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2013-2014学年内蒙古包头市三十三中高二下学期期中Ⅰ理科数学试卷与答案(带解析).doc

1、2013-2014学年内蒙古包头市三十三中高二下学期期中 理科数学试卷与答案(带解析) 选择题 已知函数 ,则 ( ) A B C D 答案: A 试题分析:因为 ,所以 ,故选 A. 考点:函数求导 . 已知集合 A 3m 2n|m n且 m, n N,若将集合 A中的数按从小到大排成数列 an,则有 a1 31 20 3, a2 32 20 9, a3 32 21 11, a4 33 27, ,依此类推,将数列依次排成如图所示的三角形数阵,则第六行第三个数为 ( ) A 247 B 735 C 733 D 731 答案: C 试题分析:该三角形数阵中,每一行所排的数成等差数列,首项为 1,

2、公差为 1, 因此前 5行已经排了 5=15个数, 第六行第三个数是数列中的第 18项, a1=31+20=3, a2=32+20=9, a3=32+21=11, a4=33=27, a18=36+22=733, 故选 C. 考点:进行简单的合情推理 . 下面四个判断中,正确的是 ( ) A式子 1 k k2 kn(n N*)中,当 n 1时式子值为 1 B式子 1 k k2 kn-1(n N*)中,当 n 1时式子值为 1 k C式子 1 (n N*)中,当 n 1时式子值为 1 D设 f(x) (n N*),则 f(k 1) f(k)答案: C 试题分析:对于 A, f( 1)恒为 1,正

3、确; 对于 B, f( 1)恒为 1,错误; 对于 C, f( 1)恒为 1,错误; 对于 D, f( k+1) =f( k) + + + - ,错误; 故选 A . 考点:数学归纳法 . 已知 , 是 的导函数,即 , , , ,则 ( ) A B C D 答案: A 试题分析:因为 ,所以 , 可知 的式周期为 4,因为 2011= ,所以故选 A. 考点:函数的求导公式 . 曲线 : 在点 处的切线 恰好经过坐标原点,则曲线 直线 ,轴围成的图形面积为( ) A B C D 答案: D 试题分析:设 A( a, ea),则 y=ex, y=ex, 曲线 C: y=ex在点 A处的切线 l

4、的方程为 y-ea=ea( x-a) 将( 0, 0)代入,可得 0-ea=ea( 0-a), a=1 A( 1, e),切线方程为 y=ex 曲线 C、直线 l、 y轴围成的图形面积为 故选 D . 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程 . 设曲线 在点( 1, 1)处的切线与 x轴的交点的横坐标为 ,则 的乘积的值为( ) A B C D 1 答案: B 试题分析:对 y=xn+1( n N*)求导得 y=( n+1) xn, 令 x=1得在点( 1, 1)处的切线的斜率 k=n+1,在点 ( 1, 1)处的切线方程为 y-1=k( xn-1) =( n+1)( xn-1), 不妨设 y=

5、0, xn 则 x1 x2 x3 x n= , 故选 B . 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;直线的斜率 . 设 ,函数 的导函数 是奇函数,若曲线的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标是( ) A B C D 答案: C 试题分析:由题意可得, f (x) ex 是奇函数 f( 0) =1-a=0 a=1, f( x) =ex+ , f(x) ex 曲线 y=f( x)在( x, y)的一条切线的斜率是 ,即 ex 解方程可得ex=2 x=ln2 故选 D. 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程 . 函数 y f( x)在定义域( - , 3)内的图像如图所示记 y f( x)的导函数为

6、 y f( x),则不等式 f( x) 0的解集为( ) A - , 1 2, 3) B -1, , C - , 1, 2) D( - , - , , 3) 答案: A 试题分析:由图象可知,即求函数的单调减区间,从而有解集为 , 1 2,3), 故选 A . 考点:利用导数研究函数的单调性 . 若函数 在区间 内是增函数,则实数 的取值范围是( ) A B C D 答案: B 试题分析: f( x) =x3+ax-2, f( x) =3x2+a, 函数 f( x) =x3+ax-2在区间 1, +)内是增函数, f( 1) =3+a0, a-3 故选 B . 考点:利用导数研究函数的单调性

7、. 曲线 上的点到直线 的最短距离是 ( ) A B C D 0 答案: B 试题分析: 曲线 y=ln( 2x-1), y= ,分析知直线 2x-y+8=0与曲线 y=ln( 2x-1)相切的点到直线 2x-y+8=0的距离最短, y =2,解得 x=1,把 x=1代入 y=ln( 2x-1), y=0, 点( 1, 0)到直线 2x-y+8=0的距离最短, d= , 故答案:为 B . 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;两条平行直线间的距离 . 设 (其中 e为自然对数的底数),则 的值为 ( ) A B C D 答案: C 试题分析: . 考点:定积分 . 由 “正三角形的内切圆切于

8、三边的中点 ”可类比猜想:正四面体的内切球切于四个面 ( ) A各正三角形内一点 B各正三角形的某高线上的点 C各正三角形的中心 D各正三角形外的某点 答案: C 试题分析:四面体的面可以与三角形的边类比,因此三边的中点也就类比成各三角形的中心,故选 C 考点:类比推理 . 填空题 下面是按照一定规律画出的一列 “树型 ”图: 设第 个图有 个树枝,则 与 之间的关系是 答案: 试题分析:由题意,图( 2)比图( 1)多出 2个 “树枝 ”,图( 3)比图( 2)多出 5个 “树枝 ”,图( 4)比图( 3)多出 10个 “树枝 ”,照此规律, an+1-an=n2+1 故答案:为: an+1

9、-an=n2+1. 考点:进行简单的演绎推理;数列递推式 . 已知 为一次函数,且 ,则 =_. 答案: 试题分析:设 ,因为 , 即 , 所以, , 考点:本题主要考查定积分的计算,待定系数法。 若曲线 f(x) ax3 ln x存在垂直于 y轴的切线,则实数 a的取值范围是_ 答案: a 0 试题分析: f( x) =3ax2+ ( x 0) 曲线 f( x) =ax3+lnx存在垂直于 y轴的切线, f( x) =3ax2+ =0有正解 即 a= 有正解, 0 a 0,故答案:为( -, 0) . 考点:利用导函数研究曲线上的切线 . 函数 在 处的切线方程 _ 答案: 试题分析:当 x

10、=4时, f( 4) =2,由于 ,所以 ,所以切线方程为 y-2= ( x-4),即 . 考点:利用导数研究切线 . 解答题 已知曲线 y = x3 + x-2 在点 P0 处的切线 平行于直线 4x-y-1=0,且点 P0 在第三象限 , 求 P0的坐标 ; 若直线 , 且 l 也过切点 P0 ,求直线 l的方程 . 答案: (1) (-1,-4);(2) 即 . 试题分析:( 1)根据曲线方程求出导函数,因为已知直线 4x-y-1=0 的斜率为 4,根据切线与已知直线平行得到斜率相等都为 4,所以令导函数等于 4得到关于 x的方程,求出方程的解,即为切点 P0的横坐标,代入曲线方程即可求

11、出切点的纵坐标,又因为 切点在第 3象限,进而写出满足题意的切点的坐标; ( 2)根据两直线垂直,斜率乘积为 -1,可求出直线 l的斜率为 ,再根据点斜式,即可求出答案: . 试题:解 : 由 y=x3+x-2,得 y=3x2+1, 由已知得 3x2+1=4,解之得 x=1.当 x=1时, y=0;当 x=-1时, y=-4. 又 点 P0在第三象限 , 切点 P0的坐标为 (-1,-4) .5分 直线 , 的斜率为 4, 直线 l的斜率为 , l过切点 P0,点 P0的坐标为 (-1,-4) 直线 l的方程为 即 10分 考点: 1.导数在切线中的应用; 2.直线的方程 . 某厂生产产品 x

12、件的总成本 (万元 ),已知产品单价 P(万元 )与产品件数 x满足 : ,生产 100件这样的产品单价为 50万元,产量定为多少件时总利润最大? 答案: 试题分析:利用 100件产品单价 50万求出常量 k,确定出 p关于 x的式,利润=单价 -成本总利润 l( x) =p-c求出 l的导数,令导数 =0时,函数有最值求出可得 . 试题:解:由题意知有: 502 ,解得: k=25104, P= = ; 总利润 L( x) =x -1200- x3=500 -1200- x3, L( x) =250 - x2; 令 L( x) =0则有: x=25(件) 当 x=25件时,总利润最大 考点:

13、 1.利用导数求闭区间上函数的最值; 2.根据实际问题选择函数类型 . 由下列不等式: , , , ,你能得到一个怎样的一般不等式?并加以证明 答案:详见 试题分析:根据已知不等式猜想第 n个不等式,然后利用数学归纳法证明即可 . 试题:解:根据给出的几个不等式可以猜想第 个不等式,即一般不等式为: 5分 用数学归纳法证明如下: ( 1)当 时, ,猜想成立; 6分 ( 2)假设当 时,猜想成立,即 , 7分 则当 时, , 即 当 时,猜想也正确,所以对任意的 ,不等式成立 .12分 考点:数学归纳法;归纳推理 . 已知函数 ,函数 当 时 ,求函数 的表达式 ; 若 ,函数 在 上的最小值

14、是 2 ,求 的值 ; 答案:( 1) ( 2) . 试题分析:( 1)分情况讨论 x的取值化简绝对值,求出 f( x)得到 x 0 和 x 0导函数相等,代入到 g( x)中得到即可; ( 2)根据基本不等式得到 g( x)的最小值即可求出 a. 试题:解 : , 当 时 , ; 当 时 , 当 时 , ; 当 时 , . 当 时 ,函数 .6分 由 知当 时 , , 当 时 , 当且仅当 时取等号 8分 函数 在 上的最小值是 , 依题意得 ; 12分 考点: 1.函数的最值及其几何意义; 2.导数的运算 . 设 , ( 1)令 ,讨论 在 内的单调性并求极值; ( 2)求证:当 时,恒有

15、 答案: (1) 在 内是减函数,在 内是增函数 , 在 处取得极小值 ;(2)详见 . 试题分析:( 1)先根据求导法求导数 f( x),在函数的定义域内解不等式f( x) 0和 f( x) 0,求出单调区间及极值即可 ( 2)欲证 x ln2x-2a ln x+1,即证 x-1-ln2x+2alnx 0,也就是要证 f( x) f( 1),根据第一问的单调性即可证得 . 试题:解( 1)解:根据求导法则有 , 故 , 3分 于是 , 列表如下: 2 0 递减 极小值 递增 故知 在 内是减函数,在 内是增函数,所以,在 处取得极小值 6 ( 2)证明:由 知, 的极小值 于是由上表知,对一

16、切 ,恒有 从而当 时,恒有 ,故 在 内单调增加 所以当 时, ,即 故当 时,恒有 .12 考点: 1.利用导数研究函数的单调性; 2.函数恒成立问题; 3.利用导数研究函数的极值 . 已知函数 ( 1)若 ,试确定函数 的单调区间; ( 2)若 ,且对于任意 , 恒成立,试确定实数 的取值范围; 答案: (1)详见( 2) . 试题分析:( 1)求出函数的导数,只要解导数的不等式即可,根据导数与 0的关系判断函数的单调性; ( 2)函数 f( |x|)是偶函数,只要 f( x) 0对任意 x0恒成立即可,等价于 f( x)在 0, +)的最小值大于零 试题:解:( 1)由 得 ,所以 由 得 ,故 的单调递增区间是 , 由 得 ,故 的单调递减区间是 4 ( 2)由 可知 是偶函数 于是 对任意 成立等价于 对任意 成立 由 得 当 时, 此时 在 上单调递增 故 ,符合题意 当 时, 当 变化时 的变化情况如下表: 单调递减 极小值 单调递增 由此可得,在 上, 依题意, ,又 综合 , 得,实数 的取值范围是 考点: 1.利用导数求闭区间上函数的最值; 2.利用导数研究函数的单调性 .

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