1、2013届福建省高三高考压轴文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设集合 ， , ，则 （ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为， =0,1,2,3,4， ， 所以， =0,3,4， ，故选 D。 考点：本题主要考查集合的概念，集合的运算。 点评：简单题，这类题目较多地出现在高考题中。先明确集合中元素是什么，再进行集合运算。 非空数集 中，所有元素的算术平均数记为 ，即 若非空数集 满足下列两个条件： ； ，则称 为 的一个 “保均值子集 ”据此，集合 的 “保均值子集 ”有（ ） A 个 B 个 C 个 D 个 答案： C 试题分析：非空数集 A=1， 2， 3， 4， 5中，所有
2、元素的算术平均数 E（ A） =3， 集合 A的 “保均值子集 ”有： 3， 1， 5， 2， 4， 3， 1， 5， 3， 2， 4，1， 5， 2， 4， 1， 2， 3， 4， 5共 7个； 故选 C 考点：本题主要考查集合的概念，学习能力。 点评：简单题，关键是理解新定义，计算元素的算术平均数。 一个空间几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是一个圆，尺寸如图，那么这个几何体的外接球的体积为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：该几何体为圆柱，主视图的对角线即为圆柱外接球的直径 ，所以，这个几何体的外接球的体积为 ，故选 D。 考点：本题主要考查三视图，几何体的面积计算。 点评
3、：基础题，三视图是高考必考题目，因此，要明确三视图视图规则，准确地还原几何体，明确几何体的特征，以便进一步解题。三视图视图过程中，要注意虚线的出现，意味着有被遮掩的棱。 函数 的图象大致为（ ）答案： A 试题分析：函数的定义域为 R。 为奇函数，排除 C,D。 ，所以当 x较小时，函数为减函数，而后为增函数，故选 A。 考点：本题主要考查函数的奇偶性，应用导数研究函数的单调性。 点评：简单题，利用导数研究函数的单调性，是导数的基本应用问题。导数非负，函数为增函数，导数非正，函数为减函数。 角 的终边经过点 A ，且点 A在抛物线 的准线上，则（ ） A B C D 答案： B 试题分析：抛物
4、线 的准线方程为 y=1， 点 A 在抛物线 的准线上， a=1， 点 A（ ）， sin= ，故选 B 考点：本题主要考查抛物线的几何性质，三角函数的定义。 点评：小综合题，已知角的终边上点，计算点到原点的距离，利用三角函数定义计算。 过点 作圆 的两条切线 ， ， 为切点），则（ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为，过点 作圆 的两条切线 ， ， 为切点），所以， OM=2，半径为 1，从而， MA=MB= ， =60， 故 ，选 D. 考点：本题主要考查直线与圆的位置关系，平面向量的数量积。 点评：简单题，注意数量积的定义式， . “函数 存在零点 ”的一个必要不充分条件是（
5、 ） A B C D 答案： B 试题分析：函数 存在零点存在零点，即方程=0有实根， 所以， 4-4m 0， m 。 “函数 存在零点 ”的一个必要不充分条件是 ，选 B。 考点：本题主要考查充要条件的概念，函数零点存在定理。 点评：简单题，充要条件问题，我综合性较强，本题与函数零点结合在一起进行考查。 将函数 的图像向左平移 个单位长度，所得函数是（ ） A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D既不是奇函数也不是偶函数 答案： B 试题分析：将函数 的图像向左平移 个单位长度，所得函数是，其为偶函数，故选 B。 考点：本题主要考查正弦型函数的图象的变换，诱导公式，函数的奇偶性。 点评
6、：简单题，函数图象的平移变换遵循 “左加右减，上加下减 ”。 已知函数 ,则 （ ） A B 9 CD 答案： A 试题分析：因为， ，所以， 故选 A。 考点：本题主要考查指数函数、对数函数性质，分段函数的概念。 点评：简单题，逐步计算函数值，可谓之 “层层剥皮法 ”。 右边程序执行后输出的结果是 （ ） A 3 B 6 C 10 D 15 答案： B 试题分析：步长为 1， 时，循环计算， s=1+2+3=6,故选 B. 考点：本题主要考查算法语句。 点评：简单题，理解算法语句及算法功能。 若 ,则（ ） A B C D 答案： C 试题分析：注意到指数函数、对数函数在底数大于 1时，函数
7、为增函数；底数小于 1时，函数为减函数。而 ，所以， ，选 C。 考点：本题主要考查幂函数、指数函数、对数函数的性质。 点评：简单题，利用函数的单调性确定函数不等式。 为了解一片速生林的生长情况 ,随机测量了其中 100株树木的底部周长 (单位 :cm).根据所得数据画出样本的频率分布直方图 (如图 ),那么在这 100株树木中 ,底部周长大于 110cm的株数是（ ） A 70 B 60 C 30 D 80 答案： C 试题分析：底部周长小于 110cm的频率是（ 0.04+0.02+0.01） 10=0.7，所以，底部周长大于 110cm 的频率为 1-0.7=0.3，故底部周长大于 11
8、0cm 的株数是 30，选 C。 考点：本题主要考查频率分布直方图。 点评：解答题，注意明确频数、频率、组距之间的关系。 填空题 定义映射 ，其中 ， ，已知对所有的有序正整数对 满足下述条件 : ； 若 ， ； ； 则 _. 答案： 试题分析：由题意，不妨设 m n，则 f（ n， 2） =2f（ n-1， 2） +f（ n-1， 1） =2f（ n-1， 2） +2 =22f（ n-2， 2） +f（ n-1， 1） +2 =22f（ n-2， 2） +4+2 = =2n-1f（ 1， 2） +2n-1+2n-2+4+2 =2n-1+2n-2+4+2 =2n-2 考点：本题主要考查映射的概
9、念。 点评：中档题，注意运用定义关系式，探索规律性的东西。 已知函数 ，当 时， 取得最小值 ，则_. 答案： 试题分析：因为， 所以， ，即 时，函数取到最小值 ,3， 6. 考点：本题主要考查均值定理的应用。 点评：中档题，应用均值定理，要注意 “一正，二定，三相等 ”，缺一不可。 焦点在 轴上，渐近线方程为 的双曲线的离心率为 _. 答案： 试题分析：焦点在 轴上，渐近线方程为 ，即 =2，所以，其离心率为。 考点：本题主要考查双曲线的几何性质， 点评：简单题，注意区分焦点在不同的坐标轴时，渐近线斜率分别为。 在复平面上 ,若复数 对应的点恰好在实轴上 ,则 _. 答案： 试题分析：因为
10、，复数 对应的点恰好在实轴上，即（ 1， b）在实轴上，故 b=0. 考点：本题主要考查复数的几何意义。 点评：简单题，复数 a+bi（ a,b为实数）对应点为（ a， b） . 解答题 函数 ( )的部分图像如图所示 . （ ）求函数 的式； （ ） 中，角 的对边分别为 ，若 ， 其中 ，且 ，求角 的大小 . 答案：（ ）函数 的式为 ；（ ） . 试题分析：（ ）由图像可知 2分 且 4分 5分 故函数 的式为 6分 （ ）由（ ）知 7分 8分 由余弦定理得： 9分 10分 从而 12分 考点：本题主要考查三角函数的图象和性质，和差倍半的三角函数，余弦定理的应用。 点评：中档题，利用
11、图象或变量的对应值表确定函数的式，要明确 A， T，进一步求 。三角形中的求角问题，多应用余弦定理，以避免讨论。 设 为等差数列， 为数列 的前 项和，已知 . （ ）求数列 的通项公式； （ ）设 ，求数列 的前 项和 . 答案：（ ） ； （ ） 。 试题分析：（ ）设等差数列 的公差为 依题意得 2分 解得 . 5分 6分 （ ）由（ ）得 7分 9分 11分 12分 考点：本题主要考查等差数列的通项公式、求和公式， “错位相减法 ”。 点评：中档题，涉及等差数列通项公式问题，往往建立相关元素的方程组。 “错位相减法 ”、 “裂项相消法 ”、 “分组求和法 ”是高考常常考查到数列求和方法
12、。 已知向量 （ ）若 ，求向量 的概率； （ ）若用计算机产生的随机二元数组 构成区域 ： ，求二元数组 满足 1的概率 . 答案：（ ） ；（ ） 。 试题分析：（ ）从 取两个数 的基本事件有，共 9种 2分 设 “向量 ”为事件 若向量 ，则 3分 事件 包含的基本事件有 ，共 2种 5分 所求事件的概率为 6分 （ ）二元数组 构成区域 设 “二元数组 满足 1”为事件 则事件 9分 所求事件的概率为 12分 考点：本题主要考查古典概型、几何概型概率的计算。 点评：典型题，本题难度不大，较为典型，古典概型概率的计算，关键是计算事件数，可采用 “树图法 ”“坐标法 ”，以保证不重不漏。
13、几何概型概率的计算，关键是计算 “几何度量 ”，往往与面积，体积，线段长度等有关。 如图（ 1），在等腰梯形 CDEF中， CB、 DA是梯形 的高， ，,现将梯形沿 CB、 DA折起，使 EF/AB且 ，得一简单组合体 如图（ 2）所示，已知 分别为 的中点 图（ 1） 图（ 2） （ ）求证： 平面 ； （ ）求证： 平面 . 答案：（ ）证明：连结 ，由 为 中点， 在 中， 为 中点，得 ， 平面 ； （ ）先证 ， 再由平行四边形、勾股定理证明 ，推出 平面 。 试题分析：（ ）证明：连结 ， 四边形 是矩形， 为 中点， 为 中点， 在 中， 为 中点 平面 ， 平面 平面 4分
14、（ ）证明：依题意知 且 平面 6分 平面 7分 为 中点， 结合 ，知四边形 是平行四边形 9分 ， 而 ， ，即 11分 又 平面 12分 考点：本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系。 点评：中档题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有 “几何法 ”和 “向量法 ”。利用几何法，要遵循 “一作、二证、三计算 ”的步骤，利用空间向量，省去繁琐的证明，也是解决立体几何问题的一个基本思路。注意运用转化与化归思想，将空间问题转化成平面问 题。 已知函数 （ ）若 a0，函数 y=f(x)在区间 (a， a 2-3)上存在极值，求 a的
15、取值范围； （ ）若 a2，求证：函数 y=f(x)在 (0， 2)上恰有一个零点 答案：（ ） ； （ ） ，函数 y=f(x)在 (0， 2)上恰有一个零点。 试题分析：（ ）由已知 令 ，解得 或 不在 (a， a 2-3)内 要使函数 y=f(x)在区间 (a， a 2-3)上存在极值，只需 解得 6分 （ ） 在（ 0， 2）上恒成立，即函数数 y=f(x)在（ 0， 2）内单调递减 又 函数 y=f(x)在 (0， 2)上恰有一个零点 12分 考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性、极值及函数零点问题。 点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性，明确了极
16、值情况。涉及比较大小问题，通过构造函数，转化成了研究函数的单调性及最值。涉及函数的零点问题，研究了函数的单调性及在区间端点的函数值的符号。 已知抛物线 的焦点为 F2，点 F1与 F2关于坐标原点对称，直线 m垂直于 轴（垂足为 T），与抛物线交于不同的两点 P、 Q，且 . （ ）求点 T的横坐标 ； （ ）若椭圆 C以 F1,F2为焦点，且 F1,F2及椭圆短轴的一个端点围成的三角形面积为 1. 求椭圆 C的标准方程； 过点 F2作直线 l与椭圆 C交于 A,B两点，设 ，若的取值范围 . 答案：（ ） ； （ ）（ ；（ ） . 试题分析：（ ）由题意得 ， ，设 ， 则 ， . 由 ，
17、 得 即 ， 3分 又 在抛物线上，则 ， 联立 、 易得 5分 （ ）（ ）设椭圆的半焦距为 ，由题意得 ， 设椭圆 的标准方程为 ， 由 ，解得 6分 从而 故椭圆 的标准方程为 7分 （ ）方法一： 容易验证直线 的斜率不为 0，设直线 的方程为 将直线 的方程代入 中得： . 8分 设 ，则由根与系数的关系， 可得： 9分 因为 ，所以 ，且 . 将 式平方除以 式，得： 由 所以 11分 因为 ，所以 ， 又 ，所以 ， 故 ， 令 ，因为 所以 ，即 ， 所以 . 而 ，所以 . 所以 . 14分 方法二： 1）当直线 的斜率不存在时，即 相关试题 2013届福建省高三高考压轴文科数学试卷（带）
