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2014届上海崇明县高三第一学期期末考试理科数学试卷与答案(带解析).doc

1、2014届上海崇明县高三第一学期期末考试理科数学试卷与答案(带解析) 选择题 已知圆 O的半径为 1, PA, PB为该圆的两条切线, A, B为两切点,那么 的最小值等于 .( ) A B C D 答案: D 试题分析: ,记, , 是圆 的切线, 平分 , 与同向, ,当且仅当 ,即 时,等号成立,故所求最小值为 . 考点:向量的数量积与最小值 . 对于函数 ,下列选项正确的是 ( ) A 在 内是递增的 B 的图像关于原点对称 C 的最小正周期为 2 D 的最大值为 1 答案: B 试题分析: ,所以 B正确 考点:降幂公式,三角函数的性质 已知数列 是无穷等比数列,其前 n项和是 ,若

2、 , ,则的值为 .( ) A B C D 答案: D 试题分析: , , , , ,或者 考点:等比数列的基本题,前 项和,极限 设 则 是 “ ”成立的 ( ) A充分必要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既非充分也非必要条件 答案: C 试题分析: , ,由于 ,因此应选 C 考点:解不等式,充要条件 填空题 已知虚数 z满足等式 ,则 z= 答案: 试题分析:设 ,则 ,所以, ,即 考点:复数的相等 已知 当 时,函数 的最小值为 -4,则 t的取值范围是 答案: 试题分析:由行列式定义知函数 ,作出此函数的图象,如图,可得 或 时, ,又 , 或,解得 考点:行列式的定义

3、,分段函数的最小值 在实数集 R中,我们定义的大小关系 “ ”为全体实数排了一个序,类似地,我们在复数集 C上也可以定义一个称为 “序 ”的关系,记为 “ ”,定义如下:对于任意两个复数, 当且仅当,下面命题 1 i 0; 若 , ,则 ; 若 ,则对于任意 , ; 对于复数 ,则 其中真命题是 答案: 试题分析:命题 , 1的实部是 1, 的实部是 0, 正确;命题 ,设,由已知得 或 , 或,显然有 ,若 ,则 ,若 ,则 ,也有 ,故 正确;命题 ,设 ,由 得或 ,从而 或 且 , , 正确;命题 4, , , ,则有 ,但, ,显然有 ,故 错误填空 考点:新定义运算,复数的运算 已

4、知双曲线 的左右焦点分别是 ,设 P是双曲线右支上一点, 在 上的投影的大小恰好为 ,且它们的夹角为 ,则双曲线的渐近线方程为 答案: 试题分析:由题意 , , , ,. 点 在双曲线上, . ,得 , 渐近线方程为 . 考点:双曲线的定义,双曲线的渐近线 . (其中 a、 b为有理数),则 答案: 试题分析:, , . 考点:二项式定理 . 将 A、 B、 C、 D四本不同的书分给甲乙丙三个人,每个人至少分到一本书,则不同分法的种数为 答案: 试题分析:由题意,一定是有 1人分到两本书,其他二人各 1本书,因此不同分法总数为 . 考点:排列组合 . 已知函数 是奇函数,则函数 的定义域为 答

5、案: 试题分析:本题定义域不确定,不要用奇函数的必要条件 来求参数 ,而就根据奇函数的定义有 ,即 ,化简得 恒成立,所以 ,则 .由 ,解得 . 考点:奇函数的定义与函数的定义域 . 若关于 x, y的线性方程组的增广矩阵为 ,该方程组的解为 ,则 mn的值等于 答案: 试题分析:由题意方程组 的解为 ,所以 , 考点:方程组的增广矩阵 直线 的一个法向量可以是 答案: 试题分析:已知直线的一般式方程为 ,因此其一个法向量为 考点:直线的法向量 已知全集 ,则 = 答案: 试题分析:由已知 , , , . 考点:集合的运算 某单位有青年职工 160人,中年职工人数是老年职工人数的 2倍,老、

6、中、青职工共有 430人,为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工 32人,则该样本中的老年职工人数为 答案:人 试题分析:由已知可得中年职工有 180人,老年职工有 90人 ,设样本中老年职工人数为 ,则 ,解得 . 考点:分层抽样 . 函数 的反函数是 答案: 试题分析:由 得 , ,即 ,又由,得 ,即 , 所求反函数为 . 考点:反函数 中,若 则 答案: 试题分析: , . 考点:向量的线性表示,向量的运算 . 若 则 答案: 试题分析: ,得 , . 考点:求三角函数值 . 解答题 (1)解方程: (2)已知命题 命题 且命题 是 的必要条件,求实数

7、 m的取值范围 答案:( 1) ;( 2) . 试题分析:( 1)解对数方程,一般把利用对数的运算法则把对数方程变形为,转化为代数方程 ,但解题过程中要注意对数函数的定义域,即 , ;( 2)这类问题的解决,首先要把两个命题化简,本题中命题 化为: ,命题 是命题 的必要条件,说明由命题 成立可推导出命题 也成立,若把命题 成立时的变量的集合分别记为 ,从集合角度,即有 ,由此我们可得出关于 的不等关系,从而求出 的取值范围 . 试题:( 1)解:由原方程化简得 , 即: 所以, ,解得 . ( 2)解: 由于命题 是 的必要条件,所以 ,所以 . 考点:( 1)对数方程;( 2)充分与必要条

8、件 . 在 中,角 A、 B、 C的对边分别为 a、 b、 c, S是该三角形的面积 (1)若 , 求角 B的度数 (2)若 a=8, B= , S= ,求 b的值 答案:( 1) ;( 2) . 试题分析:本题是解三角形的问题,它可能要用到三角函数的公式,三角形中的正弦定理或余弦定理,因此我们要熟练掌握三角函数的公式,及变形方法,解这类题才能得心应手 .( 1)题中两向量平行,紧提供一个平台,我们用向量平行的条件把它转化为三角等式 ,交叉相乘应用二倍角公式即可得,从而求得 ;( 2)已知条件里有三角形的面积,我们要选用适当的面积公式,根据已知,取 ,可求得边 ,问题就化为已知两边及夹角,求第

9、三边问题,这是典型的余弦定理的应用 . 试题:( 1)解:角 的对边分别为 , 得 ,所以 ,从而 . ( 2)由 得, , 所以 . 又 ,解得 . 考点:( 1)向量平行,三角函数求角;( 2)三角形的面积公式与余弦定理 . 已知圆的圆心在坐标原点 O,且恰好与直线 相切 . (1)求圆的标准方程; (2)设点 A为圆上一动点, AN 轴于 N,若动点 Q满足 (其中 m为非零常数),试求动点 的轨迹方程 . (3)在( 2)的结论下,当 时,得到动点 Q的轨迹曲线 C,与 垂直的直线 与曲线 C交于 B、 D两点,求 面积的最大值 . 答案:( 1) ;( 2) ;( 3) . 试题分析

10、: (1)求圆的方程,已经已知圆心坐标,只要再求得圆的半径即可,而圆心的半径等于圆心到切线的距离;( 2)本题动点 可以看作是由动点 的运动成生成的,因此可以用动点转移法求点 的轨迹方程,具体方法就是设 , ,利用条件 ,求出 与 的关系,并且用 来表示 ,然后把 代入( 1)中圆的方程,就能求得动点为 的轨迹方程;( 3)时,曲线 的方程为 ,直线 与 垂直,其方程可设为 ,这条直线与曲线 相交,由此可求得 的取值范围,而 的面积应该表示为 的函数,然后利用函数的知识或不等式的知识求得最值 . 试题: (1)设圆的半径为 ,圆心到直线 距离为 ,则 所以,圆 的方程为 ( 2)设动点 , ,

11、 轴于 , 由题意 , ,所以 即 : , 将 代入 ,得动点 的轨迹方程 . ( 3) 时 ,曲线 方程为 ,设直线 的方程为 设直线 与椭圆 交点 联立方程 得 因为 ,解得 ,且 又因为点 到直线 的距离 .(当且仅当 即 时取到最大值) 面积的最大值为 . 考点:( 1)圆的方程;( 2)动点转移法求轨迹方程;( 3)直线与椭圆相交,面积的最值问题 . 已知数列 的前 n项的和为 ,且 , ( 1)证明数列 是等比数列 ( 2)求通项 与前 n项的和 ; ( 3)设 若集合 M= 恰有 4个元素,求实数 的取值范围 . 答案:( 1)证明见;( 2) , ;( 3) . 试题分析:(

12、1)可以根据等比数列的定义证明,用后项比前项,即证是常数,这由已知易得,同时要说明 ;( 2)由( 1) 是公比为 的等比数列,因此它的通项公式可很快求得,即 ,从而,这个数列可以 看作是一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得,因此其前 项和可用错位相减法求出;( 3)这里我们首先要求出 ,由( 2)可得,集合 M= 恰有 4个元素,即 中只有 4个不同的值不小于 ,故要研究数列 中元素的大小,可从单调性考虑,作差,可见 , ,再计算后发现 ,因此 应该满足 试题:( 1)因为 ,当 时, . 又 , ( )为常数, 所以 是以 为首项, 为公比的等比数列 . ( 2)由 是以 为首项, 为

13、公比的等比数列得, 所以 . 由错项相减得 . ( 3)因为 ,所以 由于 所以, , . 因为集合 恰有 4个元素,且 , 所以 . 考点:( 1)等比数列的定义;( 2)错位相减法求和;( 3)数列的单调性 已知函数 对任意的 恒有 成立 . (1)当 b=0时,记 若 在 )上为增函数,求 c的取值范围; (2)证明:当 时, 成立; (3)若对满足条件的任意实数 b, c,不等式 恒成立,求 M的最小值 . 答案:( 1) ;( 2)证明见;( 3) 试题分析:( 1)首先要讨论题设的先决条件 对 恒成立,即 恒成立 ,这是二次不等式,由二次函数知识,有 ,化简之后有 ,从而 时,在

14、上是增函数,我们用增函数的定义,即设 ,恒成立,分析后得出 的范围;( 2) ,问题变成证明 在 时恒成立,在 的情况下,而 ,可见 ,那当 时,一定恒有 ,问题证毕;( 3)由( 2) ,在 时,这时 恃橹坏仁 img src=http:/ style=vertical-align:middle;成立,当 时 ,不等式可化为 ,因此要求 的最大值或者它的值域, ,而 ,因此 ,由此 的取值范围易得, 的最小值也易得 试题:( 1)因为任意的 恒有 成立, 所以对任意的 ,即 恒成立 . 所以 ,从而 .,即: . 当 时,记 ( ) 因为 在 上为增函数,所以任取 , , 恒成立 . 即任取 , , 成立,也就是 成立 . 所以 ,即 的取值范围是 . ( 2)由( 1)得, 且 , 所以 ,因此 . 故当 时,有 . 即当 时, . ( 3)由( 2)知, , 当 时,有

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