1、2014届湖南省长沙市高考二模文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ,则 等于（ ） A -1,0,1 B 1 C -1,1 D 0,1 答案： B 试题分析：由已知得， ，故 考点： 1、指数不等式解法； 2、集合的运算 . 已知 ，满足 ， ，则在区间 上的最大值与最小值之和为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由 得， ，故函数 的周期为 ，所以 ， ，又 得， ，故 ，所以 ，因为 ， 所以 ， ， ，故 在区间上的最大值与最小值之和为 考点： 1、三角函数的图象和性质； 2、三角函数的最值 . 在 中， D为 AB边上一点， ， ，则 =（ ） A B C D 答
2、案： B 试题分析：由已知得， ，故,故 考点： 1、平面向量基本定理； 2、向量加法的三角形法则 . 设双曲线 ，离心率 ，右焦点 方程的两个实数根分别为 ，则点 与圆 的位置关系（ ） A在圆外 B在圆上 C在圆内 D不确定 答案： C 试题分析：因为离心率 ，故 ，所以 ， ，故 ，故 在圆内 考点： 1、双曲线的简单几何性质； 2、点和圆的位置关系 . 中，角 的对边分别为 ，则 “ ”是 “ 是等腰三角形 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析： 当 时，由余弦定理得， ，故，即 ，所以 是等腰三角形，反之，当 是
3、等腰三角形时等腰三角形时，不一定有 ，故 “ ”是 “ 是等腰三角形 ”的充分不必要条件 考点： 1、余弦定理； 2、充分必要条件 . 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：程序在执行过程中， 的值依次为： ； ； ； ； ，程序结束，输出 考点：程序框图 . 等比数列 中 ，公比 ，记 （即 表示数列的前 n项之积）， 中值最大的是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由 ， ，故当 n 为奇数时， ；当 n 为偶数时，所以 ， ，又 ，且 ，故 ，综上所述，最大的是 . 考点：等比数列的性质 . 一平面截一球得到直径为 cm的圆面
4、，球心到这个平面的距离是 2 cm，则该球的体积是（ ） A 12 cm3 B 36cm3 C cm3 D cm3 答案： B 试题分析：因为球心和截面圆心的连线垂直于截面，由勾股定理得，球半径，故球的体积为 考点： 1、球的截面性质； 2、球的体积 . 已知 ，则下列关系中正确的是（ ） A abc B bac C acb D cab 答案： A 试题分析：由已知得， ， ，故 abc 考点：指数函数的图象和性质 . 复数 =（ ） A -4+ 2i B 4- 2i C 2- 4i D 2+4i 答案： A 试题分析：由已知得， = 考点：复数的运算 . 填空题 巳知函数 分别是二次函数 和
5、三次函数 的导函数，它们在同一坐标系内的图象如图所示 . （ 1）若 ，则 ； （ 2）设函数 ，则 的大小关系为 (用 “”连接） . 答案：（ 1） 1；（ 2） 试题分析：由 的图象，可设 ，故 ， ，又 ， ，故， ，因为 是偶函数，故 ； 所以 ，则 ， ，所以 考点： 1、导函数； 2、函数的奇偶性 已知圆 M： ，在圆 M上随机取两点 A、 B，使 的概率为 . 答案： 试题分析：设 ，当 时，取线段 的中点 ，则 ，在 中， ，故 ，即 ，故 的概率为 考点：几何概型 . 若 x， y满足约束条件 ，则 的最大值为 . 答案： 试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数变形为
6、，当 取到最大值时，直线 的纵截距最大，即将直线 经过可行域，尽可能向上移动到点 时， 考点：线性规划 . 一组样本数据的茎叶图如右： ，则这组数据的平均数等于 . 答案： 试题分析：由茎叶图知，这组数据分别为 ，故平均数为 考点： 1、茎叶图； 2、平均数 . 极坐标方程为 的圆与参数方程 的直线的位置关系是 . 答案：相交 试题分析 :圆的直角坐标方程为 ，直线的普通方程为 ，故圆心 在直线 上，所以直线和圆相交 考点： 1、圆的极坐标方程； 2、直线的参数方程 . 解答题 某网站针对 “2014年法定节假日调休安排 ”展开的问卷调查，提出了 A、 B、C三种放假方案，调查结果如下： 支持
7、 A方案 支持 B方案 支持 C方案 35岁以下 200 400 800 35岁以上（含 35岁） 100 100 400 （ 1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取 n个人，已知从 “支持 A方案 ”的人中抽取了 6人，求 n的值； （ 2）在 “支持 B方案 ”的人中，用分层抽样的方法抽取 5人看作一个总体，从这5人中任意选取 2人，求恰好有 1人在 35岁以上（含 35岁）的概率 . 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）分层抽样就是按比例抽样，根据从 “支持 A方案 ”的人中抽取的人数为 6，可确定抽样比为 ，则 n的的值为参与调查的总人数乘以 ；（ 2）将 35岁以下
8、的 4人标记为 1,2,3,4，将 35岁以上的 1人标记为 a，列出所有的基本事件，共 10种，计算事件 “恰好有 1人在 35岁以上（含 35岁） ”所包含的基本事件总数，代入古典概型的概率计算公式即可 （ 1）根据分层抽样按比例抽取，所以，解得 （ 2） 35岁以下： （人） 35岁以上： （人） 设：将 35岁以下的 4人标记为 1,2,3,4，将 35岁以上的 1人标记为 a，所有基本事件为： 共 10种 . 其中满足条件得有 4种 .故 . 考点： 1、分层抽样； 2、古典概型 . 已知向量 （ 1）当 时，求 的值； （ 2）求函数 在 上的值域 . 答案：（ 1） ；（ 2）
9、试题分析：（ 1）由向量共线的充要条件得， ，从而可求出，进而由正切的二倍角公式求 ；（ 2）由已知条件得，利用向量坐标的数量积运算，得 ，利用正弦的二倍角公式和余弦的降幂公式，将函数 化为 的形式，再根据 ，得 的范围，再结合 的图象，求 的范围，进而求出函数 的值域 （ 1） ， ， ，故 （ 2）， ， ， ， ， 的值域是 考点： 1、向量数量积的坐标运算； 2、正弦的二倍角公式和余弦的降幂公式； 3、三角函数的图象和性质 . 在如图所示的几何体中，四边形 ABCD是等腰梯形， AB CD， DAB= 60， FC 平面 ABCD， AE BD， CB= CD= CF （ 1）求证：
10、BD 平面 AED； （ 2）求二面角 FBDC 的正切值 答案：（ 1）详见；（ 2） 2. 试题分析：（ 1）要证明直线和平面垂直，只需证明直线和平面内的两条相交直线垂直由已知得 ，故只需证明 ，在 中，由余弦定理得 的关系，即 的关系确定，在 中，结合已知条件可判定 是直角三角形，且 ，从而可证明 BD 平面AED；（ 2）求二面角 ，可先找后求，过 作 ，由已知FC 平面 ABCD，得 面 ，故 ， ，故 为二面角 FBDC 的平面角，在 中计算 （ 1）在等腰梯形 ABCD中， AB CD， DAB= 60， ，由余弦定理可知， ，即 ，在 中， ，则 是直角三角形，且 ，又 ，且，
11、故 BD 平面 AED （ 2）过 作 ，交 于点 ，因为 FC 平面 ABCD， 面，所以 ，所以 面 ，因此 ， ，故 为二面角 FBDC 的平面角 . 在 中， ，可得 因此 . 即二面角 FBDC 的正切值为 2. 考点： 1、直线和平面垂直的判定； 2、二面角 . 数列 的前 n项和为 ， ，且对任意的 均满足. （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）若 , , （ ），求数列 的前 项和 . 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）涉及 与 的递推式，往往有两种处理办法，转化为 的递推式，或者转化为 的递推式本题 与 作差，得， ，又 ，故 （ 2）求数列前 n项和，首先研究
12、其通项公式，根据通项公式的不同形式，选择相应的求和方法本题中， ，故考虑错位相减法求和方法， ，两式作差即可求 （ 1） ， ， - 得，即 ， ，所以数列 从第二项开始是公比为 3的等比数列， ， ， ，故当 时， ，所以 （ 2） 时， ；又 ，故 . ， ，两式作差得， ，所以 考点： 1、递推公式； 2、错位相减法 . 已知抛物线 上有一点 到焦点 的距离为 . （ 1）求 及 的值 . （ 2）如图，设直线 与抛物线交于两点 ，且,过弦 的中点 作垂直于 轴的直线与抛物线交于点 ，连接.试判断 的面积是否为定值？若是，求出定值；否则，请说明理由 . 答案：（ 1） ， ；（ 2）是，
13、 . 试题分析：（ 1）由抛物线定义得， ，求 ，从而抛物线方程确定，将点 代入抛物线方程，可确定 ；（ 2）将抛物线方程 与直线方程 联立，得 ，由已知 ，得关于 的等式 ，由已知条件 的面积可表示为，再结合 ，可证明其值等于 （ 1）焦点 ， ， ，代入 ，得 （ 2）联立 ，得 ， ，即 ， ， ， ， ， ， 的面积 考点： 1、抛物线的定义； 2、直线和抛物线的位置关系 . 已知函数 . （ 1）当 时，求函数 的单调区间； （ 2）当 时，函数 图象上的点都在 所表示的平面区域内，不等式 恒成立，求实数 的取值范围 来源 :学科 答案：（ 1）单调递增区间为 ；递减区间为 ；（ 2
14、） 试题分析：（ 1）先求 ，解不等式 ，并和定义域求交集，得单调递增区间；解不等式 ，并和定义域求交集，得单调递减区间；（ 2）构造函数 ，由题意得， ，求 ，并解 的根，讨论根与定义域的位置关系，若根在定义域外，则 函数单调，利用单调性求函数的最大值；若根是内点，则将定义域分段，分别考虑导函数符号，判断函数的大致图象，并求最大值 （ 1）当 时， ，由 ，得 ；由 ，得 ，故函数 的单调递增区间为 ；递减区间为 （ 2）因为函数 图像上的点都在 所表示的平面区域内，则当时，不等式 恒成立，即 恒成立，设，只需 即可 .由 ， （ ）当 时， ，故 ，则函数 在 上单调递减，故 成立，（ ）当 时，令 ，得 ， 若，即 ，函数 在区间 单调递增， 时，此时不满足条件， 若 ，即 时，则函数 在上单调递减，在区间 单调递增，故当 时，此时不满足条件， 当 是，由 ，因为 ，所以 ，所以 ，故函数 在 上单调递减，故 成立 . 综上所述，实数 a的取值范围是 . 考点： 1、利用导数求函数的最值； 2、利用导数判断函数的单调性
