1、2017 年考研（数学二）真题试卷及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若函数 f(x)= 在 x=0 处连续，则( )（A）ab=1 2（B） ab=-（C） ab=0（D）ab=22 设二阶可导函数 f(x)满足 f(1)=f(-1)=1，f(0)=-1 且 f“(x)0，则( )（A） -11f(x)dx0（B） -11f(x)dx0（C） -10f(x)dx 01f(x)dx（D） -10f(x)dx 01f(x)dx3 设数列x n收敛，则( )4 微分方程 y“-4y+8y=e2x(1+cos2x)的特解可设为 yk=( )（A）Ae 2x+
2、e2x(Bcos2x+Csin2x)（B） Axe2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)（C） Ae2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)（D）Axe 2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)5 设 f(x，y)具有一阶偏导数，且对任意的(x ，y)，都有 0，则( )（A）f(0，0)f(1 ，1)（B） f(0，0)f(1 ，1)（C） f(0，1)f(1 ，0)（D）f(0，1)f(1 ，0)6 甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10(单位：m)处，图中实线表示甲的速度曲线 v=v1(t)(单位：ms)，虚线表示乙的速度曲线 v=v2(t)，三块阴影部分面积的数值依次
3、为 10，20，3 计时开始后乙追上甲的时刻记为 t0(单位：s) ，则( )（A）t 0=10（B） 15t 020（C） t0=25（D）t 0257 设 A 为三阶矩阵，P=( 1， 2， 3)为可逆矩阵，使得 P-1AP= ，则A(1， 2， 3)=( )（A） 1+2（B） 2+23（C） 2+3（D） 1+228 已知矩阵 A= ，则( )（A）A 与 C 相似，B 与 C 相似（B） A 与 C 相似，B 与 C 不相似（C） A 与 C 不相似，B 与 C 相似（D）A 与 C 不相似，B 与 C 不相似二、填空题9 曲线 y=x(1+arcsin )的斜渐近线方程为_10 设
4、函数 y=y(x)由参数方程 确定，则 d2ydx 2=|t=0_11 0+ dx=_12 设函数 f(x，y)具有一阶连续偏导数，且 af(x，y)=ye ydx+x(1+y)eydy，f(0，0)=0，则 f(x， y)=_13 01dyy1 dx=_14 设矩阵 A= 的一个特征向量为 ，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 设函数 f(u，v)具有 2 阶连续偏导数，y=f(e x，cosx)，求dydx| x=0，d 2ydx 2|x=017 18 已知函数 y(x)由方程 x3+y3-3x+3y-2=0 确定，求 y(x)的极值18 设函数 f(x
5、)在区间0， 1上具有 2 阶导数，f(1) 0， 0，证明：19 方程 f(x)=0 在区间(0，1)至少存在一个实根；20 方程 f(x)+f“(x)+f(x)2=0 在区间(0，1)内至少存在两个不同的实根21 已知平面区域 D=(x，y)|x 2+y22y，计算二重积分 (x+1)2dxdy22 设 y(x)是区间 (0，32)内的可导函数，且 y(1)=0，点 P 是曲线 L：y=y(x)上的任意一点，L 在点 P 处的切线与 y 轴相交于点(0，Y P)，法线与 x 轴相交于点(X p，0)，若 XP=yP，求 L 上点的坐标(X，Y) 满足的方程22 设 3 阶矩阵 A=(1，
6、2 3)有 3 个不同的特征值，且 3=1+2223 证明：r(A)=2；24 若 =1+2+3，求方程组 Ax= 的通解25 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12-x22+ax32+2x1x2-8x1x3+2x2x3 在正交变换 x=Oy 下的标准型为 1y12+2y22，求 a 的值及一个正交矩阵 Q2017 年考研（数学二）真题试卷答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 =12a，f(x)在 x=0 处连续，12a=b ab=12，选 A2 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)为偶函数时满足题设条件，此时 -1
7、0f(x)dx=01f(x)dx，排除C，D取 f(x)=2x2-1 满足条件，则 -11f(x)dx=-11(2x2-1)dx=- 0，选 B3 【正确答案】 D【试题解析】 特值法：A 取 xn=，有 xn=，A 错；取 xn=-1，排除B，C所以选 D4 【正确答案】 C【试题解析】 特征方程为： 2-4+8=0 12 =22if(x)=e2x(1+cos2x)=e2x+e2xcos2x， y1*=Ae2x，y 2*=xe2x(Bcos2x+Csin2x)，故特解为：y*=y1*+y2*=Ae2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)，选 C5 【正确答案】 D【试题解析】 f(x，y
8、)是关于 y 的单调递减函数，所以有 f(0，1)f(1，1)f(1 ，0) ，故答案选 D6 【正确答案】 C【试题解析】 从 0 到 t0 这段时间内甲乙的位移分别为 0t0v1(t)dt， 0t0v2(t)dt，则乙要追上甲，则 0t0v2(t)dt-v1(t)dt=10，当 t0=25 时满足，故选 C7 【正确答案】 B【试题解析】 P -1AP= A(1， 2， 3)=(1， 2， 3) =2+23，因此 B 正确8 【正确答案】 B【试题解析】 由|E-A|=0 可知 A 的特征值为 2，2，1，因为 3-r(2E-A)=1，A 可相似对角化，即 A 由|E-B|=0 可知 B
9、特征值为 2，2，1因为 3-r(2E-B)=2， B 不可相似对角化，显然 C 可相似对角化，AC ，但 B 不相似于 C二、填空题9 【正确答案】 y=x+2【试题解析】 =2，y=x+210 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 1【试题解析】 12 【正确答案】 xye y【试题解析】 f x=yey，f y1=x(1+y)ey，f(x，y)=ye ydx=xyey+c(y)， 故fy=xey+xyey+c(y)=xey+xyey，故 c(y)=0，即 c(y)=c，由 f(0，0)=0，即 f(x，y) =xyey13 【正确答案】 lncos1【试题解析】 01dyy1
10、dx=01dx0x dy=01tanxdx=lncos114 【正确答案】 -1【试题解析】 设 = ，由题设知 A=，故 (1 1 2)T=(1 1 2)T故 a=1三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 dt，令 x-t=u，则有16 【正确答案】 y=f(e x，cosx) y(0)=f(1，1) dydx| x=0=f1ex+f2(-sinx)|x=0=f1(1，1)1+f 2(1，1)0=f 1(1，1) d2ydx 2=f11e2x+f12ex(-sinx)+f21ex(-sinx)+f22sin2x+f1ex-f2cosx d2ydx 2|x=0=f
11、11(1，1)+f 1(1，1)-f 2(1，1)17 【正确答案】 =01xln(1+x)dx= 01ln(1+x)dx2= (ln(1+x)x 2|01-01 dx)=1418 【正确答案】 两边求导得：3x 2+3y2y-3+3y=0 (1)令 y=0 得 x=1 对(1)式两边关于 x 求导得 6x+6y(y)2+3y2y“+3y“=0 (2)将 x1 代入原题给的等式中，得将 x=1，y=1 代入(2)得 y“(1)=-10 将 x=-1，y=0 代入(2)得 y“(-1)=20故 x=1 为极大值点， y(1)=1；x=-1 为极小值点，y(-1)=019 【正确答案】 f(x)二
12、阶导数，f(1) 0， 由于 0，根据极限的保号性得 0， x(0，)有 f(x)x0，即 f(x)0 进而 x0(0，)，有 f()0又由于 f(x)在，1上连续，由 f()0，f(1)0 根据零点定理得：至少存在一点(， 1)，使 f()=0，即得证20 【正确答案】 由上可知 f(0)=0， (0，1)，使 f()=0，令 F(x)=f(x)f(x)，则f(0)=f()=021 【正确答案】 (x+1)2dxdy= (x2+1)dxdy=2 x2dxdy+ dxdy=202 d02sinr2cos2d+=5422 【正确答案】 设 p(x，y(x) 的切线 Y-y(x)=y(x)=y(x
13、)(X-x)，令 X=0 得 Yp=y(x)-y(x)x，法线 Y-y(x)=- (X-x)令 Y=0 得 Xp=x+y(x)y(x)。由 Xp=Yp 得 y-xy(x)=x+yy(X)，即 -1，令 yx=u，则 y=ux，按照齐次微分方程的解法不难解出 ln(u2+1)+arctanu=-ln|x|+C23 【正确答案】 由 3=1+2a2 可得 1+22-3=0，即 1， 2， 3 线性相关，因此，|A|=|123|=0，即 A 的特征值必有 0又因为 A 有三个不同的特征值，则三个特征值中只有 1 个 0，另外两个非 0且由于 A 必可相似对角化，则可设其对角矩阵为， 120r(A)=
14、r( )=224 【正确答案】 由 r(A)=2，知 3-r(A)=1，即 Ax=0 的基础解系只有 1 个解向量，由 1+22-3=0 可得( 1， 2， 3) =0，则 Ax=0 的基础解系为 又=1+2+3，即 (1， 2， 3) =，则 Ax= 的一个特解为 综上，Ax= 的通解为 k ，kR 25 【正确答案】 f(x 1，x 2，x 3)=XTAX，其中 A= 由于 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 经正交变换后，得到的标准形为 1y12+2y22，故 r(A)=2a=2，将 a=2 代入，满足 r(A)=2，因此 a=2 符合题意，此时A= ，则|E-A|= 1=-3， 2=0， 3=6，由(-3E-A)x=0 ，可得 A 的属于特征值-3 的特征向量为 1= 由(6E-A)x=0，可得 A 的属于特征值 6的特征向量为 2= 由(0E-A)x=0，可得 A 的属于特征值 0 的特征向量为 3=令 P=(1， 2， 3)，则 P-1AP= ，由于 1， 2， 3 彼此正交，故只需单位化即可： 1= (1，-1 ，1) T， 2= (-1，0，1) T， 3= (1，2，1) T，则 Q=(123)=，Q TAQ=
