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高中数学圆锥曲线总结.doc

1、数学圆锥曲线 总结 1、 圆锥曲线的两个定义 : ( 1)第一定义中要重视 “ 括号 ” 内的限制条件 : 椭圆中 ,与两个定点 F , F 的距离的和等于常数 ,且此 常数 一定要大于 ,当常数等于 时,轨迹是线段 F F ,当常数小于 时,无轨迹; 双曲线中 ,与两定点 F , F 的距离的差的绝对值等于常数 ,且此常数 一定要小于 |F F |,定义中的 “绝对值”与 |F F |不可忽视 。若 |F F |,则轨迹是以 F , F 为端点的两条射线,若 |F F |,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 ( 2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且

2、 “ 点点距为分子、点线距为分母 ”,其商即是离心率 。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此 点到相应准线距离间的关系,要善于 运用第二定义对它们进行相互转化 。 Attention: ( 1) 在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点 F ,F 的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数 ,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向;( 2)在椭圆中, 最大, ,在双曲线中, 最大, 。 4.圆锥曲线的几何性质 : ( 1) 椭圆 (以 ( )为例):范围: ;焦点:两

3、个焦点 ;对称性:两条对称轴 ,一个对称中心( 0,0),四个顶点 ,其中长轴长为 2 ,短轴长为 2 ;准线:两条准线 ; 离心率: ,椭圆 , 越小,椭圆越圆; 越大,椭圆越扁。 ( 2) ( 2) 双曲线 (以 ( )为例):范围: 或;焦点:两个焦点 ;对称性:两条对称轴 ,一个对称中心( 0,0),两个顶点 ,其中实轴长为 2 ,虚轴长为2 ,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为 ;准线:两条准线 ; 离心率: ,双曲线 , 等轴双 曲线 , 越小,开口越小, 越大,开口越大;两条渐近线: 。 ( 3) 抛物线 (以 为例):范围: ;焦点:一个焦点 ,其中

4、的几何意义是:焦点到准线的距离;对称性:一条对称轴 ,没有对称中心,只有一个顶点( 0,0);准线:一条准线; 离心率: ,抛物线 。 5、点 和椭圆 ( )的关系 :( 1)点 在椭圆外 ;( 2)点 在椭圆上 1;( 3)点在椭圆内 6 直线与圆锥曲线的位置关系 : ( 1) 相交: 直线与椭圆相交; 直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有 ,当直线与双曲线的 渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故 是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件; 直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有 ,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故 也仅是直线与抛

5、物线相交的充分条件,但不是必要条件。 Attention: ( 1) 直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时 ,直线与双曲线相交 ,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时 ,直线与抛物线相交 ,也只有一个交点; ( 2) 过双曲线 1 外一点 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下: P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条; P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域 内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条; P在两条渐近线上但非原点

6、,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线; P 为原点时不存在这样的直线; ( 2) 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。 7、焦半径 (圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离) 的计算方法 :利用圆锥曲线的第二定义,转化到相应准线的距离,即焦半径 ,其中 表示 P 到与 F所对应的准线的距离。 8、焦点三角形 (椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形) 问题 :常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点 到两焦点的距离分别为 ,焦点 的面积为 ,则在椭圆 中, ,且当 即 为短轴端点时, 最大为 ; ,当 即

7、 为短轴端点时, 的最大值为 bc;对于双曲线 的焦点三角形有: ; 。 9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质 :( 1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;( 2)设 AB为焦点弦, M为准线与 x轴的交点,则 AMF BMF;( 3)设 AB为焦点弦, A、 B在准线上的射影分别为 A , B ,若 P为 A B的中点,则 PA PB;( 4)若 AO的延长线交准线于 C,则 BC平行于 x 轴,反之,若过 B点平行于 x轴的直线交准线于 C点,则 A, O, C三点共线。 10、弦长公式 :若直线 与圆锥曲线相交于两点 A、 B,且 分别为 A、B的横坐标,则 ,若 分别为 A、

8、B的纵坐标,则 ,若弦 AB所在直线方程设为 ,则 。特别地,焦点弦(过焦点的弦):焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。 11、圆锥曲线的中点弦问题: 遇到中点弦 问题常用 “韦达定理”或“点差法” 求解。在 椭圆 中,以 为中点的弦所在 直线的斜率 k= ;在双曲线 中,以 为中点的弦所在直线的斜率 k= ;在抛物线 中,以 为中点的弦所在直线的斜率 k= 。 Attention: 因为 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验 ! 12 重要结论: ( 1)双曲线 的渐近线方程为 ; ( 2)以 为渐近线(即与双曲线 共渐近线)的双曲线方程为为参数, 0 )。 如 与双曲线 有共同的渐近线,且过点 的双曲线方程为 _(答:) ( 3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 ; ( 4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为 ,焦准距(焦点到相应准线的距离)为 ,抛物线的通径为 ,焦准距为 ; ( 5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦; ( 6 ) 若 抛 物 线 的 焦 点 弦 为 AB , ,则 ; ( 7)若 OA、 OB 是过抛物线 顶点 O 的两条互相垂直的弦,则直线 AB恒经过定点

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