= 。 考点:本题考查两个向量的坐标运算、数量积以及两个向量的夹角公式的应 用。 点评:思路明确,需细心计算。 已知点 A(1, -2, 11)、 B(4, 2, 3), C(6, -1, 4),则

7、 DABC的形状是 答案:直角三角形; 试题分析:利用两点间距离公式计算 满足 故 DABC的形状是直角三角形。 考点:本题主要考查向量的坐标运算、模的概念及其运算。 点评:思路明确,计算简单,属基础题型。 已知空间四边形 OABC,其对角线为 OB、 AC, M、 N分别是对边 OA、BC的中点,点 G在线段 MN上,且 ,现用基组 表示向量 ,有 =x ,则 x、 y、 z的值分别为 答案: 试题分析: 考点:本题主要考查向量的线性运算。 点评:本题主要考查向量的线性运算,同时考查了考生的空间想象能力。 若 , ,则 为邻边的平行四边形的面积为 答案: ; 试题分析:计算 , ,得 ,所以

8、 为邻边的平行四边形的面积为 考点:本题主要考查向量的坐标运算、模的概念、及平行四边形面积计算。 点评:本题是一道综合性较强的题目,较好的考查了考生对基础知识的掌握情况及其运算能力。 解答题 ( 12分)如图,已知正方体 的棱长为 a, M为 的中点,点 N在 上,且 ,试求 MN的长 答案: 试题分析:解:以 D 为原点,建立如图空间直角坐标系因为正方体棱长为 a,所以 B( a, a, 0), A( a, 0, a), ( 0, a, a), ( 0, 0, a) 由于 M为 的中点,取 中点 O,所以 M( , , ), O( , a)因为 ,所以 N为 的四等分,从而 N为的中点,故

9、N( , , a) 根据空间两点距离公式,可得 考点:本题主要考查向量的坐标运算、模的概念及其运算。 点评:通过建立如图空间直角坐标系,将距离的计算问题转化成向量模的计算。基本思路是 “建系 -坐标运算 -模 ”。 ( 12分)如图在空间直 角坐标系中 BC=2,原点 O是 BC的中点,点 A的坐标是( , 0),点 D在平面 yOz上,且 BDC=90, DCB=30. ( 1)求向量 的坐标; ( 2)设向量 和 的夹角为 ,求 cos的值 答案:( 10, - ;( 2) 。 试题分析:( 1)过 D作 DE BC,垂足为 E,在 Rt BDC中 ,由 BDC=90, DCB=30, B

10、C=2,得 BD=1, CD= , DE=CD sin30= . OE=OB-BE=OB-BD cos60=1- . D点坐标为( 0, - ),即向量 的坐标为 0, - . ( 2)依题意: , 所以 . 设向量 和 的夹角为 ,则 cos= . 考点:本题主要考查向量的坐标运算、数量积及其夹角公式的应用。 点评:在空间直角坐标系中,将距离、夹角的计算问题转化成坐标运算。基本思路是 “建系 -坐标运算 -模、夹角 ”。 ( 12分)若四面体对应棱的中点间的距离都相等,证明这个四面体的对棱两两垂直 答案:见。 试题分析:证:如图设 ,则 分别为 , , , , , ,由条件 EH=GH=MN

11、得: 展开得 , , , ( )即 SA BC 同理可证 SB AC, SC AB 考点:本题主要考查向量的线性运算、数量积、空间想象能力及理解思维能力。 点评:这是一道利用向量知识证明几何问题的典例。 ( 12分)四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD是一个平行四边形, =2,-1, -4, =4, 2, 0, =-1, 2, -1. ( 1)求证: PA 底面 ABCD; ( 2)求四棱锥 PABCD 的体积; ( 3)对于向量 =x1, y1, z1, =x2, y2, z2, =x3, y3, z3,定义一种运算: ( ) =x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2

12、y1z3-x3y2z1,试计算( ) 的绝对值的值;说明其与四棱锥 PABCD 体积的关系,并由此猜想向量这一运算( ) 的绝对值的几何意义 . 答案:( 1)见;( 2) 16;( 3) |( ) |在几何上可表示以AB、 AD、 AP为棱的平行六面体的体积(或以 AB、 AD、 AP为棱的直四棱柱的体积) . 试题分析:( 1)证明: =-2-2+4=0, AP AB. 又 =-4+4+0=0, AP AD. AB、 AD是底面 ABCD上的两条相交直线, AP 底面 ABCD. ( 2)解:设 与 的夹角为 ,则 cos= V= | | | | sin | |= ( 3)解: |( )

13、|=|-4-32-4-8|=48它是四棱锥 PABCD 体积的 3倍 . 猜测: |( ) |在几何上可表示以 AB、 AD、 AP为棱的平行六面体的体积(或以 AB、 AD、 AP为棱的直四棱柱的体积) . 考点:本题主要考查向量的坐标运算、数量积、模的概念及其计算,考查了考生的空间想象能力、逻辑推理能力。 点评:这是一道利用向量知识证明几何问题的典例,本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等 .主要考查考生的运算能力,综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力 .其中( 3)的新定义问题,能较好

14、的考查学生的学习能力以及分析问题解决问题的能力。 ( 14分)如图所示,直三棱柱 ABCA 1B1C1中, CA=CB=1, BCA=90,棱 AA1=2, M、 N分别是 A1B1、 A1A的中点 . ( 1)求 的长; ( 2)求 cos的 值; ( 3)求证: A1B C1M. 答案:( 1) ;( 2) ;( 3)见。 试题分析:如图,建立空间直角坐标系 Oxyz. ( 1)依题意得 B( 0, 1, 0)、 N( 1, 0, 1) | |= . ( 2)依题意得 A1( 1, 0, 2)、 B( 0, 1, 0)、 C( 0, 0, 0)、 B1( 0, 1, 2) =-1, -1,

15、 2, =0, 1, 2, , =3, | |= , | |= cos= . ( 3)证明:依题意,得 C1( 0, 0, 2)、 M( , 2), =-1, 1, 2,= , 0. =- +0=0, , A1B C1M. 考点:本题主要考查向量的坐标运算、数量积、模的概念及计算、夹角公式的应用,考查了考生的空间想象能力、逻辑推理能力。 点评:本题通过距离空间直角坐标系,将几何问题转化成空间向量,运用空间向量的基本知识,是 “用数学 ”的好题 . ( 14分)如图,已知平行六面体 ABCDA 1B1C1D1的底面 ABCD是菱形且 C1CB= C1CD= BCD=60. ( 1)证明: C1C

16、 BD; ( 2)假定 CD=2, CC1= ,记面 C1BD为 ,面 CBD为 ,求二面角BD 的平面角的余弦值; ( 3)当 的值为多少时,能使 A1C 平面 C1BD?请给出证明 . 答案:( 1)见;( 2) cosC1OC= ;( 3) x=1. 试题分析: ( 1)证明:设 = , = , = ,则 | |=| |, = -, =( - ) = - =| | | |cos60-| | | |cos60=0, C1C BD. ( 2)解:连 AC、 BD,设 ACBD=O,连 OC1,则 C1OC为二面角BD 的平面角 . ( + ), ( + ) - ( + ) ( + ) - = ( 2+2 + 2) - - = ( 4+2 2 2cos60+4) - 2 cos60- 2 cos60= . 则 | |= , | |= , cosC1OC= ( 3)解:设 =x, CD=2, 则 CC1= 相关试题 2012年人教 A版高中数学选修 2-1 3.1空间向量及其运算练习卷(带)

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