1、2014届山东省青岛二中高三 12月月考文科数学试卷与答案(带解析) 选择题 已知全集 , ,则 ( ) A B C D 答案: B 试题分析:因为, , ,所以,故选 B. 考点:集合的运算 已知 ,现给出如下结论: ; ; ; . 其中正确结论的序号为( ) A B C D 答案: D 试题分析:由题意得, , 当 或 时, ,当 时, , 函数 的增区间是 ,减区间是 , 函数的极大值是 ,函数的极小值是 , ,且 , 且 ,解得 , , 则 , 故选 D 考点:应用导数研究函数的单调性,函数的零点 . 设 、 都是非零向量 ,下列四个条件中 ,一定能使 成立的是( ) A B C D
2、答案: A 试题分析:因为, 、 都是非零向量 , 分别是 的单位向量,意味着 方向相反 .所以,一定能使 成立的是 ,选 A. 考点:单位向量,共线向量,向量的线性运算 . 在 中,若 ,则 的形状是 ( ) A正三角形 B等腰三角形 C直角三角形 D等腰直角形 答案: B 试题分析:由正弦定理、余弦定理, 可化为 ,整理得, , 所以, 的形状是等腰三角形,选 B. 考点:正弦定理、余弦定理的应用 函数 的最大值是 ( ) A B C D 答案: B 试题分析:因为 ,所以, , , 因此,函数 的最大值是 ,故选 B. 考点:基本不等式的应用 已知函数 在 恰有 4个零点,则正整数 的值
3、为 ( ) A 2或 3 B 3或 4 C 4或 5 D 5或 6 答案: C 试题分析:由函数 的图象特征以及它在 恰有 4个零点,可得区间 的长度大于或等于 个周期,而且小于 2个周期, 即 ,解得 由于 为正整数,可得 =4 或 5, 故选 C 考点:正弦函数的图象和性质 已知 满足 ,则目标函数 的最小值是 ( ) A B C D 答案: C 试题分析:根据 画出可行域及直线 (如图),平移直线,当直线经过点 A( 2,3)时, 的最小值为 -7,故选 C. 考点:简单线性规划的应用 定义运算 ,若函数 在 上单调递减,则实数 的取值范围是 ( ) A B C D 答案: D 试题分析
4、:由新定义, ,图象的对称轴为.为使其在 上单调递减,须 ,选 D. 考点:新定义,二次函数的性质 . 已知 且 ,函数 在同一坐标系中的图象可能是 ( ) 答案: C 试题分析: 是直线 的纵截距 .根据指数函数、对数函数的性质,时,函数 的图象同时上升; 时 图象同时下降 .对照选项可知, A,B,D均矛盾, C中 ,选 C. 考点:一次函数、指数函数、对数函数的图象和性质 在正项等比数列 中, ,则 的值是 ( ) A B C D 答案: A 试题分析:因为,正项等比数列 中, ,由对数运算法则及等比数列的性质, 有 , , ,故选A. 考点:等比数列的性质,对数运算 . 向量 , ,且
5、 ,则 ( ) A B C D 答案: B 试题分析:因为,向量 , ,且 , 所以, , ,故选 B. 考点:共线向量,三角函数诱导公式 . 已知直线 m、 n和平面 ,在下列给定的四个结论中, m n的一个必要但不充分条件是 ( ) A m , n B m , n C m , n D m、 n与 所成的角相等 答案: D 试题分析: A: m n可以都和平面垂直,不必要 ; B: m n可以都和平面平行,不必要 ; C: n没理由一定要在平面内,不必要 ; D:平行所以成的角一定相等,但反之如果两直线相交成等边三角形之势则不平行,所以是必要非充分 考点:充要条件,平行关系,垂直关系 . 填
6、空题 若对任意 , ,( 、 )有唯一确定的 与之对应,称 为关于 、 的二元函数 . 现定义满足下列性质的二元函数 为关于实数 、 的广义 “距离 ”: ( 1)非负性 : ,当且仅当 时取等号; ( 2)对称性 : ; ( 3)三角形不等式 : 对任意的实数 z均成立 . 今给出四个二元函数 : ; ; . 能够成为关于的 、 的广义 “距离 ”的函数的所有序号是 . 答案: 试题分析: 对于函数 :满足非负性: ,当且仅当时取等号;满足对称性: ; ,对任意的实数 均成立,因此满足三角形不等式: 可知 能够成为关于的 、 的广义 “距离 ”的函数 ,但是不仅 时取等号, 也成立,因此不满
7、足新定义:关于的 、 的广义 “距离 ”的函数; ,若 成立,则 不一定成立,即不满足对称性; 同理 不满足对称性 综上可知:只有 满足新定义,能够成为关于的 、 的广义 “距离 ”的函数 故答案:为 考点:新定义,函数的概念与表示 . 已知函数 是 上的奇函数 ,且 的图象关于直线 对称 ,当时 , ,则 . 答案: -1 试题分析: 的图象关于直线 对称 , , 又 是 上的奇函数, , ,即 4为 的周期, . 由 时, ,得 , 由 ,得 , , 故答案:为 考点:函数的奇偶性、周期性 若直线 与幂函数 的图象相切于点 ,则直线 的方程为 . 答案: 试题分析:由已知, 在幂函数 的图
8、象上,即 , ,. 由导数的几何意义,切线的斜率为 ,所以,由直线方程的点斜式得直线 的方程为 . 考点:幂函数,导数的几何意义 . 已知某个几何体的三视图如图 (主视图的弧线是半圆 ),根据图中标出的数据,这个几何体的体积是 . 答案: 试题分析:根据三视图可知,该几何体是组合体:一个长方体与一个半圆柱 .根据图中数据得到其体积为 ,答案:为 . 考点:三视图,几何体的体积 . 解答题 已知函数 ( )的最小正周期为 ( )求函数 的单调增区间; ( )将函数 的图象向左平移 个单位,再向上平移 个单位,得到函数的图象求 在区间 上零点的个数 答案:( ) 的单调增区间 ( ) 在 上有 个
9、零点 . 试题分析:( )由题意得,首先化简函数 . 得到 .根据复合函数的单调性及正弦函数的单调增区间得 函数 的单调增区间 ( )根据 “左加右减,上加下减 ”,得到 ,根据 得到或 函数在每个周期上恰有两个零点 , 恰为个周期,故 在 上有 个零点 . 试题:( )由题意得 2分 由周期为 ,得 .得 4分 由正弦函数的单调增区间得 ,得 所以函数 的单调增区间 6分 ( )将函数 的图象向左平移 个单位,再向上平移 1个单位, 得到 的图象,所以 8分 令 ,得: 或 10分 所以函数在每个周期上恰有两个零点 , 恰为 个周期,故 在 上有 个零点 12分 考点:和差倍半的三角函数公式
10、,三角函数的图象和性质 . 在 中,角 对边分别是 ,且满足 ( )求角 的大小;( )若 , 的面积为 ;求 答案:( ) ;( ) . 试题分析:( )由余弦定理确定得到 , 根据角的范围 ,即得 . 解题的关键是对余弦定理得熟练掌握及数学式子的变形能力 . ( )根据三角形面积、余弦定理,建立 的方程组 ,求得. 试题:( )由余弦定理得 2分 代入 得 , 4分 , , 6分 ( ) 8分 10. 解得: 12分 考点:三角形面积公式,余弦定理的应用 . 已知等比数列 为递增数列,且 , .( )求 ; ( )令 ,不等式 的解集为 ,求所有 的和 . 答案:( ) ;( )所有 的和
11、. 试题分析:( )设 的首项为 ,公比为 , 依题意可建立其方程组,不难求得 . ( )根据 , 要注意分 为偶数, 为奇数,加以讨论,明确 是首项为 ,公比为 的等比数列 ,利用等比数列的求和公式,计算得到所有 的和 . 试题:( )设 的首项为 ,公比为 , 所以 ,解得 2分 又因为 ,所以 则 , ,解得 (舍)或 4分 所以 6分 ( )则 , 当 为偶数, ,即 ,不成立 8分 当 为奇数, ,即 , 因为 ,所以 10分 组成首项为 ,公比为 的等比数列 ,则所有 的和12分 考点:等比数列的通项公式、求和公式 在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中, DB BC, DB A
12、C,点 M是棱 BB1上一点 (1)求证: B1D1 平面 A1BD; (2)求证: MD AC; (3)试确定点 M的位置,使得平面 DMC1 平面 CC1D1D. 答案: (1)见 . (2)见 .(3)当点 M为棱 BB1的中点时,平面 DMC1 平面CC1D1D. 试题分析: (1)由直四棱柱概念,得 BB1/DD1, 得到四边形 BB1D1D是平行四边形,从而 B1D1 BD,由直线与平面平行的判定定理即得证 . (2)注意到 BB1 平面 ABCD, AC 平面 ABCD,推出 BB1 AC. 又 BD AC,即得 AC 平面 BB1D1D.而 MD 平面 BB1D1D,故得证 .
13、 (3)分析预见当点 M为棱 BB1的中点时,符合题意 .此时取 DC的中点 N, D1C1的中点 N1,连接 NN1交 DC1于 O,连接 OM,证得 BN DC.又 DC是平面 ABCD与平面 DCC1D1的交线,而平面 ABCD 平面 DCC1D1,推出 BN 平面 DCC1D1.又可证得, O是 NN1的中点,由四边形 BMON是平行四边形,得出 OM 平面CC1D1D,得证 . 试题: (1)由直四棱柱概念,得 BB1/DD1, 四边形 BB1D1D是平行四边形, B1D1 BD. 而 BD 平面 A1BD, B1D1 平面 A1BD, B1D1 平面 A1BD. (2) BB1 平
14、面 ABCD, AC 平面 ABCD, BB1 AC. 又 BD AC,且 BDBB1 B, AC 平面 BB1D1D. 而 MD 平面 BB1D1D, MD AC. (3)当点 M为棱 BB1的中点时,取 DC的中点 N, D1C1的中点 N1,连接 NN1交DC1于 O,连接 OM,如图所示 N是 DC的中点, BD BC, BN DC.又 DC是平面 ABCD与平面DCC1D1的交线,而平面 ABCD 平面 DCC1D1, BN 平面 DCC1D1. 又可证得, O是 NN1的中点, BM ON且 BM=ON,即四边形 BMON是平行四边形, BN OM, OM 平面 CC1D1D,因为
15、 OM 面 DMC1,所以平面DMC1 平面 CC1D1D. 考点:线面平行的判定定理,线面垂直的判定及性质,面面垂直的判定,四棱柱的几何特征 . 某连锁分店销售某种商品 ,每件商品的成本为 元 ,并且每件商品需向总店交元的管理费 ,预计当每件商品的售价为 元时 ,一年的销售量为 万件 ( 1)求该连锁分店一年的利润 (万元)与每件商品的售价 的函数关系式; ( 2)当每件商品的售价为多少元时 ,该连锁分店一年的利润 最大 ,并求出 的最大值 答案:( I) . ( II)当 每件商品的售价为 7元时 ,该连锁分店一年的利润 最大 ,最大值为 万元; 当 每件商品的售价为 元时 ,该连锁分店一
16、年的利润 最大 ,最大值为 万元 . 试题分析:( I)由题意,该连锁分店一年的利润 (万元 )与售价 的函数关系式为 . ( II)通过确定 ,求导数得到, 令 ,求得驻点,根据 , .讨论 当 时, 当 , 时,导数值的正负,求得最大值 . 试题: ( I)由题意,该连锁分店一年的利润 (万元 )与售价 的函数关系式为. ( II) , , 令 ,得 或 , 因为, ,所以, . 当 时, , , 是单调递减函数 . 故 10分 当 ,即 时, 时, ; 时, 在 上单调递增;在 上单调递减, 故 答 :当 每件商品的售价为 7元时 ,该连锁分店一年的利润 最大 , 最大值为 万元; 当
17、每件商品的售价为 元时 ,该连锁分店一年的利润 最大 ,最大值为 万元 . 考点:生活中的优化问题举例,应用导数研究函数的单调性、最值 . 已知函数 在 上是增函数, 上是减函数 ( 1)求函数 的式; ( 2)若 时, 恒成立,求实数 m的取值范围; ( 3)是否存在实数 b,使得方程 在区间 上恰有两个相异实数根,若存在,求出 b的范围,若不存在说明理由 答案: ; ; 试题分析: 求导数,求驻点,根据驻点函数值为 0,得到 的方程,进一步得到函数式 . 通过求导数、求驻点及驻点的唯一性,得到函数的最值,使 构造函数 ,即 , 利用导数法,研究函数的单调区间,得增区间 ,减区间 从而要使方程有两个相异实根,须有 ,得解 . 试题: 依题意得 ,所以 ,从而 2分 令 ,得 或 (舍去),所以 6分 设 , 即 , 7分 又 ,令 ,得 ;令 ,得 所以函数 的增区间 ,减区间 要使方程有两个相异实根,则有 ,解得 考点:应用导数研究函数的单调性、极值,函数与方程 .
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