1、2014届江苏苏州高级中学高三 12月月考数学试卷与答案（带解析） 填空题 已知集合 M 1， 2， 3， 4， 5， N 2， 4， 6， 8， 10，则 MN 答案： 试题分析：集合的交集是由两个集合的公共元素组成的 考点：集合的交集 各项都为正数的数列 ，其前 项的和为 ，且 ，若 ，且数列 的前 项的和为 ，则 = 答案： 试题分析：本题涉及涉及到数列的前 和 的关系，一般要用到关系式，由 得 ，所以，于是 ， 时，化简得：，即 ，由于数列各项为正，故 ，又 ，即 ，因此数列 是等差数列，公比为 ，所以 ， 考点： 与 的关系，裂项相消求和 已知 A、 B、 C是直线 l上的三点，向量
2、 满足，则函数 的表达式为 答案： 试题分析：这题涉及到向量的一个性质（课本上有一个习题有类似的结论），不在直线 上， ，则 三点共线 利用这个结论本题就有 ，两边对 求导数得：，因此 ，从而 ，所以 考点：三点共线的性质，导数 过圆 x2 y2 1上一点 P作圆的切线与 x轴和 y轴分别交于 A， B两点， O是坐标原点，则 的最小值是 答案： 试题分析：这种问题关键是选用一个参数，把待求式表示为这个参数的式子，然后关于这个参数求最值由于 是过圆上的点的切线与坐标轴的交点，因此我们可以设 点坐标为 ，则过点 的切线方程为，那么 两点的坐标为别为 ， ，则，当且仅当 ，即 时等号成立，故所求最
3、小值为 9 考点：圆的切线，向量的模，基本不等式 已知 ，若实数 满足 则 的最小值为 . 答案： 试题分析：首先寻找出 的最直接的关系， ，即，也即 ( )，利用基本不等式有， 时等号成立，故最小值为 . 考点：基本不等式 . 已知数列 中， ，对于任意 ， ，若对于任意正整数，在数列中恰有 个 出现，求 。 答案： 试题分析：从定义可知数列 是不减的，小的数一定在前面，各项依次为 1个 1 ， 2个 2 ， 3个 3,4个 4， ， 个 ，由于 ，说明，又 ，故 . 考点：数列的项与项数 . 设 m， n 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，给出下列命题： 若 ， ，则 ； 若
4、， ，则 ； 若 ， ，则 ； 若 ， ， ，则 上面命题中，真命题的序号是 （写出所有真命题的序号） 答案： 试题分析：这类问题有一定的难度，它要求我们对空间的线面之间的关系很熟悉，如两平面垂直，其中一个平面内垂直于交线的直线与另一平面垂直，故 错误， ,则平面 内一定有直线 与 平行，于是这知直线 必定垂直于平面 ，从而有 ，故 正确，直棱柱的侧面与底面都是垂直的，但它们之间不一定垂直，故 错误，同样三棱柱的的两个侧面与第三个侧面的交线是平行的，但这两个侧面是相交的，故 错误 . 考点：空间线面的位置关系 . 已知向量 是第二象限角， ，则= 答案： 试题分析：两向量平行，则它们的坐标对应
5、成比例 (只要不为 0)，故，可得 ， 在第二象限，则 ， . 考点：向量平行的条件 . 等差数列 中，已知 ， ，则 的取值范围是 答案： 试题分析：由等差数列的通项公式知 ，(当 时等号成立 )，故 取值范围是. 考点：等差数列的通项公式 . 在 ABC中， ，则 = 答案： 试题分析：要求 ，一般用余弦定理，就要知道三角形的三条边长或者它们的关系，本题中已知 ，我们可以由正弦定理把这个关系转化为关系 .由正弦定理得 ，因此可设，再利用余弦定理可求得 . 考点：正弦定理与余弦定理 . 函数 ， 单调增区间是 答案： 试题分析：求函数的单调区间可以利用导数的性质求解，令 ，由于 ，则，当 时
6、， ，当 时， ，故增区间为 考点：函数的单调区间 不等式 的解集是 答案： 试题分析：本题涉及到无理不等式的求解，求解时，要注意式子有意义，即或 考点：解无理不等式 函数 的定义域为 答案： 试题分析：函数的定义域一般是使函数式有意义的自变量 的取值范围本题中 ，因此 ，即 考点：函数的定义域 若 , 为虚数单位 ), 则 = 答案： 试题分析：本题利用复数相等的定义解题 考点：复数相等的定义 解答题 设函数 （ ， ）。 若 ，求 在 上的最大值和最小值； 若对任意 ，都有 ，求 的取值范围； 若 在 上的最大值为 ，求 的值。 答案：（ 1）最大值为 3，最小值为 -1；（ 2） ；（
7、3） ， 试题分析：（ 1） 是三次函数，要求它的最大值和最小值一般利用导数来求，具体的就是令 ，求出 ，再讨论相应区间的单调性，就可判断出函数什么时候取最大值，什么时候取最小值；（ 2）要求 的取值范围，题中没有其他的信息，因此我们首先判断出 的初始范围，由已知有 ，得出 ，而此时 在 上的单调性不确定，通过讨论单调性，求出 在 上的最大值和最小值，为什么要求最大值 和最小值 呢？原因就在于题设条件等价于最大值与最小值的差 ，这样就有求出 的取值范围了；（ 3）对 在 上的最大值为 的处理方法，同样我们用特殊值法，首先 ，即 ，由这两式可得 ，而特殊值 ，又能得到 ，那么只能有，把 代入 和
8、 ，就可求出 试题：（ 1） ， ， 2分 在 内， ，在 内， ， 在 内， 为增函数，在 内， 为减函数， 的最大值为 ，最小值为 ， 4分 （ 2） 对任意 有 ， ， 从而有 ， 6分 又 ， 在 ， 内为减函数，在 内为增函数，只需 ，则 ， 的取值范围是 10分 （ 3）由 知 ， 加 得 又 14分 将 代入 得 16分 考点：（ 1）函数的最值；（ 2）导数的应用；（ 3）含绝对值的函数的最大值与不等式的综合知识 如图，圆 O 与离心率为 的椭圆 T： （ ）相切于点M 。 求椭圆 T与圆 O 的方程； 过点 M引两条互相垂直的两直线 、 与两曲线分别交于点 A、 C与点 B、
9、 D（均不重合）。 若 P为椭圆上任一点，记点 P到两直线的距离分别为 、 ，求 的最大值； 若 ，求 与 的方程。 答案：（ 1）椭圆 的方程为 与圆 的方程为 ；（ 2） ； 的方程为 ， 的方程为 或 的方程为， 的方程为 试题分析：（ 1）圆 的圆心在原点，又过点为 ，方程易求，而椭圆 过点 ，这实质是椭圆短轴的顶点，因此 ，又离心率 ，故 也易求得，其标准方程易得（ 2） 看到点到直线的距离，可能立即想到点到直线的距离公式，当然如果这样做的话，就需要求出直线方程，过程相对较难，考虑到直线 ，由 所作 的两条垂线，与直线 围成一个矩形，从而，我们只要设 点坐标为 ，则，再由点 在椭圆上
10、，可把 表示为 或的函数，从而求出最大值 这题考查同学们的计算能力，设直线 的斜率为 ，得直线方程，与圆方程和椭圆方程分别联立方程组，求出 点坐标， 点坐标，同样求出 的坐标，再利用已知条件 求出 ，得到直线的方程 试题： (1)由题意知 : 解得 可知 : 椭圆 的方程为 与圆 的方程 4分 (2) 设 因为 ,则 因为 所以 , 7分 因为 所以当 时 取得最大值为 ，此时点9分 设 的方程为 ,由 解得 ； 由 解得 11分 把 中的 置换成 可得 ， 12分 所以 ， ， 由 得 解得 15分 所以 的方程为 ， 的方程为 或 的方程为 ， 相关试题 2014届江苏苏州高级中学高三 1
11、2月月考数学试卷（带） 如图，在海岸线一侧 C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在上设立了 A、 B两个报名点，满足 A、 B、 C中任意两点间的距离为 10千米。公司拟按以下思路运作：先将 A、 B两处游客分别乘车集中到 AB之间的中转点 D处（点 D异于 A、 B两点），然后乘同一艘游轮前往 C岛。据统计，每批游客 A处需发车 2辆， B处需发车 4辆，每辆汽车每千米耗费 2元，游轮每千米耗费 12元。设 ，每批游客从各自报名点到 C岛所需运输成本 S元。 写出 S关于 的函数表达式，并指出 的取值范围； 问中转点 D距离 A处多远时， S最小？ 答案：（ 1） ；（ 2） 千米
12、试题分析：（ 1）首先发现运输成本与路程有关，根据题意总运输成本为，下面就是想办法把 用 表示出来，由于，因此在 中，利用正弦定理就可以用 表示出 ，而，因此表达式易求（ 2）由（ 1）求出了 为 的函数，问题变为 为何值时，函数取得最小值，可以用导数的知识加以解决，即求出 ，令，使 的 值一定函数的最值点，只是我们要考虑下是最大还是最小值而已，这个应该是很好解决的 试题：（ 1）由题在 中， ， 由正弦定理得 ，得 ， 3分 7分 （ 2） ，令 ，得 ， 10分 当 时， ，当 时， ， 当 时， 取得最小值 12分 此时 ， ， 中转站距 处 千米时，运输成本 最小 14分 考点：（ 1
13、）正弦定理；（ 2）函数的最小值 如图的几何体中， 平面 ， 平面 ， 为等边三角形， ， 为 的中点 （ 1）求证： 平面 ； （ 2）求证：平面 平面 . 答案：证明见 . 试题分析： (1)要证线面平行，关键是在平面内找一条与待证直线平行的直线，本题中，由于 ， 是中点，故很容易让人联想到取另一中点，这里我们取 中点 ，则 ， ，故 是平行四边形，从而有 ，平行线找到了，结论得证； (2)要证面垂直，就是要证线面垂直，关键是找哪个平面内的直线，同样本题里由于 是等边三角形，故 ，从而很快得到结论 平面 ，而 (1)中有 ，则有 平面 ，这就是我们要的平面的垂线，由此就证得了面面垂直 .
14、试题：（ 1）证明：取 的中点 ，连结 为 的中点， 且 平面 ， 平面 ， ， 又 ， 四边形 为平行四边形，则 平面 ， 平面 ， 平面 7分 （ 2）证明： 为等边三角形， 为 的中点， 平面 ， ， ， 又 ， 平面 平面 ， 平面 平面 14分 考点： (1)线面平行； (2)面面垂直 . 在三角形 ABC 中，已知 ，设 CAB ， （ 1）求角 的值； （ 2）若 ，其中 ，求 的值 . 答案： (1) ;(2) . 试题分析： (1)遇到向量的数量积，一般要根据数量积的定义，把它转化为一般的运算式子，然后再根据需要转化，本题中由 可得，从而就求得 （ 2）求三角函数值问题，如果
15、看见 ，不认真思考，就直接应用公式展开，那么就把问题化繁了，实际上这种问题应该是灵活应用公式，注意公式中 “角 ”的任意性， “复角 ”的相对性，认识到 ，那么要求，只要求出 以及 即可，而这样做，问题就非常简捷了 试题： (1)由 ，得 ， 所以 ，又因为 为三角形的内角，所以 . 7分 (2)由 (1)知： ，且 ，所以 ， 故14分 考点： (1)向量的数量积； (2)两角和的余弦公式 . 设 是各项均为非零实数的数列 的前 项和，给出如下两个命题上： 命题 ： 是等差数列；命题 ：等式 对任意 （ ）恒成立，其中 是常数。 若 是 的充分条件，求 的值； 对于 中的 与 ，问 是否为
16、的必要条件，请说明理由； 若 为真命题，对于给定的正整数 （ ）和正数 M，数列 满足条件，试求 的最大值。 答案：（ 1） ；（ 2）是，证明见；（ 3） 试题分析：（ 1） 是等差数列，和 可以用裂项相消法求出，等式 就变为关于 的恒等式，利用恒等式的知识可求出 ；（ 2）等式 对任意（ ）恒成立，等式左边是一个和式，相当于一个新数列的前 项和，处理方法是把式子中的 用 代换后，两式相减，本题中得到，这个式子可整理为 ，这是关于 的恒等式，因此 ，即 ， 这就说明 为等差数列，得证，解题时还要注意对 的初始值是否成立；（ 3）已知条件为等差数列 中 ，要求 的最大值，为了能对数列 进行处理
17、，我们利用三角换元法，对已知条件变换，设设 ，（ ），这样数列的公差 就可求出，从而也就能求出前 项和 ， ，再利用三角函数 的最大值为 ，就能求出 的最大值 试题： (1)设 的公差为 ，则原等式可化为 ，所以 ， 即 对于 恒成立，所以 4分 （ 2）当 时，假设 为 的必要条件，即 “若 对于任意的 （ ）恒成立，则 为等差数列 ”， 当 时， 显然成立， 6分 当 时， ，由 - 得：， 即 ， 当 时， ，即 成等差数列， 当 时， ，由 得 ，所以 为等差数列，即 是 的必要条件 10分 （ 3）由 ，可设 ，所以 设数列 的公差为 ，则 ，所以， 所以 ， ， 所以 的最大值为 相关试题 2014届江苏苏州高级中学高三 12月月考数学试卷（带）
