1、2012年人教 A版高中数学选修 2-1 3.1空间向量及其运算练习卷与答案（带解析） 选择题 在平行六面体 ABCDA 1B1C1D1中， M为 AC与 BD的交点，若 = ，= ， = .则下列向量中与 相等的向量是（ ） A B C D 答案： A 试题分析： = + （ - ） =- + 考点：本题主要考查向量相等、向量的线性运算 .考查学生的空间想象能力 . 点评：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化。 已知 ，则 的最小值为 （ ） A B C D 答案： C 试题分析：由已知 ， = =，所以 的最小值为 ，故选 C。 考点： 本题主要考查向量的坐标运算、模的
2、概念及计算。 点评：将 用坐标表示，将问题转化成二次函数最值问题。 已知 A（ 1， 1， 1）、 B（ 2， 2， 2）、 C（ 3， 2， 4），则 ABC的面积为 （ ） A B C D 答案： D 试题分析：应用向量的运算，显然 ，从而得 = ，故选 D。 考点：本题考查两个向量的坐标运算、数量积以及两个向量的夹角公式的应用。 点评：本题解答思路明确，要求考生细心计算。 空间四边形 OABC 中， OB=OC， DAOB=DAOC=600，则 cos = （ ） A B C - D 0 答案： D 试题分析：选定基向量 ，再来处理 的值 因为 OB=OC， = =0，故选 D。 考点：
3、本题考查两个向量的数量积的定义，两个向量的夹角公式的应用。 点评：利用 OB=OC，以及两个向量的数量积的定义化简计算 cos 的值。 设 A、 B、 C、 D是空间不共面的四点，且满足，则 DBCD是 （ ） A钝角三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D不确定 答案： B 试题分析：因为 ，所以过点 A的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形，故选 B。 考点：本题主要考查向量的线性运算及向量的数量积，考查了余弦定理的应用 . 点评：将向量与三角形综合在一起进行考查，既考查了向量的数量积又考查了余弦定理，是一道不错的题目。 已知空间四边形 ABCD中， ，点 M在 OA上，
4、且OM=2MA， N为 BC中点，则 = （ ） A B C D 答案： B 试题分析：显然 ，故选 B 考点：本题主要考查向量的线性运算，考生的空间想象能力 . 点评：熟记向量的线性运算。 已知 A（ -1， -2， 6） ， B（ 1， 2， -6） O为坐标原点，则向量 的夹角是（ ） A 0 BC D答案： C 试题分析： 应用向量的夹角公式 =-1所以量 的夹角是，故选 C。 考点：本题主要考查向量的数量积及向量的坐标运算 . 点评：较好地考查考生综合应用知识解题的能力以及运算能力，属于基本题型。 与向量 平行的一个向量的坐标是 （ ） A（ ， 1， 1） B（ -1， -3， 2
5、） C（ - ， ， -1） D（ ， -3， -2 ） 答案： C； 试题分析：向量的共线（平行）问题，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式即 也可直接运用坐标运算。经计算选 C。 考点：本题主要考查向量的共线及向量的坐标运算 . 点评：有不同解法，较好地考查考生综合应用知识解题的能力。 已知平行六面体 中， AB=4， AD=3， ， ，则 等于 （ ） A 85 B C D 50 答案： B； 试题分析：只需将 ，运用向量的内即运算即可，经计算选 B 考点：本题主要考查向量相等、向量的线性运算、向量的数量积 .考查学生的空间想象能力 . 点评：认识到 是解题的关键，利用此常常能将向量问题
6、 “实数化 ”。 在下列条件中，使 M与 A、 B、 C一定共面的是 （ ） A B C D 答案： A； 试题分析：空间的四点 P、 A、 B、 C共面只需满足 且既可只有选项 A 考点：主要考查向量的线性运算，共面向量基本定理。 点评：属基本题型，要求熟记共面向量基本定理。 填空题 已知向量 ， ，若 成 1200的角，则 k= 答案： 试题分析：由已知 ，解得 ，而 成 1200的角，所以 k= 。 考点：本题考查两个向量的坐标运算、数量积以及两个向量的夹角公式的应 用。 点评：思路明确，需细心计算。 已知点 A(1， -2， 11)、 B(4， 2， 3)， C(6， -1， 4)，则
7、 DABC的形状是 答案：直角三角形； 试题分析：利用两点间距离公式计算 满足 故 DABC的形状是直角三角形。 考点：本题主要考查向量的坐标运算、模的概念及其运算。 点评：思路明确，计算简单，属基础题型。 已知空间四边形 OABC，其对角线为 OB、 AC， M、 N分别是对边 OA、BC的中点，点 G在线段 MN上，且 ，现用基组 表示向量 ，有 =x ，则 x、 y、 z的值分别为 答案： 试题分析： 考点：本题主要考查向量的线性运算。 点评：本题主要考查向量的线性运算，同时考查了考生的空间想象能力。 若 ， ，则 为邻边的平行四边形的面积为 答案： ； 试题分析：计算 ， ，得 ，所以
8、 为邻边的平行四边形的面积为 考点：本题主要考查向量的坐标运算、模的概念、及平行四边形面积计算。 点评：本题是一道综合性较强的题目，较好的考查了考生对基础知识的掌握情况及其运算能力。 解答题 （ 12分）如图，已知正方体 的棱长为 a， M为 的中点，点 N在 上，且 ，试求 MN的长 答案： 试题分析：解：以 D 为原点，建立如图空间直角坐标系因为正方体棱长为 a，所以 B（ a， a， 0）， A（ a， 0， a）， （ 0， a， a）， （ 0， 0， a） 由于 M为 的中点，取 中点 O，所以 M（ ， ， ）， O（ ， a）因为 ，所以 N为 的四等分，从而 N为的中点，故
9、N（ ， ， a） 根据空间两点距离公式，可得 考点：本题主要考查向量的坐标运算、模的概念及其运算。 点评：通过建立如图空间直角坐标系，将距离的计算问题转化成向量模的计算。基本思路是 “建系 -坐标运算 -模 ”。 （ 12分）如图在空间直 角坐标系中 BC=2，原点 O是 BC的中点，点 A的坐标是（ ， 0），点 D在平面 yOz上，且 BDC=90， DCB=30. （ 1）求向量 的坐标； （ 2）设向量 和 的夹角为 ，求 cos的值 答案：（ 10， - ；（ 2） 。 试题分析：（ 1）过 D作 DE BC，垂足为 E，在 Rt BDC中 ,由 BDC=90, DCB=30， B
10、C=2，得 BD=1， CD= ， DE=CD sin30= . OE=OB-BE=OB-BD cos60=1- . D点坐标为（ 0， - ），即向量 的坐标为 0， - . （ 2）依题意： ， 所以 . 设向量 和 的夹角为 ，则 cos= . 考点：本题主要考查向量的坐标运算、数量积及其夹角公式的应用。 点评：在空间直角坐标系中，将距离、夹角的计算问题转化成坐标运算。基本思路是 “建系 -坐标运算 -模、夹角 ”。 （ 12分）若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直 答案：见。 试题分析：证：如图设 ，则 分别为 ， ， ， ， ， ，由条件 EH=GH=MN
11、得： 展开得 ， ， ， （ ）即 SA BC 同理可证 SB AC， SC AB 考点：本题主要考查向量的线性运算、数量积、空间想象能力及理解思维能力。 点评：这是一道利用向量知识证明几何问题的典例。 （ 12分）四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD是一个平行四边形， =2，-1， -4， =4， 2， 0， =-1， 2， -1. （ 1）求证： PA 底面 ABCD； （ 2）求四棱锥 PABCD 的体积； （ 3）对于向量 =x1， y1， z1， =x2， y2， z2， =x3， y3， z3，定义一种运算： （ ） =x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2
12、y1z3-x3y2z1，试计算（ ） 的绝对值的值；说明其与四棱锥 PABCD 体积的关系，并由此猜想向量这一运算（ ） 的绝对值的几何意义 . 答案：（ 1）见；（ 2） 16；（ 3） |（ ） |在几何上可表示以AB、 AD、 AP为棱的平行六面体的体积（或以 AB、 AD、 AP为棱的直四棱柱的体积） . 试题分析：（ 1）证明： =-2-2+4=0， AP AB. 又 =-4+4+0=0， AP AD. AB、 AD是底面 ABCD上的两条相交直线， AP 底面 ABCD. （ 2）解：设 与 的夹角为 ，则 cos= V= | | | | sin | |= （ 3）解： |（ ）
13、|=|-4-32-4-8|=48它是四棱锥 PABCD 体积的 3倍 . 猜测： |（ ） |在几何上可表示以 AB、 AD、 AP为棱的平行六面体的体积（或以 AB、 AD、 AP为棱的直四棱柱的体积） . 考点：本题主要考查向量的坐标运算、数量积、模的概念及其计算，考查了考生的空间想象能力、逻辑推理能力。 点评：这是一道利用向量知识证明几何问题的典例，本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等 .主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力 .其中（ 3）的新定义问题，能较好
14、的考查学生的学习能力以及分析问题解决问题的能力。 （ 14分）如图所示，直三棱柱 ABCA 1B1C1中， CA=CB=1， BCA=90，棱 AA1=2， M、 N分别是 A1B1、 A1A的中点 . （ 1）求 的长； （ 2）求 cos的 值； （ 3）求证： A1B C1M. 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3）见。 试题分析：如图，建立空间直角坐标系 Oxyz. （ 1）依题意得 B（ 0， 1， 0）、 N（ 1， 0， 1） | |= . （ 2）依题意得 A1（ 1， 0， 2）、 B（ 0， 1， 0）、 C（ 0， 0， 0）、 B1（ 0， 1， 2） =-1， -1，
15、 2， =0， 1， 2， ， =3， | |= ， | |= cos= . （ 3）证明：依题意，得 C1（ 0， 0， 2）、 M（ ， 2）， =-1， 1， 2，= ， 0. =- +0=0， ， A1B C1M. 考点：本题主要考查向量的坐标运算、数量积、模的概念及计算、夹角公式的应用，考查了考生的空间想象能力、逻辑推理能力。 点评：本题通过距离空间直角坐标系，将几何问题转化成空间向量，运用空间向量的基本知识，是 “用数学 ”的好题 . （ 14分）如图，已知平行六面体 ABCDA 1B1C1D1的底面 ABCD是菱形且 C1CB= C1CD= BCD=60. （ 1）证明： C1C
16、 BD； （ 2）假定 CD=2， CC1= ，记面 C1BD为 ，面 CBD为 ，求二面角BD 的平面角的余弦值； （ 3）当 的值为多少时，能使 A1C 平面 C1BD？请给出证明 . 答案：（ 1）见；（ 2） cosC1OC= ；（ 3） x=1. 试题分析： （ 1）证明：设 = ， = ， = ，则 | |=| |， = -， =（ - ） = - =| | | |cos60-| | | |cos60=0， C1C BD. （ 2）解：连 AC、 BD，设 ACBD=O，连 OC1，则 C1OC为二面角BD 的平面角 . （ + ）， （ + ） - （ + ） （ + ） - = （ 2+2 + 2） - - = （ 4+2 2 2cos60+4） - 2 cos60- 2 cos60= . 则 | |= ， | |= ， cosC1OC= （ 3）解：设 =x， CD=2， 则 CC1= 相关试题 2012年人教 A版高中数学选修 2-1 3.1空间向量及其运算练习卷（带）
