2014届山东省青岛二中高三12月月考文科数学试卷与答案（带解析）.doc

1、2014届山东省青岛二中高三 12月月考文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知全集 , ,则 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：因为， ， ，所以，故选 B. 考点：集合的运算 已知 ，现给出如下结论： ； ； ； . 其中正确结论的序号为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由题意得， ， 当 或 时， ，当 时， ， 函数 的增区间是 ，减区间是 ， 函数的极大值是 ，函数的极小值是 ， ，且 ， 且 ，解得 ， ， 则 ， 故选 D 考点：应用导数研究函数的单调性，函数的零点 . 设 、 都是非零向量 ,下列四个条件中 ,一定能使 成立的是（ ） A B C D

2、答案： A 试题分析：因为， 、 都是非零向量 , 分别是 的单位向量，意味着 方向相反 .所以，一定能使 成立的是 ，选 A. 考点：单位向量，共线向量，向量的线性运算 . 在 中，若 ，则 的形状是 ( ) A正三角形 B等腰三角形 C直角三角形 D等腰直角形 答案： B 试题分析：由正弦定理、余弦定理， 可化为 ，整理得， ， 所以， 的形状是等腰三角形，选 B. 考点：正弦定理、余弦定理的应用 函数 的最大值是 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：因为 ，所以， ， ， 因此，函数 的最大值是 ，故选 B. 考点：基本不等式的应用 已知函数 在 恰有 4个零点，则正整数 的值

3、为 ( ) A 2或 3 B 3或 4 C 4或 5 D 5或 6 答案： C 试题分析：由函数 的图象特征以及它在 恰有 4个零点，可得区间 的长度大于或等于 个周期，而且小于 2个周期， 即 ，解得 由于 为正整数，可得 =4 或 5， 故选 C 考点：正弦函数的图象和性质 已知 满足 ，则目标函数 的最小值是 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：根据 画出可行域及直线 （如图），平移直线，当直线经过点 A（ 2,3）时， 的最小值为 -7，故选 C. 考点：简单线性规划的应用 定义运算 ，若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是 ( ) A B C D 答案： D 试题分析

4、：由新定义， ，图象的对称轴为.为使其在 上单调递减，须 ，选 D. 考点：新定义，二次函数的性质 . 已知 且 ，函数 在同一坐标系中的图象可能是 ( ) 答案： C 试题分析： 是直线 的纵截距 .根据指数函数、对数函数的性质，时，函数 的图象同时上升； 时 图象同时下降 .对照选项可知， A,B,D均矛盾， C中 ，选 C. 考点：一次函数、指数函数、对数函数的图象和性质 在正项等比数列 中， ，则 的值是 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：因为，正项等比数列 中， ，由对数运算法则及等比数列的性质， 有 ， ， ，故选A. 考点：等比数列的性质，对数运算 . 向量 ， ，且

5、 ，则 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：因为，向量 ， ，且 ， 所以， ， ，故选 B. 考点：共线向量，三角函数诱导公式 . 已知直线 m、 n和平面 ，在下列给定的四个结论中， m n的一个必要但不充分条件是 ( ) A m ， n B m ， n C m ， n D m、 n与 所成的角相等 答案： D 试题分析： A： m n可以都和平面垂直，不必要 ； B： m n可以都和平面平行，不必要 ； C： n没理由一定要在平面内，不必要 ； D：平行所以成的角一定相等，但反之如果两直线相交成等边三角形之势则不平行，所以是必要非充分 考点：充要条件，平行关系，垂直关系 . 填

6、空题 若对任意 ， ，（ 、 ）有唯一确定的 与之对应，称 为关于 、 的二元函数 . 现定义满足下列性质的二元函数 为关于实数 、 的广义 “距离 ”: （ 1）非负性 : ，当且仅当 时取等号； （ 2）对称性 : ； （ 3）三角形不等式 : 对任意的实数 z均成立 . 今给出四个二元函数 : ； ； . 能够成为关于的 、 的广义 “距离 ”的函数的所有序号是 . 答案： 试题分析： 对于函数 ：满足非负性： ，当且仅当时取等号；满足对称性： ； ，对任意的实数 均成立，因此满足三角形不等式： 可知 能够成为关于的 、 的广义 “距离 ”的函数 ，但是不仅 时取等号， 也成立，因此不满

7、足新定义：关于的 、 的广义 “距离 ”的函数； ，若 成立，则 不一定成立，即不满足对称性； 同理 不满足对称性 综上可知：只有 满足新定义，能够成为关于的 、 的广义 “距离 ”的函数 故答案：为 考点：新定义，函数的概念与表示 . 已知函数 是 上的奇函数 ,且 的图象关于直线 对称 ,当时 , ，则 . 答案： -1 试题分析： 的图象关于直线 对称 , ， 又 是 上的奇函数， ， ，即 4为 的周期， . 由 时， ，得 ， 由 ，得 ， ， 故答案：为 考点：函数的奇偶性、周期性 若直线 与幂函数 的图象相切于点 ，则直线 的方程为 . 答案： 试题分析：由已知， 在幂函数 的图

8、象上，即 ， ，. 由导数的几何意义，切线的斜率为 ，所以，由直线方程的点斜式得直线 的方程为 . 考点：幂函数，导数的几何意义 . 已知某个几何体的三视图如图 (主视图的弧线是半圆 )，根据图中标出的数据，这个几何体的体积是 . 答案： 试题分析：根据三视图可知，该几何体是组合体：一个长方体与一个半圆柱 .根据图中数据得到其体积为 ，答案：为 . 考点：三视图，几何体的体积 . 解答题 已知函数 （ ）的最小正周期为 （ ）求函数 的单调增区间； （ ）将函数 的图象向左平移 个单位，再向上平移 个单位，得到函数的图象求 在区间 上零点的个数 答案：（ ） 的单调增区间 （ ） 在 上有 个

9、零点 . 试题分析：（ ）由题意得，首先化简函数 . 得到 .根据复合函数的单调性及正弦函数的单调增区间得 函数 的单调增区间 （ ）根据 “左加右减，上加下减 ”，得到 ，根据 得到或 函数在每个周期上恰有两个零点 , 恰为个周期，故 在 上有 个零点 . 试题：（ ）由题意得 2分 由周期为 ，得 .得 4分 由正弦函数的单调增区间得 ，得 所以函数 的单调增区间 6分 （ ）将函数 的图象向左平移 个单位，再向上平移 1个单位， 得到 的图象，所以 8分 令 ，得： 或 10分 所以函数在每个周期上恰有两个零点 , 恰为 个周期，故 在 上有 个零点 12分 考点：和差倍半的三角函数公式

10、，三角函数的图象和性质 . 在 中，角 对边分别是 ，且满足 （ ）求角 的大小；（ ）若 ， 的面积为 ；求 答案：（ ） ；（ ） . 试题分析：（ ）由余弦定理确定得到 ， 根据角的范围 ，即得 . 解题的关键是对余弦定理得熟练掌握及数学式子的变形能力 . （ ）根据三角形面积、余弦定理，建立 的方程组 ，求得. 试题：（ ）由余弦定理得 2分 代入 得 ， 4分 ， ， 6分 （ ） 8分 10. 解得： 12分 考点：三角形面积公式，余弦定理的应用 . 已知等比数列 为递增数列，且 ， .（ ）求 ； （ ）令 ，不等式 的解集为 ，求所有 的和 . 答案：（ ） ；（ ）所有 的和

11、. 试题分析：（ ）设 的首项为 ，公比为 ， 依题意可建立其方程组，不难求得 . （ ）根据 , 要注意分 为偶数， 为奇数，加以讨论，明确 是首项为 ，公比为 的等比数列 ,利用等比数列的求和公式，计算得到所有 的和 . 试题：（ ）设 的首项为 ，公比为 ， 所以 ，解得 2分 又因为 ，所以 则 ， ，解得 （舍）或 4分 所以 6分 （ ）则 , 当 为偶数， ，即 ，不成立 8分 当 为奇数， ，即 ， 因为 ，所以 10分 组成首项为 ，公比为 的等比数列 ,则所有 的和12分 考点：等比数列的通项公式、求和公式 在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中， DB BC， DB A

12、C，点 M是棱 BB1上一点 (1)求证： B1D1 平面 A1BD； (2)求证： MD AC； (3)试确定点 M的位置，使得平面 DMC1 平面 CC1D1D. 答案： (1)见 . (2)见 .(3)当点 M为棱 BB1的中点时，平面 DMC1 平面CC1D1D. 试题分析： (1)由直四棱柱概念，得 BB1/DD1， 得到四边形 BB1D1D是平行四边形，从而 B1D1 BD，由直线与平面平行的判定定理即得证 . (2)注意到 BB1 平面 ABCD， AC 平面 ABCD，推出 BB1 AC. 又 BD AC，即得 AC 平面 BB1D1D.而 MD 平面 BB1D1D，故得证 .

13、 (3)分析预见当点 M为棱 BB1的中点时，符合题意 .此时取 DC的中点 N， D1C1的中点 N1，连接 NN1交 DC1于 O，连接 OM，证得 BN DC.又 DC是平面 ABCD与平面 DCC1D1的交线，而平面 ABCD 平面 DCC1D1，推出 BN 平面 DCC1D1.又可证得， O是 NN1的中点，由四边形 BMON是平行四边形，得出 OM 平面CC1D1D，得证 . 试题： (1)由直四棱柱概念，得 BB1/DD1， 四边形 BB1D1D是平行四边形， B1D1 BD. 而 BD 平面 A1BD， B1D1 平面 A1BD， B1D1 平面 A1BD. (2) BB1 平

14、面 ABCD， AC 平面 ABCD， BB1 AC. 又 BD AC，且 BDBB1 B， AC 平面 BB1D1D. 而 MD 平面 BB1D1D， MD AC. (3)当点 M为棱 BB1的中点时，取 DC的中点 N， D1C1的中点 N1，连接 NN1交DC1于 O，连接 OM，如图所示 N是 DC的中点， BD BC， BN DC.又 DC是平面 ABCD与平面DCC1D1的交线，而平面 ABCD 平面 DCC1D1， BN 平面 DCC1D1. 又可证得， O是 NN1的中点， BM ON且 BM=ON，即四边形 BMON是平行四边形， BN OM， OM 平面 CC1D1D，因为

15、 OM 面 DMC1，所以平面DMC1 平面 CC1D1D. 考点：线面平行的判定定理，线面垂直的判定及性质，面面垂直的判定，四棱柱的几何特征 . 某连锁分店销售某种商品 ,每件商品的成本为 元 ,并且每件商品需向总店交元的管理费 ,预计当每件商品的售价为 元时 ,一年的销售量为 万件 （ 1）求该连锁分店一年的利润 （万元）与每件商品的售价 的函数关系式; （ 2）当每件商品的售价为多少元时 ,该连锁分店一年的利润 最大 ,并求出 的最大值 答案：（ I） . （ II）当 每件商品的售价为 7元时 ,该连锁分店一年的利润 最大 ,最大值为 万元； 当 每件商品的售价为 元时 ,该连锁分店一

16、年的利润 最大 ,最大值为 万元 . 试题分析：（ I）由题意，该连锁分店一年的利润 (万元 )与售价 的函数关系式为 . （ II）通过确定 ，求导数得到， 令 ，求得驻点，根据 ， .讨论 当 时， 当 ， 时，导数值的正负，求得最大值 . 试题： （ I）由题意，该连锁分店一年的利润 (万元 )与售价 的函数关系式为. （ II） ， ， 令 ，得 或 ， 因为， ，所以， . 当 时， ， ， 是单调递减函数 . 故 10分 当 ，即 时， 时， ； 时， 在 上单调递增；在 上单调递减， 故 答 :当 每件商品的售价为 7元时 ,该连锁分店一年的利润 最大 , 最大值为 万元； 当

17、每件商品的售价为 元时 ,该连锁分店一年的利润 最大 ,最大值为 万元 . 考点：生活中的优化问题举例，应用导数研究函数的单调性、最值 . 已知函数 在 上是增函数， 上是减函数 （ 1）求函数 的式； （ 2）若 时， 恒成立，求实数 m的取值范围； （ 3）是否存在实数 b，使得方程 在区间 上恰有两个相异实数根，若存在，求出 b的范围，若不存在说明理由 答案： ； ； 试题分析： 求导数，求驻点，根据驻点函数值为 0，得到 的方程，进一步得到函数式 . 通过求导数、求驻点及驻点的唯一性，得到函数的最值，使 构造函数 ，即 ， 利用导数法，研究函数的单调区间，得增区间 ，减区间 从而要使方程有两个相异实根，须有 ，得解 . 试题： 依题意得 ，所以 ，从而 2分 令 ，得 或 （舍去），所以 6分 设 ， 即 ， 7分 又 ，令 ，得 ；令 ，得 所以函数 的增区间 ，减区间 要使方程有两个相异实根，则有 ，解得 考点：应用导数研究函数的单调性、极值，函数与方程 .