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2013届北京市东城区高三12月联考理科数学试卷与答案(带解析).doc

1、2013届北京市东城区高三 12月联考理科数学试卷与答案(带解析) 选择题 若集合 ,且 ,则集合 可能是( ) A B C D 答案: A 试题分析:因为 ,所以 ,分析可知只有 A适合 . 考点:本小题主要考查集合间的关系 . 点评:由 得出 是解决此小题的关键 . 设 、 分别为双曲线 的左、右焦点 .若在双曲线右支上存在点 ,满足 ,且 到直线 的距离等于双曲线的实轴长,则该双 曲线的渐近线方程为( ) A B C D 答案: D 试题分析:由题意可知 所以 为等腰三角形,所以由向直线 做的垂线也是中线,因为距离等于双曲线的实轴长 ,所以又 两边平方可得 所以该双曲线的渐近线方程为 .

2、 考点:本小题主要考查双曲线的定义、等腰三角形的性质、双曲线中基本量之间的关系及应用,考查学生的推理能力和分析问题、解决问题的能力 . 点评:解决圆锥曲线的题目时,圆锥曲线的定义是经常用到的内容,用圆锥曲线的定义有时可以简化运算 . 已知函数 在 上是增函数, ,若 ,则的取值范围是( ) A B C D 答案: B 试题分析:由函数 在 上是增函数可知 在 上是增函数,在 上是减函数,所以 在 上是减函数,在 上是增函数函数,又因为 ,所以 考点:本小题主要考查函数的单调性、对称性和利用单调性解不等式,考查学生转化问题的能力和预算求解能力 . 点评:由题意得出 的单调性是解决此题的关键 .

3、已知数列 为等比数列, , ,则 的值为( ) A B C D 答案: D 试题分析:因为 为等比数列,所以 ,又 ,所以或 .当 时, ,所以,所以 ,同理可求当 时, . 考点:本小题主要考查等比数列的性质和等比数列中项的计算,考查学生的运算求解能力 . 点评:等比数列中任何一项和公比都不能为 0. 设变量 满足约束条件 ,则目标函数 的最大值为( ) A B C D 答案: C 试题分析:画出可行域如右图所示,画出目标函数可知 在 处线性目标函数取得最大值,最大值为 4. 考点:本小题主要考查利用线性规划知识求线性目标函数的最值,考查学生 画图以及用图的能力 . 点评:关键是准确画出可行

4、域和目标函数,画图时还要注意线的虚实 . 一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为 ),则该棱锥的体积是( ) A B C D答案: A 试题分析:由三视图可知,该几何体是一个底面是等腰三角形,高为 2的三棱锥,底面等腰三角形的底边长为 2,底边上的高也为 2,所以该三棱锥的体积为考点:本小题主要考查由三视图还原几何体以及三棱锥体积的计算,考查学生的空间想象能力和运算求解能力 . 点评:解决此类问题,关键是根据三视图还原几何体 . 已知 是两条不同直线, 是三个不同平面,下列命题中正确的是( ) A B C D 答案: B 试题分析:垂直于同一个平面的两个平面可能平行,也可能相交,所以 A不正确

5、;由线面垂直的性质定理可知 B正确;而平 行于同一个平面的两条直线可能平行,也可能相交或异面,所以 C不正确;平行于同一条直线的两个平面更不一定平行,所以 D不正确 . 考点:本小题主要考查线线、线面、面面之间的位置关系,考查学生的逻辑推理能力和思维的严密性 . 点评:解决此类问题主要依据线面、面面平行和垂直的八个定理,要紧扣定理要求的条件,缺一不可 . 复数 在复平面上对应的点的坐标是( ) A B C D 答案: D 试题分析: ,所以它在复平面上对应的点的坐标是 . 考点:本小题主要考查复数的几何意义 . 点评:复数是每年高考都会考到的内容,主要是它的四则运算和它的几何意义,比较简单 .

6、 填空题 已知函数 在区间 内任取两个实数 ,且 , 不等式 恒成立,则实数 的取值范围为 . 答案: 试题分析:因为 ,不妨设 ,因为 ,所以 ,所以 在 内是增函数,所以 在 内恒成立,即 恒成立,所以的最大值,因为 在 上的最大值为 ,所以实数 的取值范围为 . 考点:本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性和恒成立问题,考查学生灵活运用定义的能力和转化问题的能力以及运算求解能力 . 点评:解决此 小题的关键在于将已知条件转化为单调性问题,用导数研究单调性又转化为恒成立问题,而恒成立问题又往往转化为最值问题来解决 . 若 ,则下列不等式对一切满足条件的 恒成立的 是 .

7、(写出所有正确命题的编号 ) ; ; ; ; 答案: 试题分析:因为 ,所以 ,所以 正确; ,所以 正确; ,所以 正确 . 考点:本小题主要考查基本不等式和重要不等式及其变形的应用,考查学生的逻辑推理能力和思维的严谨性 . 点评:解决此类问题,可以利用不等式的性质,也可以代特殊值进行验证 . 若曲线 的某一切线与直线 平行,则切点坐标 为 ,切线方程为 . 答案: , 试题分析:设切点坐标为 , 因为在 处的切线与直线平行,所以 再代入曲线方程,可得 ,所以切点坐标为 ,切线方程为 即 . 考点:本小题主要考查导函数的求解、在某点处的切线、两直线平行和直线方程的求法,考查了学生分析问题、解

8、决问题的能力 . 点评:求解与切线有关的问题时,要分清是在某点处的切线还是过某点处的切线 . 椭圆 的焦点为 ,点 在椭圆上,若 , 的大小为 . 答案: 试题分析: , , ,所以利用余弦定理可得 ,所以 的大小为. 考点:本小题主要考查椭圆定义的应用和余弦定理的应用,考查学生的运算求解能力 . 点评:解决此小题的关键在于利用椭圆的定义求出了 . 已知向量 若 为实数, ,则 的值为 . 答案: 试题分析:由题意可知 ,因为 ,所以 考点:本小题主要考查向量共线的坐标运算,考查学生的运算求解能力 . 点评:向量共线和向量垂直是向量的两种重要的关系,它们的坐标运算也是高考中常考的内容,记准公式

9、代入计算即可,难度不大 . 已知 ,且 为第二象限角,则 的值为 . 答案: 试题分析:因为 ,且 为第二象限角,所以 所以 考点:本小题主要考查同角三角函数的基本关系式 . 点评:利用同角三角函数的基本关系式中的平方关系时,要注意判断是一个解还是两个解 . 解答题 已知:在 中 , 、 、 分别为角 、 、 所对的边,且角 为锐角, ( )求 的值; ( )当 , 时,求 及 的长 答案:( ) ( ) 2 , 试题分析:( )因为 ,及 , 所以 = . 4 分 ( )当 , 时,由正弦定理 ,得 7 分 由 ,及 得 = . 9 分 由余弦定理 ,得 , 12 分 解得 2 . 13 分

10、 考点:本小题主要考查二倍角的余弦公式的应用和正弦定理、余弦定理的应用,考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力 . 点评:用到平方关系求角时,一定要给出角的范围,因为角和三角函数值不是一一对应的 . 已知:函数 的部分图象如图所示 ( )求 函 数 的 解 析 式; ( )在 中,角 的 对 边 分 别是 ,若的 取 值 范 围 答案:( ) ( ) 试题分析:( )由图像知 , 的最小正周期 , 故 , 2 分 将点 代入 的式得 ,又 , 故 ,所以 . 5 分 ( )由 得( , 所以 , 8 分 因为 ,所以 , , , 9 分 所以 , , 11 分 13 分 考点:本小题主要考查

11、由三角函数图象求三角函数表达式、正弦定理、两角和与差的三角函数、三角形内角和定理等知识,考查学生的综合运算求解能力 . 点评:由三角函数图象求三角函数表达式时,一般是先求 A,再求周期,再代入特殊点求 . 已知:如图,在四棱锥 中,四边形 为正方形,且 , 为 中点 ( )证明: /平面 ; ( )证明:平面 平面 ; ( )求二面角 的正弦值 答案:( )见( )见 ( ) 试题分析:( ) 证明:连结 BD交 AC 于点 O,连结 EO 1 分 O 为 BD中点, E为 PD中点, EO/PB 2 分 EO 平面 AEC, PB 平面 AEC, 3 分 PB/平面 AEC ( ) 证明:

12、PA 平面 ABCD 平面 ABCD, 4 分 又 在正方形 ABCD中 且 , 5 分 CD 平面 PAD 6 分 又 平面 PCD, 平面 平面 7 分 ( )如图,以 A为坐标原点, 所在直线分别为 轴, 轴, 轴建立空 间直角坐标系 8 分 由 PA=AB=2可知 A、 B、 C、 D、 P、 E的坐标分别为 A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0), D(0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1) 9 分 PA 平面 ABCD, 是平面 ABCD的法向量, =( 0, 0, 2) 设平面 AEC的法向量为 , , 则 即 令 ,则 .

13、11 分 , 12 分 二面角 已知:数列 的前 项和为 ,且满足 , . ( )求: , 的值; ( )求:数列 的通项公式; ( )若数列 的前 项和为 ,且满足 ,求数列 的 前 项和 . 答案:( ) , ( ) ( )试题分析:( )因为 , 令 ,解得 ;令 ,解得 , 2 分 ( ) , 所以 ,( ) 两式相减得 , 4 分 所以 ,( ) 5 分 又因为 所以数列 是首项为 ,公比为 的等比数列, 6 分 所以 ,即通项公式 ( ) . 7 分 ( ) ,所以 所以 9 分 令 - 得 11 分 12 分 所以 . 13 分 考点:本小题主要考查由递推关系式求数列中的项、利用

14、构造新数列法求数列的通项公式、分组求和和错位相减法求和等的综合应用,考查学生综合运用所学知识解决问题的能力和运算求解能力 . 点评:数列的递推关系式也是给出数列的一种常见形式,由递推公式求通项公式的方法有累加、累乘和构造新数列等,而求和需要掌握公式法、分组法、裂项法和错位相减法等方法 . 已知:函数 ,其中 . ( )若 是 的极值点,求 的值; ( )求 的单调区间; ( )若 在 上的最大值是 ,求 的取值范围 . 答案:( ) ( )当 时, 的增区间是 ,减区间是 ; 当 时, 的增区间是 ,减区间是 和 ; 当 时, 的减区间是 ; 当 时, 的增区间是 ;减区间是 和 . ( )

15、试题分析:( ) . 依题意,令 ,解得 . 经检验, 时,符合题意 . 4 分 ( ) 当 时, . 故 的单调增区间是 ;单调减区间是 . 5 分 当 时,令 ,得 ,或 . 当 时, 与 的情况如下: 相关试题 2013届北京市东城区高三 12月联考理科数学试卷(带) 免责声明 联系我们 地址:深圳市龙岗区横岗街道深峰路3号启航商务大厦5楼 邮编:518000 2004-2016 21世纪教育网 粤ICP备09188801号 粤教信息 (2013)2号 工作时间 : AM9:00-PM6:00 服务电话 : 4006379991 已知椭圆 的离心率为 ,椭圆短轴的一个端点与两个焦 ( )

16、求椭圆 的方程; ( )已知动直线 与椭圆 相交于 、 两点 . 若线段 中点的 横坐标为 ,求斜率 的值; 若点 ,求证: 为定值 . 答案:( ) ( ) 见 试题分析:( )因为 满足 , , 2分 ,解得 ,则椭圆方程为 . 4 分 ( ) 将 代入 中得 , 6 分 , 7 分 因为 中点的横坐标为 ,所以 ,解得 . 9 分 由( 1)知 , 所以 11 分 12 分 14 分 考点:本小题主要考查椭圆标准方程的求法、直线与椭圆的位置关系、韦达定理、中点坐标公式和向量的数量积的运算等综合应用,考查学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力和逻辑推理、转化能力和运算求解能力 . 点评:直线与圆锥曲线的问题在高考中通常作为压轴题出现,难度较大,特别是运输量比较大,要多加练习,牢固掌握 .

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