1、2014届上海崇明县高三第一学期期末考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知圆 O的半径为 1， PA， PB为该圆的两条切线， A， B为两切点，那么 的最小值等于 .( ) A B C D 答案： D 试题分析： ，记， ， 是圆 的切线， 平分 ， 与同向， ，当且仅当 ，即 时，等号成立，故所求最小值为 . 考点：向量的数量积与最小值 . 对于函数 ，下列选项正确的是 ( ) A 在 内是递增的 B 的图像关于原点对称 C 的最小正周期为 2 D 的最大值为 1 答案： B 试题分析： ,所以 B正确 考点：降幂公式，三角函数的性质 已知数列 是无穷等比数列，其前 n项和是 ，若
2、 ， ，则的值为 .( ) A B C D 答案： D 试题分析： ， ， ， ， ，或者 考点：等比数列的基本题，前 项和，极限 设 则 是 “ ”成立的 ( ) A充分必要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既非充分也非必要条件 答案： C 试题分析： ， ，由于 ，因此应选 C 考点：解不等式，充要条件 填空题 已知虚数 z满足等式 ，则 z= 答案： 试题分析：设 ，则 ，所以， ，即 考点：复数的相等 已知 当 时，函数 的最小值为 -4，则 t的取值范围是 答案： 试题分析：由行列式定义知函数 ，作出此函数的图象，如图，可得 或 时， ，又 ， 或，解得 考点：行列式的定义
3、，分段函数的最小值 在实数集 R中，我们定义的大小关系 “ ”为全体实数排了一个序，类似地，我们在复数集 C上也可以定义一个称为 “序 ”的关系，记为 “ ”，定义如下：对于任意两个复数， 当且仅当，下面命题 1 i 0; 若 ， ，则 ； 若 ，则对于任意 ， ； 对于复数 ，则 其中真命题是 答案： 试题分析：命题 ， 1的实部是 1, 的实部是 0, 正确；命题 ，设，由已知得 或 ， 或，显然有 ，若 ，则 ，若 ，则 ，也有 ，故 正确；命题 ，设 ，由 得或 ，从而 或 且 ， , 正确；命题 4， ， ， ，则有 ，但， ，显然有 ，故 错误填空 考点：新定义运算，复数的运算 已
4、知双曲线 的左右焦点分别是 ，设 P是双曲线右支上一点， 在 上的投影的大小恰好为 ，且它们的夹角为 ，则双曲线的渐近线方程为 答案： 试题分析：由题意 ， ， ， ，. 点 在双曲线上， . ，得 ， 渐近线方程为 . 考点：双曲线的定义，双曲线的渐近线 . （其中 a、 b为有理数），则 答案： 试题分析：， ， . 考点：二项式定理 . 将 A、 B、 C、 D四本不同的书分给甲乙丙三个人，每个人至少分到一本书，则不同分法的种数为 答案： 试题分析：由题意，一定是有 1人分到两本书，其他二人各 1本书，因此不同分法总数为 . 考点：排列组合 . 已知函数 是奇函数，则函数 的定义域为 答
5、案： 试题分析：本题定义域不确定，不要用奇函数的必要条件 来求参数 ，而就根据奇函数的定义有 ，即 ，化简得 恒成立，所以 ，则 .由 ，解得 . 考点：奇函数的定义与函数的定义域 . 若关于 x， y的线性方程组的增广矩阵为 ，该方程组的解为 ，则 mn的值等于 答案： 试题分析：由题意方程组 的解为 ，所以 ， 考点：方程组的增广矩阵 直线 的一个法向量可以是 答案： 试题分析：已知直线的一般式方程为 ，因此其一个法向量为 考点：直线的法向量 已知全集 ，则 = 答案： 试题分析：由已知 ， ， ， . 考点：集合的运算 某单位有青年职工 160人，中年职工人数是老年职工人数的 2倍，老、
6、中、青职工共有 430人，为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工 32人，则该样本中的老年职工人数为 答案：人 试题分析：由已知可得中年职工有 180人，老年职工有 90人 ，设样本中老年职工人数为 ，则 ，解得 . 考点：分层抽样 . 函数 的反函数是 答案： 试题分析：由 得 ， ，即 ，又由，得 ，即 ， 所求反函数为 . 考点：反函数 中，若 则 答案： 试题分析： ， . 考点：向量的线性表示，向量的运算 . 若 则 答案： 试题分析： ，得 ， . 考点：求三角函数值 . 解答题 (1)解方程： (2)已知命题 命题 且命题 是 的必要条件，求实数
7、 m的取值范围 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）解对数方程，一般把利用对数的运算法则把对数方程变形为，转化为代数方程 ，但解题过程中要注意对数函数的定义域，即 ， ；（ 2）这类问题的解决，首先要把两个命题化简，本题中命题 化为： ，命题 是命题 的必要条件，说明由命题 成立可推导出命题 也成立，若把命题 成立时的变量的集合分别记为 ，从集合角度，即有 ，由此我们可得出关于 的不等关系，从而求出 的取值范围 . 试题：（ 1）解：由原方程化简得 ， 即： 所以， ，解得 . （ 2）解： 由于命题 是 的必要条件，所以 ，所以 . 考点：（ 1）对数方程；（ 2）充分与必要条
8、件 . 在 中，角 A、 B、 C的对边分别为 a、 b、 c， S是该三角形的面积 (1)若 ， 求角 B的度数 (2)若 a=8， B= ， S= ，求 b的值 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：本题是解三角形的问题，它可能要用到三角函数的公式，三角形中的正弦定理或余弦定理，因此我们要熟练掌握三角函数的公式，及变形方法，解这类题才能得心应手 .（ 1）题中两向量平行，紧提供一个平台，我们用向量平行的条件把它转化为三角等式 ，交叉相乘应用二倍角公式即可得，从而求得 ；（ 2）已知条件里有三角形的面积，我们要选用适当的面积公式，根据已知，取 ，可求得边 ，问题就化为已知两边及夹角，求第
9、三边问题，这是典型的余弦定理的应用 . 试题：（ 1）解：角 的对边分别为 ， 得 ，所以 ，从而 . （ 2）由 得， ， 所以 . 又 ，解得 . 考点：（ 1）向量平行，三角函数求角；（ 2）三角形的面积公式与余弦定理 . 已知圆的圆心在坐标原点 O，且恰好与直线 相切 . (1)求圆的标准方程； (2)设点 A为圆上一动点， AN 轴于 N，若动点 Q满足 （其中 m为非零常数），试求动点 的轨迹方程 . (3)在（ 2）的结论下，当 时，得到动点 Q的轨迹曲线 C，与 垂直的直线 与曲线 C交于 B、 D两点，求 面积的最大值 . 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3） . 试题分析
10、： (1)求圆的方程，已经已知圆心坐标，只要再求得圆的半径即可，而圆心的半径等于圆心到切线的距离；（ 2）本题动点 可以看作是由动点 的运动成生成的，因此可以用动点转移法求点 的轨迹方程，具体方法就是设 ， ，利用条件 ，求出 与 的关系，并且用 来表示 ，然后把 代入（ 1）中圆的方程，就能求得动点为 的轨迹方程；（ 3）时，曲线 的方程为 ，直线 与 垂直，其方程可设为 ，这条直线与曲线 相交，由此可求得 的取值范围，而 的面积应该表示为 的函数，然后利用函数的知识或不等式的知识求得最值 . 试题： (1)设圆的半径为 ,圆心到直线 距离为 ，则 所以，圆 的方程为 （ 2）设动点 , ,
11、 轴于 , 由题意 , ，所以 即 : ， 将 代入 ,得动点 的轨迹方程 . （ 3） 时 ,曲线 方程为 ，设直线 的方程为 设直线 与椭圆 交点 联立方程 得 因为 ，解得 ，且 又因为点 到直线 的距离 .（当且仅当 即 时取到最大值） 面积的最大值为 . 考点：（ 1）圆的方程；（ 2）动点转移法求轨迹方程；（ 3）直线与椭圆相交，面积的最值问题 . 已知数列 的前 n项的和为 ，且 ， （ 1）证明数列 是等比数列 （ 2）求通项 与前 n项的和 ； （ 3）设 若集合 M= 恰有 4个元素，求实数 的取值范围 . 答案：（ 1）证明见；（ 2） ， ；（ 3） . 试题分析：（
12、1）可以根据等比数列的定义证明，用后项比前项，即证是常数，这由已知易得，同时要说明 ；（ 2）由（ 1） 是公比为 的等比数列，因此它的通项公式可很快求得，即 ，从而，这个数列可以 看作是一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得，因此其前 项和可用错位相减法求出；（ 3）这里我们首先要求出 ，由（ 2）可得，集合 M= 恰有 4个元素，即 中只有 4个不同的值不小于 ，故要研究数列 中元素的大小，可从单调性考虑，作差，可见 ， ，再计算后发现 ，因此 应该满足 试题：（ 1）因为 ，当 时， . 又 ， （ ）为常数， 所以 是以 为首项， 为公比的等比数列 . （ 2）由 是以 为首项， 为
13、公比的等比数列得， 所以 . 由错项相减得 . （ 3）因为 ，所以 由于 所以， ， . 因为集合 恰有 4个元素，且 ， 所以 . 考点：（ 1）等比数列的定义；（ 2）错位相减法求和；（ 3）数列的单调性 已知函数 对任意的 恒有 成立 . (1)当 b=0时，记 若 在 ）上为增函数，求 c的取值范围； (2)证明：当 时， 成立； (3)若对满足条件的任意实数 b， c，不等式 恒成立，求 M的最小值 . 答案：（ 1） ；（ 2）证明见；（ 3） 试题分析：（ 1）首先要讨论题设的先决条件 对 恒成立，即 恒成立 ，这是二次不等式，由二次函数知识，有 ，化简之后有 ，从而 时，在
14、上是增函数，我们用增函数的定义，即设 ，恒成立，分析后得出 的范围；（ 2） ，问题变成证明 在 时恒成立，在 的情况下，而 ，可见 ，那当 时，一定恒有 ，问题证毕；（ 3）由（ 2） ，在 时，这时 恃橹坏仁 img src=http:/ style=vertical-align:middle;成立，当 时 ，不等式可化为 ，因此要求 的最大值或者它的值域， ，而 ，因此 ，由此 的取值范围易得， 的最小值也易得 试题：（ 1）因为任意的 恒有 成立， 所以对任意的 ，即 恒成立 . 所以 ，从而 .，即： . 当 时，记 （ ） 因为 在 上为增函数，所以任取 ， ， 恒成立 . 即任取 ， ， 成立，也就是 成立 . 所以 ，即 的取值范围是 . （ 2）由（ 1）得， 且 ， 所以 ，因此 . 故当 时，有 . 即当 时， . （ 3）由（ 2）知， ， 当 时，有
