1、2017 年考研(数学二)真题试卷及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 若函数 f(x)= 在 x=0 处连续,则( )(A)ab=1 2(B) ab=-(C) ab=0(D)ab=22 设二阶可导函数 f(x)满足 f(1)=f(-1)=1,f(0)=-1 且 f“(x)0,则( )(A) -11f(x)dx0(B) -11f(x)dx0(C) -10f(x)dx 01f(x)dx(D) -10f(x)dx 01f(x)dx3 设数列x n收敛,则( )4 微分方程 y“-4y+8y=e2x(1+cos2x)的特解可设为 yk=( )(A)Ae 2x+
2、e2x(Bcos2x+Csin2x)(B) Axe2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)(C) Ae2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)(D)Axe 2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)5 设 f(x,y)具有一阶偏导数,且对任意的(x ,y),都有 0,则( )(A)f(0,0)f(1 ,1)(B) f(0,0)f(1 ,1)(C) f(0,1)f(1 ,0)(D)f(0,1)f(1 ,0)6 甲、乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方 10(单位:m)处,图中实线表示甲的速度曲线 v=v1(t)(单位:ms),虚线表示乙的速度曲线 v=v2(t),三块阴影部分面积的数值依次
3、为 10,20,3 计时开始后乙追上甲的时刻记为 t0(单位:s) ,则( )(A)t 0=10(B) 15t 020(C) t0=25(D)t 0257 设 A 为三阶矩阵,P=( 1, 2, 3)为可逆矩阵,使得 P-1AP= ,则A(1, 2, 3)=( )(A) 1+2(B) 2+23(C) 2+3(D) 1+228 已知矩阵 A= ,则( )(A)A 与 C 相似,B 与 C 相似(B) A 与 C 相似,B 与 C 不相似(C) A 与 C 不相似,B 与 C 相似(D)A 与 C 不相似,B 与 C 不相似二、填空题9 曲线 y=x(1+arcsin )的斜渐近线方程为_10 设
4、函数 y=y(x)由参数方程 确定,则 d2ydx 2=|t=0_11 0+ dx=_12 设函数 f(x,y)具有一阶连续偏导数,且 af(x,y)=ye ydx+x(1+y)eydy,f(0,0)=0,则 f(x, y)=_13 01dyy1 dx=_14 设矩阵 A= 的一个特征向量为 ,则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 设函数 f(u,v)具有 2 阶连续偏导数,y=f(e x,cosx),求dydx| x=0,d 2ydx 2|x=017 18 已知函数 y(x)由方程 x3+y3-3x+3y-2=0 确定,求 y(x)的极值18 设函数 f(x
5、)在区间0, 1上具有 2 阶导数,f(1) 0, 0,证明:19 方程 f(x)=0 在区间(0,1)至少存在一个实根;20 方程 f(x)+f“(x)+f(x)2=0 在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根21 已知平面区域 D=(x,y)|x 2+y22y,计算二重积分 (x+1)2dxdy22 设 y(x)是区间 (0,32)内的可导函数,且 y(1)=0,点 P 是曲线 L:y=y(x)上的任意一点,L 在点 P 处的切线与 y 轴相交于点(0,Y P),法线与 x 轴相交于点(X p,0),若 XP=yP,求 L 上点的坐标(X,Y) 满足的方程22 设 3 阶矩阵 A=(1,
6、2 3)有 3 个不同的特征值,且 3=1+2223 证明:r(A)=2;24 若 =1+2+3,求方程组 Ax= 的通解25 设二次型 f(x1,x 2,x 3)=2x12-x22+ax32+2x1x2-8x1x3+2x2x3 在正交变换 x=Oy 下的标准型为 1y12+2y22,求 a 的值及一个正交矩阵 Q2017 年考研(数学二)真题试卷答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 =12a,f(x)在 x=0 处连续,12a=b ab=12,选 A2 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)为偶函数时满足题设条件,此时 -1
7、0f(x)dx=01f(x)dx,排除C,D取 f(x)=2x2-1 满足条件,则 -11f(x)dx=-11(2x2-1)dx=- 0,选 B3 【正确答案】 D【试题解析】 特值法:A 取 xn=,有 xn=,A 错;取 xn=-1,排除B,C所以选 D4 【正确答案】 C【试题解析】 特征方程为: 2-4+8=0 12 =22if(x)=e2x(1+cos2x)=e2x+e2xcos2x, y1*=Ae2x,y 2*=xe2x(Bcos2x+Csin2x),故特解为:y*=y1*+y2*=Ae2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x),选 C5 【正确答案】 D【试题解析】 f(x,y
8、)是关于 y 的单调递减函数,所以有 f(0,1)f(1,1)f(1 ,0) ,故答案选 D6 【正确答案】 C【试题解析】 从 0 到 t0 这段时间内甲乙的位移分别为 0t0v1(t)dt, 0t0v2(t)dt,则乙要追上甲,则 0t0v2(t)dt-v1(t)dt=10,当 t0=25 时满足,故选 C7 【正确答案】 B【试题解析】 P -1AP= A(1, 2, 3)=(1, 2, 3) =2+23,因此 B 正确8 【正确答案】 B【试题解析】 由|E-A|=0 可知 A 的特征值为 2,2,1,因为 3-r(2E-A)=1,A 可相似对角化,即 A 由|E-B|=0 可知 B
9、特征值为 2,2,1因为 3-r(2E-B)=2, B 不可相似对角化,显然 C 可相似对角化,AC ,但 B 不相似于 C二、填空题9 【正确答案】 y=x+2【试题解析】 =2,y=x+210 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 1【试题解析】 12 【正确答案】 xye y【试题解析】 f x=yey,f y1=x(1+y)ey,f(x,y)=ye ydx=xyey+c(y), 故fy=xey+xyey+c(y)=xey+xyey,故 c(y)=0,即 c(y)=c,由 f(0,0)=0,即 f(x,y) =xyey13 【正确答案】 lncos1【试题解析】 01dyy1
10、dx=01dx0x dy=01tanxdx=lncos114 【正确答案】 -1【试题解析】 设 = ,由题设知 A=,故 (1 1 2)T=(1 1 2)T故 a=1三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 dt,令 x-t=u,则有16 【正确答案】 y=f(e x,cosx) y(0)=f(1,1) dydx| x=0=f1ex+f2(-sinx)|x=0=f1(1,1)1+f 2(1,1)0=f 1(1,1) d2ydx 2=f11e2x+f12ex(-sinx)+f21ex(-sinx)+f22sin2x+f1ex-f2cosx d2ydx 2|x=0=f
11、11(1,1)+f 1(1,1)-f 2(1,1)17 【正确答案】 =01xln(1+x)dx= 01ln(1+x)dx2= (ln(1+x)x 2|01-01 dx)=1418 【正确答案】 两边求导得:3x 2+3y2y-3+3y=0 (1)令 y=0 得 x=1 对(1)式两边关于 x 求导得 6x+6y(y)2+3y2y“+3y“=0 (2)将 x1 代入原题给的等式中,得将 x=1,y=1 代入(2)得 y“(1)=-10 将 x=-1,y=0 代入(2)得 y“(-1)=20故 x=1 为极大值点, y(1)=1;x=-1 为极小值点,y(-1)=019 【正确答案】 f(x)二
12、阶导数,f(1) 0, 由于 0,根据极限的保号性得 0, x(0,)有 f(x)x0,即 f(x)0 进而 x0(0,),有 f()0又由于 f(x)在,1上连续,由 f()0,f(1)0 根据零点定理得:至少存在一点(, 1),使 f()=0,即得证20 【正确答案】 由上可知 f(0)=0, (0,1),使 f()=0,令 F(x)=f(x)f(x),则f(0)=f()=021 【正确答案】 (x+1)2dxdy= (x2+1)dxdy=2 x2dxdy+ dxdy=202 d02sinr2cos2d+=5422 【正确答案】 设 p(x,y(x) 的切线 Y-y(x)=y(x)=y(x
13、)(X-x),令 X=0 得 Yp=y(x)-y(x)x,法线 Y-y(x)=- (X-x)令 Y=0 得 Xp=x+y(x)y(x)。由 Xp=Yp 得 y-xy(x)=x+yy(X),即 -1,令 yx=u,则 y=ux,按照齐次微分方程的解法不难解出 ln(u2+1)+arctanu=-ln|x|+C23 【正确答案】 由 3=1+2a2 可得 1+22-3=0,即 1, 2, 3 线性相关,因此,|A|=|123|=0,即 A 的特征值必有 0又因为 A 有三个不同的特征值,则三个特征值中只有 1 个 0,另外两个非 0且由于 A 必可相似对角化,则可设其对角矩阵为, 120r(A)=
14、r( )=224 【正确答案】 由 r(A)=2,知 3-r(A)=1,即 Ax=0 的基础解系只有 1 个解向量,由 1+22-3=0 可得( 1, 2, 3) =0,则 Ax=0 的基础解系为 又=1+2+3,即 (1, 2, 3) =,则 Ax= 的一个特解为 综上,Ax= 的通解为 k ,kR 25 【正确答案】 f(x 1,x 2,x 3)=XTAX,其中 A= 由于 f(x1,x 2,x 3)=XTAX 经正交变换后,得到的标准形为 1y12+2y22,故 r(A)=2a=2,将 a=2 代入,满足 r(A)=2,因此 a=2 符合题意,此时A= ,则|E-A|= 1=-3, 2=0, 3=6,由(-3E-A)x=0 ,可得 A 的属于特征值-3 的特征向量为 1= 由(6E-A)x=0,可得 A 的属于特征值 6的特征向量为 2= 由(0E-A)x=0,可得 A 的属于特征值 0 的特征向量为 3=令 P=(1, 2, 3),则 P-1AP= ,由于 1, 2, 3 彼此正交,故只需单位化即可: 1= (1,-1 ,1) T, 2= (-1,0,1) T, 3= (1,2,1) T,则 Q=(123)=,Q TAQ=
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