1、数学圆锥曲线 总结 1、 圆锥曲线的两个定义 ： （ 1）第一定义中要重视 “ 括号 ” 内的限制条件 ： 椭圆中 ，与两个定点 F ， F 的距离的和等于常数 ，且此 常数 一定要大于 ，当常数等于 时，轨迹是线段 F F ，当常数小于 时，无轨迹； 双曲线中 ，与两定点 F ， F 的距离的差的绝对值等于常数 ，且此常数 一定要小于 |F F |，定义中的 “绝对值”与 |F F |不可忽视 。若 |F F |，则轨迹是以 F ， F 为端点的两条射线，若 |F F |，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 （ 2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且
2、 “ 点点距为分子、点线距为分母 ”，其商即是离心率 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此 点到相应准线距离间的关系，要善于 运用第二定义对它们进行相互转化 。 Attention： （ 1） 在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点 F ，F 的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数 ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（ 2）在椭圆中， 最大， ，在双曲线中， 最大， 。 4.圆锥曲线的几何性质 ： （ 1） 椭圆 （以 （ ）为例）：范围： ；焦点：两
3、个焦点 ；对称性：两条对称轴 ，一个对称中心（ 0,0），四个顶点 ，其中长轴长为 2 ，短轴长为 2 ；准线：两条准线 ； 离心率： ，椭圆 ， 越小，椭圆越圆； 越大，椭圆越扁。 （ 2） （ 2） 双曲线 （以 （ ）为例）：范围： 或；焦点：两个焦点 ；对称性：两条对称轴 ，一个对称中心（ 0,0），两个顶点 ，其中实轴长为 2 ，虚轴长为2 ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 ；准线：两条准线 ； 离心率： ，双曲线 ， 等轴双 曲线 ， 越小，开口越小， 越大，开口越大；两条渐近线： 。 （ 3） 抛物线 （以 为例）：范围： ；焦点：一个焦点 ，其中
4、的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴 ，没有对称中心，只有一个顶点（ 0,0）；准线：一条准线； 离心率： ，抛物线 。 5、点 和椭圆 （ ）的关系 ：（ 1）点 在椭圆外 ；（ 2）点 在椭圆上 1；（ 3）点在椭圆内 6 直线与圆锥曲线的位置关系 ： （ 1） 相交： 直线与椭圆相交； 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有 ，当直线与双曲线的 渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故 是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件； 直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有 ，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故 也仅是直线与抛
5、物线相交的充分条件，但不是必要条件。 Attention： （ 1） 直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时 ,直线与双曲线相交 ,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时 ,直线与抛物线相交 ,也只有一个交点； （ 2） 过双曲线 1 外一点 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下： P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条； P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域 内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条； P在两条渐近线上但非原点
6、，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线； P 为原点时不存在这样的直线； （ 2） 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。 7、焦半径 （圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离） 的计算方法 ：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径 ，其中 表示 P 到与 F所对应的准线的距离。 8、焦点三角形 （椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形） 问题 ：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点 到两焦点的距离分别为 ，焦点 的面积为 ，则在椭圆 中， ，且当 即 为短轴端点时， 最大为 ； ，当 即
7、 为短轴端点时， 的最大值为 bc；对于双曲线 的焦点三角形有： ； 。 9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质 ：（ 1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（ 2）设 AB为焦点弦， M为准线与 x轴的交点，则 AMF BMF；（ 3）设 AB为焦点弦， A、 B在准线上的射影分别为 A ， B ，若 P为 A B的中点，则 PA PB；（ 4）若 AO的延长线交准线于 C，则 BC平行于 x 轴，反之，若过 B点平行于 x轴的直线交准线于 C点，则 A， O， C三点共线。 10、弦长公式 ：若直线 与圆锥曲线相交于两点 A、 B，且 分别为 A、B的横坐标，则 ，若 分别为 A、
8、B的纵坐标，则 ，若弦 AB所在直线方程设为 ，则 。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。 11、圆锥曲线的中点弦问题： 遇到中点弦 问题常用 “韦达定理”或“点差法” 求解。在 椭圆 中，以 为中点的弦所在 直线的斜率 k= ；在双曲线 中，以 为中点的弦所在直线的斜率 k= ；在抛物线 中，以 为中点的弦所在直线的斜率 k= 。 Attention： 因为 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验 ！ 12 重要结论： （ 1）双曲线 的渐近线方程为 ； （ 2）以 为渐近线（即与双曲线 共渐近线）的双曲线方程为为参数， 0 ）。 如 与双曲线 有共同的渐近线，且过点 的双曲线方程为 _（答：） （ 3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 ； （ 4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为 ，焦准距（焦点到相应准线的距离）为 ，抛物线的通径为 ，焦准距为 ； （ 5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦； （ 6 ） 若 抛 物 线 的 焦 点 弦 为 AB ， ，则 ； （ 7）若 OA、 OB 是过抛物线 顶点 O 的两条互相垂直的弦，则直线 AB恒经过定点
