1、2013-2014学年内蒙古包头市三十三中高二下学期期中 理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知函数 ，则 （ ） A B C D 答案： A 试题分析：因为 ，所以 ，故选 A. 考点：函数求导 . 已知集合 A 3m 2n|m n且 m， n N，若将集合 A中的数按从小到大排成数列 an，则有 a1 31 20 3， a2 32 20 9， a3 32 21 11， a4 33 27， ，依此类推，将数列依次排成如图所示的三角形数阵，则第六行第三个数为 ( ) A 247 B 735 C 733 D 731 答案： C 试题分析：该三角形数阵中，每一行所排的数成等差数列，首项为 1，
2、公差为 1， 因此前 5行已经排了 5=15个数， 第六行第三个数是数列中的第 18项， a1=31+20=3， a2=32+20=9， a3=32+21=11， a4=33=27， a18=36+22=733， 故选 C. 考点：进行简单的合情推理 . 下面四个判断中，正确的是 ( ) A式子 1 k k2 kn(n N*)中，当 n 1时式子值为 1 B式子 1 k k2 kn-1(n N*)中，当 n 1时式子值为 1 k C式子 1 (n N*)中，当 n 1时式子值为 1 D设 f(x) (n N*)，则 f(k 1) f(k)答案： C 试题分析：对于 A， f（ 1）恒为 1，正
3、确； 对于 B， f（ 1）恒为 1，错误； 对于 C， f（ 1）恒为 1，错误； 对于 D， f（ k+1） =f（ k） + + + - ，错误； 故选 A . 考点：数学归纳法 . 已知 ， 是 的导函数，即 ， ， ， ，则 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：因为 ，所以 ， 可知 的式周期为 4，因为 2011= ，所以故选 A. 考点：函数的求导公式 . 曲线 ： 在点 处的切线 恰好经过坐标原点，则曲线 直线 ，轴围成的图形面积为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：设 A（ a， ea），则 y=ex， y=ex， 曲线 C： y=ex在点 A处的切线 l
4、的方程为 y-ea=ea（ x-a） 将（ 0， 0）代入，可得 0-ea=ea（ 0-a）， a=1 A（ 1， e），切线方程为 y=ex 曲线 C、直线 l、 y轴围成的图形面积为 故选 D . 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 . 设曲线 在点（ 1， 1）处的切线与 x轴的交点的横坐标为 ,则 的乘积的值为（ ） A B C D 1 答案： B 试题分析：对 y=xn+1（ n N*）求导得 y=（ n+1） xn， 令 x=1得在点（ 1， 1）处的切线的斜率 k=n+1，在点 （ 1， 1）处的切线方程为 y-1=k（ xn-1） =（ n+1）（ xn-1）， 不妨设 y=
5、0， xn 则 x1 x2 x3 x n= ， 故选 B . 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的斜率 . 设 ,函数 的导函数 是奇函数，若曲线的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由题意可得， f (x) ex 是奇函数 f（ 0） =1-a=0 a=1， f（ x） =ex+ ， f(x) ex 曲线 y=f（ x）在（ x， y）的一条切线的斜率是 ，即 ex 解方程可得ex=2 x=ln2 故选 D. 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 . 函数 y f（ x）在定义域（ - ， 3）内的图像如图所示记 y f（ x）的导函数为
6、 y f（ x），则不等式 f（ x） 0的解集为（ ） A - ， 1 2， 3） B -1， ， C - ， 1， 2） D（ - ， - ， ， 3） 答案： A 试题分析：由图象可知，即求函数的单调减区间，从而有解集为 ， 1 2，3)， 故选 A . 考点：利用导数研究函数的单调性 . 若函数 在区间 内是增函数，则实数 的取值范围是（ ） A B C D 答案： B 试题分析： f（ x） =x3+ax-2， f（ x） =3x2+a， 函数 f（ x） =x3+ax-2在区间 1， +）内是增函数， f（ 1） =3+a0， a-3 故选 B . 考点：利用导数研究函数的单调性
7、. 曲线 上的点到直线 的最短距离是 ( ) A B C D 0 答案： B 试题分析： 曲线 y=ln（ 2x-1）， y= ，分析知直线 2x-y+8=0与曲线 y=ln（ 2x-1）相切的点到直线 2x-y+8=0的距离最短， y =2，解得 x=1，把 x=1代入 y=ln（ 2x-1）， y=0， 点（ 1， 0）到直线 2x-y+8=0的距离最短， d= ， 故答案：为 B . 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；两条平行直线间的距离 . 设 （其中 e为自然对数的底数），则 的值为 ( ) A B C D 答案： C 试题分析： . 考点：定积分 . 由 “正三角形的内切圆切于
8、三边的中点 ”可类比猜想：正四面体的内切球切于四个面 ( ) A各正三角形内一点 B各正三角形的某高线上的点 C各正三角形的中心 D各正三角形外的某点 答案： C 试题分析：四面体的面可以与三角形的边类比，因此三边的中点也就类比成各三角形的中心，故选 C 考点：类比推理 . 填空题 下面是按照一定规律画出的一列 “树型 ”图： 设第 个图有 个树枝，则 与 之间的关系是 答案： 试题分析：由题意，图（ 2）比图（ 1）多出 2个 “树枝 ”，图（ 3）比图（ 2）多出 5个 “树枝 ”，图（ 4）比图（ 3）多出 10个 “树枝 ”，照此规律， an+1-an=n2+1 故答案：为： an+1
9、-an=n2+1. 考点：进行简单的演绎推理；数列递推式 . 已知 为一次函数，且 ，则 =_. 答案： 试题分析：设 ，因为 ， 即 ， 所以， ， 考点：本题主要考查定积分的计算，待定系数法。 若曲线 f(x) ax3 ln x存在垂直于 y轴的切线，则实数 a的取值范围是_ 答案： a 0 试题分析： f（ x） =3ax2+ （ x 0） 曲线 f（ x） =ax3+lnx存在垂直于 y轴的切线， f（ x） =3ax2+ =0有正解 即 a= 有正解， 0 a 0，故答案：为（ -， 0） . 考点：利用导函数研究曲线上的切线 . 函数 在 处的切线方程 _ 答案： 试题分析：当 x
10、=4时， f（ 4） =2，由于 ，所以 ，所以切线方程为 y-2= （ x-4），即 . 考点：利用导数研究切线 . 解答题 已知曲线 y = x3 + x-2 在点 P0 处的切线 平行于直线 4x-y-1=0，且点 P0 在第三象限 , 求 P0的坐标 ; 若直线 , 且 l 也过切点 P0 ,求直线 l的方程 . 答案： (1) (-1,-4);(2) 即 . 试题分析：（ 1）根据曲线方程求出导函数，因为已知直线 4x-y-1=0 的斜率为 4，根据切线与已知直线平行得到斜率相等都为 4，所以令导函数等于 4得到关于 x的方程，求出方程的解，即为切点 P0的横坐标，代入曲线方程即可求
11、出切点的纵坐标，又因为 切点在第 3象限，进而写出满足题意的切点的坐标； （ 2）根据两直线垂直，斜率乘积为 -1，可求出直线 l的斜率为 ，再根据点斜式，即可求出答案： . 试题：解 : 由 y=x3+x-2，得 y=3x2+1， 由已知得 3x2+1=4，解之得 x=1.当 x=1时， y=0;当 x=-1时， y=-4. 又 点 P0在第三象限 , 切点 P0的坐标为 (-1,-4) .5分 直线 , 的斜率为 4, 直线 l的斜率为 , l过切点 P0,点 P0的坐标为 (-1,-4) 直线 l的方程为 即 10分 考点： 1.导数在切线中的应用； 2.直线的方程 . 某厂生产产品 x
12、件的总成本 (万元 )，已知产品单价 P(万元 )与产品件数 x满足 : ，生产 100件这样的产品单价为 50万元，产量定为多少件时总利润最大？ 答案： 试题分析：利用 100件产品单价 50万求出常量 k，确定出 p关于 x的式，利润=单价 -成本总利润 l（ x） =p-c求出 l的导数，令导数 =0时，函数有最值求出可得 . 试题：解：由题意知有： 502 ，解得： k=25104， P= = ； 总利润 L（ x） =x -1200- x3=500 -1200- x3， L（ x） =250 - x2； 令 L（ x） =0则有： x=25（件） 当 x=25件时，总利润最大 考点：
13、 1.利用导数求闭区间上函数的最值； 2.根据实际问题选择函数类型 . 由下列不等式： ， ， ， ，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明 答案：详见 试题分析：根据已知不等式猜想第 n个不等式，然后利用数学归纳法证明即可 . 试题：解：根据给出的几个不等式可以猜想第 个不等式，即一般不等式为： 5分 用数学归纳法证明如下： （ 1）当 时， ，猜想成立； 6分 （ 2）假设当 时，猜想成立，即 ， 7分 则当 时， ， 即 当 时，猜想也正确，所以对任意的 ，不等式成立 .12分 考点：数学归纳法；归纳推理 . 已知函数 ,函数 当 时 ,求函数 的表达式 ; 若 ,函数 在 上的最小值
14、是 2 ,求 的值 ; 答案：（ 1） （ 2） . 试题分析：（ 1）分情况讨论 x的取值化简绝对值，求出 f（ x）得到 x 0 和 x 0导函数相等，代入到 g（ x）中得到即可； （ 2）根据基本不等式得到 g（ x）的最小值即可求出 a. 试题：解 : , 当 时 , ; 当 时 , 当 时 , ; 当 时 , . 当 时 ,函数 .6分 由 知当 时 , , 当 时 , 当且仅当 时取等号 8分 函数 在 上的最小值是 , 依题意得 ; 12分 考点： 1.函数的最值及其几何意义； 2.导数的运算 . 设 ， （ 1）令 ，讨论 在 内的单调性并求极值； （ 2）求证：当 时，恒有
15、 答案： (1) 在 内是减函数，在 内是增函数 , 在 处取得极小值 ;(2)详见 . 试题分析：（ 1）先根据求导法求导数 f（ x），在函数的定义域内解不等式f（ x） 0和 f（ x） 0，求出单调区间及极值即可 （ 2）欲证 x ln2x-2a ln x+1，即证 x-1-ln2x+2alnx 0，也就是要证 f（ x） f（ 1），根据第一问的单调性即可证得 . 试题：解（ 1）解：根据求导法则有 ， 故 ， 3分 于是 ， 列表如下： 2 0 递减 极小值 递增 故知 在 内是减函数，在 内是增函数，所以，在 处取得极小值 6 （ 2）证明：由 知， 的极小值 于是由上表知，对一
16、切 ，恒有 从而当 时，恒有 ，故 在 内单调增加 所以当 时， ，即 故当 时，恒有 .12 考点： 1.利用导数研究函数的单调性； 2.函数恒成立问题； 3.利用导数研究函数的极值 . 已知函数 （ 1）若 ，试确定函数 的单调区间； （ 2）若 ，且对于任意 ， 恒成立，试确定实数 的取值范围； 答案： (1)详见（ 2） . 试题分析：（ 1）求出函数的导数，只要解导数的不等式即可，根据导数与 0的关系判断函数的单调性； （ 2）函数 f（ |x|）是偶函数，只要 f（ x） 0对任意 x0恒成立即可，等价于 f（ x）在 0， +）的最小值大于零 试题：解：（ 1）由 得 ，所以 由 得 ，故 的单调递增区间是 ， 由 得 ，故 的单调递减区间是 4 （ 2）由 可知 是偶函数 于是 对任意 成立等价于 对任意 成立 由 得 当 时， 此时 在 上单调递增 故 ，符合题意 当 时， 当 变化时 的变化情况如下表： 单调递减 极小值 单调递增 由此可得，在 上， 依题意， ，又 综合 ， 得，实数 的取值范围是 考点： 1.利用导数求闭区间上函数的最值； 2.利用导数研究函数的单调性 .
