1、2013届福建省高三高考压轴文科数学试卷与答案(带解析) 选择题 设集合 , , ,则 ( ) A B C D 答案: D 试题分析:因为, =0,1,2,3,4, , 所以, =0,3,4, ,故选 D。 考点:本题主要考查集合的概念,集合的运算。 点评:简单题,这类题目较多地出现在高考题中。先明确集合中元素是什么,再进行集合运算。 非空数集 中,所有元素的算术平均数记为 ,即 若非空数集 满足下列两个条件: ; ,则称 为 的一个 “保均值子集 ”据此,集合 的 “保均值子集 ”有( ) A 个 B 个 C 个 D 个 答案: C 试题分析:非空数集 A=1, 2, 3, 4, 5中,所有
2、元素的算术平均数 E( A) =3, 集合 A的 “保均值子集 ”有: 3, 1, 5, 2, 4, 3, 1, 5, 3, 2, 4,1, 5, 2, 4, 1, 2, 3, 4, 5共 7个; 故选 C 考点:本题主要考查集合的概念,学习能力。 点评:简单题,关键是理解新定义,计算元素的算术平均数。 一个空间几何体的主视图和左视图都是矩形,俯视图是一个圆,尺寸如图,那么这个几何体的外接球的体积为( ) A B C D 答案: D 试题分析:该几何体为圆柱,主视图的对角线即为圆柱外接球的直径 ,所以,这个几何体的外接球的体积为 ,故选 D。 考点:本题主要考查三视图,几何体的面积计算。 点评
3、:基础题,三视图是高考必考题目,因此,要明确三视图视图规则,准确地还原几何体,明确几何体的特征,以便进一步解题。三视图视图过程中,要注意虚线的出现,意味着有被遮掩的棱。 函数 的图象大致为( )答案: A 试题分析:函数的定义域为 R。 为奇函数,排除 C,D。 ,所以当 x较小时,函数为减函数,而后为增函数,故选 A。 考点:本题主要考查函数的奇偶性,应用导数研究函数的单调性。 点评:简单题,利用导数研究函数的单调性,是导数的基本应用问题。导数非负,函数为增函数,导数非正,函数为减函数。 角 的终边经过点 A ,且点 A在抛物线 的准线上,则( ) A B C D 答案: B 试题分析:抛物
4、线 的准线方程为 y=1, 点 A 在抛物线 的准线上, a=1, 点 A( ), sin= ,故选 B 考点:本题主要考查抛物线的几何性质,三角函数的定义。 点评:小综合题,已知角的终边上点,计算点到原点的距离,利用三角函数定义计算。 过点 作圆 的两条切线 , , 为切点),则( ) A B C D 答案: D 试题分析:因为,过点 作圆 的两条切线 , , 为切点),所以, OM=2,半径为 1,从而, MA=MB= , =60, 故 ,选 D. 考点:本题主要考查直线与圆的位置关系,平面向量的数量积。 点评:简单题,注意数量积的定义式, . “函数 存在零点 ”的一个必要不充分条件是(
5、 ) A B C D 答案: B 试题分析:函数 存在零点存在零点,即方程=0有实根, 所以, 4-4m 0, m 。 “函数 存在零点 ”的一个必要不充分条件是 ,选 B。 考点:本题主要考查充要条件的概念,函数零点存在定理。 点评:简单题,充要条件问题,我综合性较强,本题与函数零点结合在一起进行考查。 将函数 的图像向左平移 个单位长度,所得函数是( ) A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D既不是奇函数也不是偶函数 答案: B 试题分析:将函数 的图像向左平移 个单位长度,所得函数是,其为偶函数,故选 B。 考点:本题主要考查正弦型函数的图象的变换,诱导公式,函数的奇偶性。 点评
6、:简单题,函数图象的平移变换遵循 “左加右减,上加下减 ”。 已知函数 ,则 ( ) A B 9 CD 答案: A 试题分析:因为, ,所以, 故选 A。 考点:本题主要考查指数函数、对数函数性质,分段函数的概念。 点评:简单题,逐步计算函数值,可谓之 “层层剥皮法 ”。 右边程序执行后输出的结果是 ( ) A 3 B 6 C 10 D 15 答案: B 试题分析:步长为 1, 时,循环计算, s=1+2+3=6,故选 B. 考点:本题主要考查算法语句。 点评:简单题,理解算法语句及算法功能。 若 ,则( ) A B C D 答案: C 试题分析:注意到指数函数、对数函数在底数大于 1时,函数
7、为增函数;底数小于 1时,函数为减函数。而 ,所以, ,选 C。 考点:本题主要考查幂函数、指数函数、对数函数的性质。 点评:简单题,利用函数的单调性确定函数不等式。 为了解一片速生林的生长情况 ,随机测量了其中 100株树木的底部周长 (单位 :cm).根据所得数据画出样本的频率分布直方图 (如图 ),那么在这 100株树木中 ,底部周长大于 110cm的株数是( ) A 70 B 60 C 30 D 80 答案: C 试题分析:底部周长小于 110cm的频率是( 0.04+0.02+0.01) 10=0.7,所以,底部周长大于 110cm 的频率为 1-0.7=0.3,故底部周长大于 11
8、0cm 的株数是 30,选 C。 考点:本题主要考查频率分布直方图。 点评:解答题,注意明确频数、频率、组距之间的关系。 填空题 定义映射 ,其中 , ,已知对所有的有序正整数对 满足下述条件 : ; 若 , ; ; 则 _. 答案: 试题分析:由题意,不妨设 m n,则 f( n, 2) =2f( n-1, 2) +f( n-1, 1) =2f( n-1, 2) +2 =22f( n-2, 2) +f( n-1, 1) +2 =22f( n-2, 2) +4+2 = =2n-1f( 1, 2) +2n-1+2n-2+4+2 =2n-1+2n-2+4+2 =2n-2 考点:本题主要考查映射的概
9、念。 点评:中档题,注意运用定义关系式,探索规律性的东西。 已知函数 ,当 时, 取得最小值 ,则_. 答案: 试题分析:因为, 所以, ,即 时,函数取到最小值 ,3, 6. 考点:本题主要考查均值定理的应用。 点评:中档题,应用均值定理,要注意 “一正,二定,三相等 ”,缺一不可。 焦点在 轴上,渐近线方程为 的双曲线的离心率为 _. 答案: 试题分析:焦点在 轴上,渐近线方程为 ,即 =2,所以,其离心率为。 考点:本题主要考查双曲线的几何性质, 点评:简单题,注意区分焦点在不同的坐标轴时,渐近线斜率分别为。 在复平面上 ,若复数 对应的点恰好在实轴上 ,则 _. 答案: 试题分析:因为
10、,复数 对应的点恰好在实轴上,即( 1, b)在实轴上,故 b=0. 考点:本题主要考查复数的几何意义。 点评:简单题,复数 a+bi( a,b为实数)对应点为( a, b) . 解答题 函数 ( )的部分图像如图所示 . ( )求函数 的式; ( ) 中,角 的对边分别为 ,若 , 其中 ,且 ,求角 的大小 . 答案:( )函数 的式为 ;( ) . 试题分析:( )由图像可知 2分 且 4分 5分 故函数 的式为 6分 ( )由( )知 7分 8分 由余弦定理得: 9分 10分 从而 12分 考点:本题主要考查三角函数的图象和性质,和差倍半的三角函数,余弦定理的应用。 点评:中档题,利用
11、图象或变量的对应值表确定函数的式,要明确 A, T,进一步求 。三角形中的求角问题,多应用余弦定理,以避免讨论。 设 为等差数列, 为数列 的前 项和,已知 . ( )求数列 的通项公式; ( )设 ,求数列 的前 项和 . 答案:( ) ; ( ) 。 试题分析:( )设等差数列 的公差为 依题意得 2分 解得 . 5分 6分 ( )由( )得 7分 9分 11分 12分 考点:本题主要考查等差数列的通项公式、求和公式, “错位相减法 ”。 点评:中档题,涉及等差数列通项公式问题,往往建立相关元素的方程组。 “错位相减法 ”、 “裂项相消法 ”、 “分组求和法 ”是高考常常考查到数列求和方法
12、。 已知向量 ( )若 ,求向量 的概率; ( )若用计算机产生的随机二元数组 构成区域 : ,求二元数组 满足 1的概率 . 答案:( ) ;( ) 。 试题分析:( )从 取两个数 的基本事件有,共 9种 2分 设 “向量 ”为事件 若向量 ,则 3分 事件 包含的基本事件有 ,共 2种 5分 所求事件的概率为 6分 ( )二元数组 构成区域 设 “二元数组 满足 1”为事件 则事件 9分 所求事件的概率为 12分 考点:本题主要考查古典概型、几何概型概率的计算。 点评:典型题,本题难度不大,较为典型,古典概型概率的计算,关键是计算事件数,可采用 “树图法 ”“坐标法 ”,以保证不重不漏。
13、几何概型概率的计算,关键是计算 “几何度量 ”,往往与面积,体积,线段长度等有关。 如图( 1),在等腰梯形 CDEF中, CB、 DA是梯形 的高, ,,现将梯形沿 CB、 DA折起,使 EF/AB且 ,得一简单组合体 如图( 2)所示,已知 分别为 的中点 图( 1) 图( 2) ( )求证: 平面 ; ( )求证: 平面 . 答案:( )证明:连结 ,由 为 中点, 在 中, 为 中点,得 , 平面 ; ( )先证 , 再由平行四边形、勾股定理证明 ,推出 平面 。 试题分析:( )证明:连结 , 四边形 是矩形, 为 中点, 为 中点, 在 中, 为 中点 平面 , 平面 平面 4分
14、( )证明:依题意知 且 平面 6分 平面 7分 为 中点, 结合 ,知四边形 是平行四边形 9分 , 而 , ,即 11分 又 平面 12分 考点:本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系。 点评:中档题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中,有 “几何法 ”和 “向量法 ”。利用几何法,要遵循 “一作、二证、三计算 ”的步骤,利用空间向量,省去繁琐的证明,也是解决立体几何问题的一个基本思路。注意运用转化与化归思想,将空间问题转化成平面问 题。 已知函数 ( )若 a0,函数 y=f(x)在区间 (a, a 2-3)上存在极值,求 a的
15、取值范围; ( )若 a2,求证:函数 y=f(x)在 (0, 2)上恰有一个零点 答案:( ) ; ( ) ,函数 y=f(x)在 (0, 2)上恰有一个零点。 试题分析:( )由已知 令 ,解得 或 不在 (a, a 2-3)内 要使函数 y=f(x)在区间 (a, a 2-3)上存在极值,只需 解得 6分 ( ) 在( 0, 2)上恒成立,即函数数 y=f(x)在( 0, 2)内单调递减 又 函数 y=f(x)在 (0, 2)上恰有一个零点 12分 考点:本题主要考查应用导数研究函数的单调性、极值及函数零点问题。 点评:典型题,本题属于导数应用中的基本问题,通过研究函数的单调性,明确了极
16、值情况。涉及比较大小问题,通过构造函数,转化成了研究函数的单调性及最值。涉及函数的零点问题,研究了函数的单调性及在区间端点的函数值的符号。 已知抛物线 的焦点为 F2,点 F1与 F2关于坐标原点对称,直线 m垂直于 轴(垂足为 T),与抛物线交于不同的两点 P、 Q,且 . ( )求点 T的横坐标 ; ( )若椭圆 C以 F1,F2为焦点,且 F1,F2及椭圆短轴的一个端点围成的三角形面积为 1. 求椭圆 C的标准方程; 过点 F2作直线 l与椭圆 C交于 A,B两点,设 ,若的取值范围 . 答案:( ) ; ( )( ;( ) . 试题分析:( )由题意得 , ,设 , 则 , . 由 ,
17、 得 即 , 3分 又 在抛物线上,则 , 联立 、 易得 5分 ( )( )设椭圆的半焦距为 ,由题意得 , 设椭圆 的标准方程为 , 由 ,解得 6分 从而 故椭圆 的标准方程为 7分 ( )方法一: 容易验证直线 的斜率不为 0,设直线 的方程为 将直线 的方程代入 中得: . 8分 设 ,则由根与系数的关系, 可得: 9分 因为 ,所以 ,且 . 将 式平方除以 式,得: 由 所以 11分 因为 ,所以 , 又 ,所以 , 故 , 令 ,因为 所以 ,即 , 所以 . 而 ,所以 . 所以 . 14分 方法二: 1)当直线 的斜率不存在时,即 相关试题 2013届福建省高三高考压轴文科数学试卷(带)
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