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2014届湖南省长沙市高考二模文科数学试卷与答案(带解析).doc

1、2014届湖南省长沙市高考二模文科数学试卷与答案(带解析) 选择题 已知集合 ,则 等于( ) A -1,0,1 B 1 C -1,1 D 0,1 答案: B 试题分析:由已知得, ,故 考点: 1、指数不等式解法; 2、集合的运算 . 已知 ,满足 , ,则在区间 上的最大值与最小值之和为( ) A B C D 答案: A 试题分析:由 得, ,故函数 的周期为 ,所以 , ,又 得, ,故 ,所以 ,因为 , 所以 , , ,故 在区间上的最大值与最小值之和为 考点: 1、三角函数的图象和性质; 2、三角函数的最值 . 在 中, D为 AB边上一点, , ,则 =( ) A B C D 答

2、案: B 试题分析:由已知得, ,故,故 考点: 1、平面向量基本定理; 2、向量加法的三角形法则 . 设双曲线 ,离心率 ,右焦点 方程的两个实数根分别为 ,则点 与圆 的位置关系( ) A在圆外 B在圆上 C在圆内 D不确定 答案: C 试题分析:因为离心率 ,故 ,所以 , ,故 ,故 在圆内 考点: 1、双曲线的简单几何性质; 2、点和圆的位置关系 . 中,角 的对边分别为 ,则 “ ”是 “ 是等腰三角形 ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案: A 试题分析: 当 时,由余弦定理得, ,故,即 ,所以 是等腰三角形,反之,当 是

3、等腰三角形时等腰三角形时,不一定有 ,故 “ ”是 “ 是等腰三角形 ”的充分不必要条件 考点: 1、余弦定理; 2、充分必要条件 . 某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是( ) A B C D 答案: D 试题分析:程序在执行过程中, 的值依次为: ; ; ; ; ,程序结束,输出 考点:程序框图 . 等比数列 中 ,公比 ,记 (即 表示数列的前 n项之积), 中值最大的是( ) A B C D 答案: B 试题分析:由 , ,故当 n 为奇数时, ;当 n 为偶数时,所以 , ,又 ,且 ,故 ,综上所述,最大的是 . 考点:等比数列的性质 . 一平面截一球得到直径为 cm的圆面

4、,球心到这个平面的距离是 2 cm,则该球的体积是( ) A 12 cm3 B 36cm3 C cm3 D cm3 答案: B 试题分析:因为球心和截面圆心的连线垂直于截面,由勾股定理得,球半径,故球的体积为 考点: 1、球的截面性质; 2、球的体积 . 已知 ,则下列关系中正确的是( ) A abc B bac C acb D cab 答案: A 试题分析:由已知得, , ,故 abc 考点:指数函数的图象和性质 . 复数 =( ) A -4+ 2i B 4- 2i C 2- 4i D 2+4i 答案: A 试题分析:由已知得, = 考点:复数的运算 . 填空题 巳知函数 分别是二次函数 和

5、三次函数 的导函数,它们在同一坐标系内的图象如图所示 . ( 1)若 ,则 ; ( 2)设函数 ,则 的大小关系为 (用 “”连接) . 答案:( 1) 1;( 2) 试题分析:由 的图象,可设 ,故 , ,又 , ,故, ,因为 是偶函数,故 ; 所以 ,则 , ,所以 考点: 1、导函数; 2、函数的奇偶性 已知圆 M: ,在圆 M上随机取两点 A、 B,使 的概率为 . 答案: 试题分析:设 ,当 时,取线段 的中点 ,则 ,在 中, ,故 ,即 ,故 的概率为 考点:几何概型 . 若 x, y满足约束条件 ,则 的最大值为 . 答案: 试题分析:画出可行域,如图所示,将目标函数变形为

6、,当 取到最大值时,直线 的纵截距最大,即将直线 经过可行域,尽可能向上移动到点 时, 考点:线性规划 . 一组样本数据的茎叶图如右: ,则这组数据的平均数等于 . 答案: 试题分析:由茎叶图知,这组数据分别为 ,故平均数为 考点: 1、茎叶图; 2、平均数 . 极坐标方程为 的圆与参数方程 的直线的位置关系是 . 答案:相交 试题分析 :圆的直角坐标方程为 ,直线的普通方程为 ,故圆心 在直线 上,所以直线和圆相交 考点: 1、圆的极坐标方程; 2、直线的参数方程 . 解答题 某网站针对 “2014年法定节假日调休安排 ”展开的问卷调查,提出了 A、 B、C三种放假方案,调查结果如下: 支持

7、 A方案 支持 B方案 支持 C方案 35岁以下 200 400 800 35岁以上(含 35岁) 100 100 400 ( 1)在所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取 n个人,已知从 “支持 A方案 ”的人中抽取了 6人,求 n的值; ( 2)在 “支持 B方案 ”的人中,用分层抽样的方法抽取 5人看作一个总体,从这5人中任意选取 2人,求恰好有 1人在 35岁以上(含 35岁)的概率 . 答案:( 1) ;( 2) 试题分析:( 1)分层抽样就是按比例抽样,根据从 “支持 A方案 ”的人中抽取的人数为 6,可确定抽样比为 ,则 n的的值为参与调查的总人数乘以 ;( 2)将 35岁以下

8、的 4人标记为 1,2,3,4,将 35岁以上的 1人标记为 a,列出所有的基本事件,共 10种,计算事件 “恰好有 1人在 35岁以上(含 35岁) ”所包含的基本事件总数,代入古典概型的概率计算公式即可 ( 1)根据分层抽样按比例抽取,所以,解得 ( 2) 35岁以下: (人) 35岁以上: (人) 设:将 35岁以下的 4人标记为 1,2,3,4,将 35岁以上的 1人标记为 a,所有基本事件为: 共 10种 . 其中满足条件得有 4种 .故 . 考点: 1、分层抽样; 2、古典概型 . 已知向量 ( 1)当 时,求 的值; ( 2)求函数 在 上的值域 . 答案:( 1) ;( 2)

9、试题分析:( 1)由向量共线的充要条件得, ,从而可求出,进而由正切的二倍角公式求 ;( 2)由已知条件得,利用向量坐标的数量积运算,得 ,利用正弦的二倍角公式和余弦的降幂公式,将函数 化为 的形式,再根据 ,得 的范围,再结合 的图象,求 的范围,进而求出函数 的值域 ( 1) , , ,故 ( 2), , , , , 的值域是 考点: 1、向量数量积的坐标运算; 2、正弦的二倍角公式和余弦的降幂公式; 3、三角函数的图象和性质 . 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD是等腰梯形, AB CD, DAB= 60, FC 平面 ABCD, AE BD, CB= CD= CF ( 1)求证:

10、BD 平面 AED; ( 2)求二面角 FBDC 的正切值 答案:( 1)详见;( 2) 2. 试题分析:( 1)要证明直线和平面垂直,只需证明直线和平面内的两条相交直线垂直由已知得 ,故只需证明 ,在 中,由余弦定理得 的关系,即 的关系确定,在 中,结合已知条件可判定 是直角三角形,且 ,从而可证明 BD 平面AED;( 2)求二面角 ,可先找后求,过 作 ,由已知FC 平面 ABCD,得 面 ,故 , ,故 为二面角 FBDC 的平面角,在 中计算 ( 1)在等腰梯形 ABCD中, AB CD, DAB= 60, ,由余弦定理可知, ,即 ,在 中, ,则 是直角三角形,且 ,又 ,且,

11、故 BD 平面 AED ( 2)过 作 ,交 于点 ,因为 FC 平面 ABCD, 面,所以 ,所以 面 ,因此 , ,故 为二面角 FBDC 的平面角 . 在 中, ,可得 因此 . 即二面角 FBDC 的正切值为 2. 考点: 1、直线和平面垂直的判定; 2、二面角 . 数列 的前 n项和为 , ,且对任意的 均满足. ( 1)求数列 的通项公式; ( 2)若 , , ( ),求数列 的前 项和 . 答案:( 1) ;( 2) 试题分析:( 1)涉及 与 的递推式,往往有两种处理办法,转化为 的递推式,或者转化为 的递推式本题 与 作差,得, ,又 ,故 ( 2)求数列前 n项和,首先研究

12、其通项公式,根据通项公式的不同形式,选择相应的求和方法本题中, ,故考虑错位相减法求和方法, ,两式作差即可求 ( 1) , , - 得,即 , ,所以数列 从第二项开始是公比为 3的等比数列, , , ,故当 时, ,所以 ( 2) 时, ;又 ,故 . , ,两式作差得, ,所以 考点: 1、递推公式; 2、错位相减法 . 已知抛物线 上有一点 到焦点 的距离为 . ( 1)求 及 的值 . ( 2)如图,设直线 与抛物线交于两点 ,且,过弦 的中点 作垂直于 轴的直线与抛物线交于点 ,连接.试判断 的面积是否为定值?若是,求出定值;否则,请说明理由 . 答案:( 1) , ;( 2)是,

13、 . 试题分析:( 1)由抛物线定义得, ,求 ,从而抛物线方程确定,将点 代入抛物线方程,可确定 ;( 2)将抛物线方程 与直线方程 联立,得 ,由已知 ,得关于 的等式 ,由已知条件 的面积可表示为,再结合 ,可证明其值等于 ( 1)焦点 , , ,代入 ,得 ( 2)联立 ,得 , ,即 , , , , , , 的面积 考点: 1、抛物线的定义; 2、直线和抛物线的位置关系 . 已知函数 . ( 1)当 时,求函数 的单调区间; ( 2)当 时,函数 图象上的点都在 所表示的平面区域内,不等式 恒成立,求实数 的取值范围 来源 :学科 答案:( 1)单调递增区间为 ;递减区间为 ;( 2

14、) 试题分析:( 1)先求 ,解不等式 ,并和定义域求交集,得单调递增区间;解不等式 ,并和定义域求交集,得单调递减区间;( 2)构造函数 ,由题意得, ,求 ,并解 的根,讨论根与定义域的位置关系,若根在定义域外,则 函数单调,利用单调性求函数的最大值;若根是内点,则将定义域分段,分别考虑导函数符号,判断函数的大致图象,并求最大值 ( 1)当 时, ,由 ,得 ;由 ,得 ,故函数 的单调递增区间为 ;递减区间为 ( 2)因为函数 图像上的点都在 所表示的平面区域内,则当时,不等式 恒成立,即 恒成立,设,只需 即可 .由 , ( )当 时, ,故 ,则函数 在 上单调递减,故 成立,( )当 时,令 ,得 , 若,即 ,函数 在区间 单调递增, 时,此时不满足条件, 若 ,即 时,则函数 在上单调递减,在区间 单调递增,故当 时,此时不满足条件, 当 是,由 ,因为 ,所以 ,所以 ,故函数 在 上单调递减,故 成立 . 综上所述,实数 a的取值范围是 . 考点: 1、利用导数求函数的最值; 2、利用导数判断函数的单调性

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