1、2013届北京市东城区高三 12月联考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 若集合 ，且 ，则集合 可能是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：因为 ，所以 ,分析可知只有 A适合 . 考点：本小题主要考查集合间的关系 . 点评：由 得出 是解决此小题的关键 . 设 、 分别为双曲线 的左、右焦点 .若在双曲线右支上存在点 ，满足 ，且 到直线 的距离等于双曲线的实轴长，则该双 曲线的渐近线方程为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由题意可知 所以 为等腰三角形，所以由向直线 做的垂线也是中线，因为距离等于双曲线的实轴长 ，所以又 两边平方可得 所以该双曲线的渐近线方程为 .
2、 考点：本小题主要考查双曲线的定义、等腰三角形的性质、双曲线中基本量之间的关系及应用，考查学生的推理能力和分析问题、解决问题的能力 . 点评：解决圆锥曲线的题目时，圆锥曲线的定义是经常用到的内容，用圆锥曲线的定义有时可以简化运算 . 已知函数 在 上是增函数， ，若 ，则的取值范围是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由函数 在 上是增函数可知 在 上是增函数，在 上是减函数，所以 在 上是减函数，在 上是增函数函数，又因为 ，所以 考点：本小题主要考查函数的单调性、对称性和利用单调性解不等式，考查学生转化问题的能力和预算求解能力 . 点评：由题意得出 的单调性是解决此题的关键 .
3、已知数列 为等比数列， ， ，则 的值为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为 为等比数列，所以 ，又 ，所以或 .当 时， ，所以，所以 ，同理可求当 时， . 考点：本小题主要考查等比数列的性质和等比数列中项的计算，考查学生的运算求解能力 . 点评：等比数列中任何一项和公比都不能为 0. 设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：画出可行域如右图所示，画出目标函数可知 在 处线性目标函数取得最大值，最大值为 4. 考点：本小题主要考查利用线性规划知识求线性目标函数的最值，考查学生 画图以及用图的能力 . 点评：关键是准确画出可行
4、域和目标函数，画图时还要注意线的虚实 . 一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为 ），则该棱锥的体积是（ ） A B C D答案： A 试题分析：由三视图可知，该几何体是一个底面是等腰三角形，高为 2的三棱锥，底面等腰三角形的底边长为 2，底边上的高也为 2，所以该三棱锥的体积为考点：本小题主要考查由三视图还原几何体以及三棱锥体积的计算，考查学生的空间想象能力和运算求解能力 . 点评：解决此类问题，关键是根据三视图还原几何体 . 已知 是两条不同直线， 是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：垂直于同一个平面的两个平面可能平行，也可能相交，所以 A不正确
5、；由线面垂直的性质定理可知 B正确；而平 行于同一个平面的两条直线可能平行，也可能相交或异面，所以 C不正确；平行于同一条直线的两个平面更不一定平行，所以 D不正确 . 考点：本小题主要考查线线、线面、面面之间的位置关系，考查学生的逻辑推理能力和思维的严密性 . 点评：解决此类问题主要依据线面、面面平行和垂直的八个定理，要紧扣定理要求的条件，缺一不可 . 复数 在复平面上对应的点的坐标是（ ） A B C D 答案： D 试题分析： ，所以它在复平面上对应的点的坐标是 . 考点：本小题主要考查复数的几何意义 . 点评：复数是每年高考都会考到的内容，主要是它的四则运算和它的几何意义，比较简单 .
6、 填空题 已知函数 在区间 内任取两个实数 ，且 ， 不等式 恒成立，则实数 的取值范围为 . 答案： 试题分析：因为 ，不妨设 ，因为 ，所以 ，所以 在 内是增函数，所以 在 内恒成立，即 恒成立，所以的最大值，因为 在 上的最大值为 ，所以实数 的取值范围为 . 考点：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性和恒成立问题，考查学生灵活运用定义的能力和转化问题的能力以及运算求解能力 . 点评：解决此 小题的关键在于将已知条件转化为单调性问题，用导数研究单调性又转化为恒成立问题，而恒成立问题又往往转化为最值问题来解决 . 若 ，则下列不等式对一切满足条件的 恒成立的 是 .
7、(写出所有正确命题的编号 ) ； ； ； ； 答案： 试题分析：因为 ，所以 ，所以 正确； ，所以 正确； ，所以 正确 . 考点：本小题主要考查基本不等式和重要不等式及其变形的应用，考查学生的逻辑推理能力和思维的严谨性 . 点评：解决此类问题，可以利用不等式的性质，也可以代特殊值进行验证 . 若曲线 的某一切线与直线 平行，则切点坐标 为 ，切线方程为 . 答案： ， 试题分析：设切点坐标为 ， 因为在 处的切线与直线平行，所以 再代入曲线方程，可得 ，所以切点坐标为 ，切线方程为 即 . 考点：本小题主要考查导函数的求解、在某点处的切线、两直线平行和直线方程的求法，考查了学生分析问题、解
8、决问题的能力 . 点评：求解与切线有关的问题时，要分清是在某点处的切线还是过某点处的切线 . 椭圆 的焦点为 ，点 在椭圆上，若 ， 的大小为 . 答案： 试题分析： , ， ，所以利用余弦定理可得 ,所以 的大小为. 考点：本小题主要考查椭圆定义的应用和余弦定理的应用，考查学生的运算求解能力 . 点评：解决此小题的关键在于利用椭圆的定义求出了 . 已知向量 若 为实数， ，则 的值为 . 答案： 试题分析：由题意可知 ，因为 ，所以 考点：本小题主要考查向量共线的坐标运算，考查学生的运算求解能力 . 点评：向量共线和向量垂直是向量的两种重要的关系，它们的坐标运算也是高考中常考的内容，记准公式
9、代入计算即可，难度不大 . 已知 ，且 为第二象限角，则 的值为 . 答案： 试题分析：因为 ，且 为第二象限角，所以 所以 考点：本小题主要考查同角三角函数的基本关系式 . 点评：利用同角三角函数的基本关系式中的平方关系时，要注意判断是一个解还是两个解 . 解答题 已知：在 中 , 、 、 分别为角 、 、 所对的边，且角 为锐角， （ ）求 的值； （ ）当 ， 时，求 及 的长 答案：（ ） （ ） 2 ， 试题分析：（ ）因为 ,及 , 所以 = . 4 分 （ ）当 ， 时，由正弦定理 ，得 7 分 由 ，及 得 = . 9 分 由余弦定理 ，得 , 12 分 解得 2 . 13 分
10、 考点：本小题主要考查二倍角的余弦公式的应用和正弦定理、余弦定理的应用，考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力 . 点评：用到平方关系求角时，一定要给出角的范围，因为角和三角函数值不是一一对应的 . 已知：函数 的部分图象如图所示 （ ）求 函 数 的 解 析 式； （ ）在 中，角 的 对 边 分 别是 ，若的 取 值 范 围 答案：（ ） （ ） 试题分析：（ ）由图像知 ， 的最小正周期 ， 故 ， 2 分 将点 代入 的式得 ，又 ， 故 ，所以 . 5 分 （ ）由 得（ ， 所以 ， 8 分 因为 ，所以 ， ， ， 9 分 所以 ， ， 11 分 13 分 考点：本小题主要考查
11、由三角函数图象求三角函数表达式、正弦定理、两角和与差的三角函数、三角形内角和定理等知识，考查学生的综合运算求解能力 . 点评：由三角函数图象求三角函数表达式时，一般是先求 A，再求周期，再代入特殊点求 . 已知：如图，在四棱锥 中，四边形 为正方形，且 ， 为 中点 （ ）证明： /平面 ； （ ）证明：平面 平面 ； （ ）求二面角 的正弦值 答案：（ ）见（ ）见 （ ） 试题分析：（ ） 证明：连结 BD交 AC 于点 O，连结 EO 1 分 O 为 BD中点， E为 PD中点， EO/PB 2 分 EO 平面 AEC， PB 平面 AEC， 3 分 PB/平面 AEC （ ） 证明：
12、PA 平面 ABCD 平面 ABCD， 4 分 又 在正方形 ABCD中 且 ， 5 分 CD 平面 PAD 6 分 又 平面 PCD， 平面 平面 7 分 （ ）如图，以 A为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空 间直角坐标系 8 分 由 PA=AB=2可知 A、 B、 C、 D、 P、 E的坐标分别为 A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0), D(0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1) 9 分 PA 平面 ABCD， 是平面 ABCD的法向量， =（ 0, 0, 2） 设平面 AEC的法向量为 , , 则 即 令 ,则 .
13、11 分 , 12 分 二面角 已知：数列 的前 项和为 ，且满足 ， . （ ）求： ， 的值； （ ）求：数列 的通项公式； （ ）若数列 的前 项和为 ，且满足 ，求数列 的 前 项和 . 答案：（ ） , （ ） （ ）试题分析：（ ）因为 ， 令 ，解得 ；令 ，解得 ， 2 分 （ ） ， 所以 ，（ ） 两式相减得 ， 4 分 所以 ，（ ） 5 分 又因为 所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， 6 分 所以 ，即通项公式 （ ） . 7 分 （ ） ，所以 所以 9 分 令 - 得 11 分 12 分 所以 . 13 分 考点：本小题主要考查由递推关系式求数列中的项、利用
14、构造新数列法求数列的通项公式、分组求和和错位相减法求和等的综合应用，考查学生综合运用所学知识解决问题的能力和运算求解能力 . 点评：数列的递推关系式也是给出数列的一种常见形式，由递推公式求通项公式的方法有累加、累乘和构造新数列等，而求和需要掌握公式法、分组法、裂项法和错位相减法等方法 . 已知：函数 ，其中 . （ ）若 是 的极值点，求 的值； （ ）求 的单调区间； （ ）若 在 上的最大值是 ，求 的取值范围 . 答案：（ ） （ ）当 时， 的增区间是 ，减区间是 ； 当 时， 的增区间是 ，减区间是 和 ； 当 时， 的减区间是 ； 当 时， 的增区间是 ；减区间是 和 . （ ）
15、试题分析：（ ） . 依题意，令 ，解得 . 经检验， 时，符合题意 . 4 分 （ ） 当 时， . 故 的单调增区间是 ；单调减区间是 . 5 分 当 时，令 ，得 ，或 . 当 时， 与 的情况如下： 相关试题 2013届北京市东城区高三 12月联考理科数学试卷（带） 免责声明 联系我们 地址：深圳市龙岗区横岗街道深峰路3号启航商务大厦5楼 邮编：518000 2004-2016 21世纪教育网 粤ICP备09188801号 粤教信息 (2013)2号 工作时间 : AM9:00-PM6:00 服务电话 : 4006379991 已知椭圆 的离心率为 ，椭圆短轴的一个端点与两个焦 （ ）
16、求椭圆 的方程； （ ）已知动直线 与椭圆 相交于 、 两点 . 若线段 中点的 横坐标为 ，求斜率 的值； 若点 ，求证： 为定值 . 答案：（ ） （ ） 见 试题分析：（ ）因为 满足 ， ， 2分 ，解得 ，则椭圆方程为 . 4 分 （ ） 将 代入 中得 , 6 分 , 7 分 因为 中点的横坐标为 ，所以 ，解得 . 9 分 由（ 1）知 ， 所以 11 分 12 分 14 分 考点：本小题主要考查椭圆标准方程的求法、直线与椭圆的位置关系、韦达定理、中点坐标公式和向量的数量积的运算等综合应用，考查学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力和逻辑推理、转化能力和运算求解能力 . 点评：直线与圆锥曲线的问题在高考中通常作为压轴题出现，难度较大，特别是运输量比较大，要多加练习，牢固掌握 .
