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2014届江苏苏州高级中学高三12月月考数学试卷与答案(带解析).doc

1、2014届江苏苏州高级中学高三 12月月考数学试卷与答案(带解析) 填空题 已知集合 M 1, 2, 3, 4, 5, N 2, 4, 6, 8, 10,则 MN 答案: 试题分析:集合的交集是由两个集合的公共元素组成的 考点:集合的交集 各项都为正数的数列 ,其前 项的和为 ,且 ,若 ,且数列 的前 项的和为 ,则 = 答案: 试题分析:本题涉及涉及到数列的前 和 的关系,一般要用到关系式,由 得 ,所以,于是 , 时,化简得:,即 ,由于数列各项为正,故 ,又 ,即 ,因此数列 是等差数列,公比为 ,所以 , 考点: 与 的关系,裂项相消求和 已知 A、 B、 C是直线 l上的三点,向量

2、 满足,则函数 的表达式为 答案: 试题分析:这题涉及到向量的一个性质(课本上有一个习题有类似的结论),不在直线 上, ,则 三点共线 利用这个结论本题就有 ,两边对 求导数得:,因此 ,从而 ,所以 考点:三点共线的性质,导数 过圆 x2 y2 1上一点 P作圆的切线与 x轴和 y轴分别交于 A, B两点, O是坐标原点,则 的最小值是 答案: 试题分析:这种问题关键是选用一个参数,把待求式表示为这个参数的式子,然后关于这个参数求最值由于 是过圆上的点的切线与坐标轴的交点,因此我们可以设 点坐标为 ,则过点 的切线方程为,那么 两点的坐标为别为 , ,则,当且仅当 ,即 时等号成立,故所求最

3、小值为 9 考点:圆的切线,向量的模,基本不等式 已知 ,若实数 满足 则 的最小值为 . 答案: 试题分析:首先寻找出 的最直接的关系, ,即,也即 ( ),利用基本不等式有, 时等号成立,故最小值为 . 考点:基本不等式 . 已知数列 中, ,对于任意 , ,若对于任意正整数,在数列中恰有 个 出现,求 。 答案: 试题分析:从定义可知数列 是不减的,小的数一定在前面,各项依次为 1个 1 , 2个 2 , 3个 3,4个 4, , 个 ,由于 ,说明,又 ,故 . 考点:数列的项与项数 . 设 m, n 是两条不同的直线, , , 是三个不同的平面,给出下列命题: 若 , ,则 ; 若

4、, ,则 ; 若 , ,则 ; 若 , , ,则 上面命题中,真命题的序号是 (写出所有真命题的序号) 答案: 试题分析:这类问题有一定的难度,它要求我们对空间的线面之间的关系很熟悉,如两平面垂直,其中一个平面内垂直于交线的直线与另一平面垂直,故 错误, ,则平面 内一定有直线 与 平行,于是这知直线 必定垂直于平面 ,从而有 ,故 正确,直棱柱的侧面与底面都是垂直的,但它们之间不一定垂直,故 错误,同样三棱柱的的两个侧面与第三个侧面的交线是平行的,但这两个侧面是相交的,故 错误 . 考点:空间线面的位置关系 . 已知向量 是第二象限角, ,则= 答案: 试题分析:两向量平行,则它们的坐标对应

5、成比例 (只要不为 0),故,可得 , 在第二象限,则 , . 考点:向量平行的条件 . 等差数列 中,已知 , ,则 的取值范围是 答案: 试题分析:由等差数列的通项公式知 ,(当 时等号成立 ),故 取值范围是. 考点:等差数列的通项公式 . 在 ABC中, ,则 = 答案: 试题分析:要求 ,一般用余弦定理,就要知道三角形的三条边长或者它们的关系,本题中已知 ,我们可以由正弦定理把这个关系转化为关系 .由正弦定理得 ,因此可设,再利用余弦定理可求得 . 考点:正弦定理与余弦定理 . 函数 , 单调增区间是 答案: 试题分析:求函数的单调区间可以利用导数的性质求解,令 ,由于 ,则,当 时

6、, ,当 时, ,故增区间为 考点:函数的单调区间 不等式 的解集是 答案: 试题分析:本题涉及到无理不等式的求解,求解时,要注意式子有意义,即或 考点:解无理不等式 函数 的定义域为 答案: 试题分析:函数的定义域一般是使函数式有意义的自变量 的取值范围本题中 ,因此 ,即 考点:函数的定义域 若 , 为虚数单位 ), 则 = 答案: 试题分析:本题利用复数相等的定义解题 考点:复数相等的定义 解答题 设函数 ( , )。 若 ,求 在 上的最大值和最小值; 若对任意 ,都有 ,求 的取值范围; 若 在 上的最大值为 ,求 的值。 答案:( 1)最大值为 3,最小值为 -1;( 2) ;(

7、3) , 试题分析:( 1) 是三次函数,要求它的最大值和最小值一般利用导数来求,具体的就是令 ,求出 ,再讨论相应区间的单调性,就可判断出函数什么时候取最大值,什么时候取最小值;( 2)要求 的取值范围,题中没有其他的信息,因此我们首先判断出 的初始范围,由已知有 ,得出 ,而此时 在 上的单调性不确定,通过讨论单调性,求出 在 上的最大值和最小值,为什么要求最大值 和最小值 呢?原因就在于题设条件等价于最大值与最小值的差 ,这样就有求出 的取值范围了;( 3)对 在 上的最大值为 的处理方法,同样我们用特殊值法,首先 ,即 ,由这两式可得 ,而特殊值 ,又能得到 ,那么只能有,把 代入 和

8、 ,就可求出 试题:( 1) , , 2分 在 内, ,在 内, , 在 内, 为增函数,在 内, 为减函数, 的最大值为 ,最小值为 , 4分 ( 2) 对任意 有 , , 从而有 , 6分 又 , 在 , 内为减函数,在 内为增函数,只需 ,则 , 的取值范围是 10分 ( 3)由 知 , 加 得 又 14分 将 代入 得 16分 考点:( 1)函数的最值;( 2)导数的应用;( 3)含绝对值的函数的最大值与不等式的综合知识 如图,圆 O 与离心率为 的椭圆 T: ( )相切于点M 。 求椭圆 T与圆 O 的方程; 过点 M引两条互相垂直的两直线 、 与两曲线分别交于点 A、 C与点 B、

9、 D(均不重合)。 若 P为椭圆上任一点,记点 P到两直线的距离分别为 、 ,求 的最大值; 若 ,求 与 的方程。 答案:( 1)椭圆 的方程为 与圆 的方程为 ;( 2) ; 的方程为 , 的方程为 或 的方程为, 的方程为 试题分析:( 1)圆 的圆心在原点,又过点为 ,方程易求,而椭圆 过点 ,这实质是椭圆短轴的顶点,因此 ,又离心率 ,故 也易求得,其标准方程易得( 2) 看到点到直线的距离,可能立即想到点到直线的距离公式,当然如果这样做的话,就需要求出直线方程,过程相对较难,考虑到直线 ,由 所作 的两条垂线,与直线 围成一个矩形,从而,我们只要设 点坐标为 ,则,再由点 在椭圆上

10、,可把 表示为 或的函数,从而求出最大值 这题考查同学们的计算能力,设直线 的斜率为 ,得直线方程,与圆方程和椭圆方程分别联立方程组,求出 点坐标, 点坐标,同样求出 的坐标,再利用已知条件 求出 ,得到直线的方程 试题: (1)由题意知 : 解得 可知 : 椭圆 的方程为 与圆 的方程 4分 (2) 设 因为 ,则 因为 所以 , 7分 因为 所以当 时 取得最大值为 ,此时点9分 设 的方程为 ,由 解得 ; 由 解得 11分 把 中的 置换成 可得 , 12分 所以 , , 由 得 解得 15分 所以 的方程为 , 的方程为 或 的方程为 , 相关试题 2014届江苏苏州高级中学高三 1

11、2月月考数学试卷(带) 如图,在海岸线一侧 C处有一个美丽的小岛,某旅游公司为方便游客,在上设立了 A、 B两个报名点,满足 A、 B、 C中任意两点间的距离为 10千米。公司拟按以下思路运作:先将 A、 B两处游客分别乘车集中到 AB之间的中转点 D处(点 D异于 A、 B两点),然后乘同一艘游轮前往 C岛。据统计,每批游客 A处需发车 2辆, B处需发车 4辆,每辆汽车每千米耗费 2元,游轮每千米耗费 12元。设 ,每批游客从各自报名点到 C岛所需运输成本 S元。 写出 S关于 的函数表达式,并指出 的取值范围; 问中转点 D距离 A处多远时, S最小? 答案:( 1) ;( 2) 千米

12、试题分析:( 1)首先发现运输成本与路程有关,根据题意总运输成本为,下面就是想办法把 用 表示出来,由于,因此在 中,利用正弦定理就可以用 表示出 ,而,因此表达式易求( 2)由( 1)求出了 为 的函数,问题变为 为何值时,函数取得最小值,可以用导数的知识加以解决,即求出 ,令,使 的 值一定函数的最值点,只是我们要考虑下是最大还是最小值而已,这个应该是很好解决的 试题:( 1)由题在 中, , 由正弦定理得 ,得 , 3分 7分 ( 2) ,令 ,得 , 10分 当 时, ,当 时, , 当 时, 取得最小值 12分 此时 , , 中转站距 处 千米时,运输成本 最小 14分 考点:( 1

13、)正弦定理;( 2)函数的最小值 如图的几何体中, 平面 , 平面 , 为等边三角形, , 为 的中点 ( 1)求证: 平面 ; ( 2)求证:平面 平面 . 答案:证明见 . 试题分析: (1)要证线面平行,关键是在平面内找一条与待证直线平行的直线,本题中,由于 , 是中点,故很容易让人联想到取另一中点,这里我们取 中点 ,则 , ,故 是平行四边形,从而有 ,平行线找到了,结论得证; (2)要证面垂直,就是要证线面垂直,关键是找哪个平面内的直线,同样本题里由于 是等边三角形,故 ,从而很快得到结论 平面 ,而 (1)中有 ,则有 平面 ,这就是我们要的平面的垂线,由此就证得了面面垂直 .

14、试题:( 1)证明:取 的中点 ,连结 为 的中点, 且 平面 , 平面 , , 又 , 四边形 为平行四边形,则 平面 , 平面 , 平面 7分 ( 2)证明: 为等边三角形, 为 的中点, 平面 , , , 又 , 平面 平面 , 平面 平面 14分 考点: (1)线面平行; (2)面面垂直 . 在三角形 ABC 中,已知 ,设 CAB , ( 1)求角 的值; ( 2)若 ,其中 ,求 的值 . 答案: (1) ;(2) . 试题分析: (1)遇到向量的数量积,一般要根据数量积的定义,把它转化为一般的运算式子,然后再根据需要转化,本题中由 可得,从而就求得 ( 2)求三角函数值问题,如果

15、看见 ,不认真思考,就直接应用公式展开,那么就把问题化繁了,实际上这种问题应该是灵活应用公式,注意公式中 “角 ”的任意性, “复角 ”的相对性,认识到 ,那么要求,只要求出 以及 即可,而这样做,问题就非常简捷了 试题: (1)由 ,得 , 所以 ,又因为 为三角形的内角,所以 . 7分 (2)由 (1)知: ,且 ,所以 , 故14分 考点: (1)向量的数量积; (2)两角和的余弦公式 . 设 是各项均为非零实数的数列 的前 项和,给出如下两个命题上: 命题 : 是等差数列;命题 :等式 对任意 ( )恒成立,其中 是常数。 若 是 的充分条件,求 的值; 对于 中的 与 ,问 是否为

16、的必要条件,请说明理由; 若 为真命题,对于给定的正整数 ( )和正数 M,数列 满足条件,试求 的最大值。 答案:( 1) ;( 2)是,证明见;( 3) 试题分析:( 1) 是等差数列,和 可以用裂项相消法求出,等式 就变为关于 的恒等式,利用恒等式的知识可求出 ;( 2)等式 对任意( )恒成立,等式左边是一个和式,相当于一个新数列的前 项和,处理方法是把式子中的 用 代换后,两式相减,本题中得到,这个式子可整理为 ,这是关于 的恒等式,因此 ,即 , 这就说明 为等差数列,得证,解题时还要注意对 的初始值是否成立;( 3)已知条件为等差数列 中 ,要求 的最大值,为了能对数列 进行处理

17、,我们利用三角换元法,对已知条件变换,设设 ,( ),这样数列的公差 就可求出,从而也就能求出前 项和 , ,再利用三角函数 的最大值为 ,就能求出 的最大值 试题: (1)设 的公差为 ,则原等式可化为 ,所以 , 即 对于 恒成立,所以 4分 ( 2)当 时,假设 为 的必要条件,即 “若 对于任意的 ( )恒成立,则 为等差数列 ”, 当 时, 显然成立, 6分 当 时, ,由 - 得:, 即 , 当 时, ,即 成等差数列, 当 时, ,由 得 ,所以 为等差数列,即 是 的必要条件 10分 ( 3)由 ,可设 ,所以 设数列 的公差为 ,则 ,所以, 所以 , , 所以 的最大值为 相关试题 2014届江苏苏州高级中学高三 12月月考数学试卷(带)

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