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[考研类试卷]MPA公共管理硕士综合知识数学微积分(多元函数微分学)模拟试卷1及答案与解析.doc

1、MPA 公共管理硕士综合知识数学微积分(多元函数微分学)模拟试卷1 及答案与解析选择题1 设由方程 确定了函数 z=f(x,y),则( )(A)xz x+yzy=0(B) zx+zy=z(C) zx+zy=0(D)xz x+yzy=z2 设函数 ln(1+x2+y2),其中函数 f(u,v)有连续的一阶偏导数,则等于( ) (A)不存在(B) 0(C) fu(0, 0)(D)2f u(0,0)+2f v(0,0)3 设函数 则有结论( )成立(A)原点(0,0) 为该函数的驻点,但非极值点(B)原点 (0,0)为该函数的驻点,且为极小值点(C)原点 (0,0)为该函数的驻点,且为极大值点(D)

2、原点(0,0) 是该函数的极小值点4 某产品的产量 Q 与原料 A,B,C 的数量 x,y,z(单位均为吨)满足Q=005xyz,已知 A,B ,C 的价格分别是 3,2, 4(百元),若用 5 400 元购买A,B,C 三种原料,则使产量最大的 A,B,C 的采购量分别为 ( )(A)6,9,45(吨)(B) 2,4,8(吨)(C) 2,3,6(吨)(D)2,2,2(吨)5 已知函数 z=f(xy,x+y),记 f1为 f 对第一个变量 xy 的导数,f 2为 f 对第二个变量x+y 的导数,则 分别为( ) (A)yf 1+f2,xf1+f2(B) f1,f 2(C) y(f1+f2),x

3、(f 1+f2)(D)yf 1,f 26 某工厂生产 A,B 两种产品,每件售价分别为 10 元和 9 元,A,B 两种产品各生产 x 件和 y 件的总费用是 W=400+2x+3y+001(3x 2+xy+3y2)(元),则 x,y 各为多少时,取得利润最大( ) (A)100( 件) ,80(件)(B) 120(件),80( 件)(C) 80(件),80( 件)(D)50( 件),60(件)7 某产品的产量 Q 与所用两种原料 A,B 的数量 x,y(吨)有关系式 Q=005x 2y,已知 A,B 原料每吨的价格分别为 1,2(百元),欲用 4 500 元购买 A,B 两种原料,则使产量

4、Q 最多的 A,B 的进料量为( )(A)20( 吨),10(吨)(B) 15(吨),10( 吨)(C) 30(吨),75( 吨)(D)25( 吨),15(吨)8 设函数 z=f(x,y)在点(x 0,y 0)处存在对 x,y 的偏导数,则 fx(x0,y 0)等于( )9 函数 f(x,y)在点 P0(x0, y0)处偏导数存在,是 f(x,y)在该点处( )(A)连续的充分条件(B)连续的必要条件(C)可微的必要条件(D)可微的充分条件10 利用变量替换 u=x,v= 一定可以把方程 化为新的方程( )11 设函数 z=3axyx3 一 y3(a0),则( )(A)在点(a,a)处取得极大

5、值 a3(B)在点 (a,a) 处取得极小值 a3(C)在点 (0,0)处取得极小值 0(D)在点(0,0) 处取得极大值 012 设函数 z=f(x,y),有 且 f(x,0)=1 ,f y(x,0)=x,则 f(x,y)为( )(A)1 一 xy+y2(B) 1+xy+y2(C) 1 一 x2y+y2(D)1+x 2y+y213 设 z= ,F(u) 二阶可导,则 等于( )14 设 z=(lny)xy,则 等于( )(A)xy(lny) xy-1(B) (lny)xyln(lny)(C) x(lny)xyln(lny)(D)y(lny) xyln(lny)15 设 M(x,y,z)为平面

6、 x+y+z=1 上的点,且该点到两定点(1,0,1),(2,0,1)的距离平方之和为最小,则此点坐标为( )填空题16 若 f(x,y)=ln(x 2+y2),则函数 ()=且 0,在 =_时,取最大值17 设 z=xf(x2+y2),其中 f(u)具有二阶连续导数,则 =_。18 设 g(x,y)=x y 一 yz,则19 设函数 z=z(x,y)由方程所确定,则=_.20 函数 f(x, y)=e2x(x+y2 一 2y)的极小值为_ 21 二元函数 z=x3 一 y3+3x2+3y2 一 9x 的极小点是_22 设函数23 设函数 则 fx(0,0)=_24 设函数 u=u(x,y,z

7、)由方程 F(u 2 一 x2,u 2 一 y2,u 2-z2)=0 所确定,则=_.25 函数 f(x, y)=e2x(x+y2+2y)的极大值为_26 设 ,且当 y=1 时,z=x,则 f(y)为_27 计算题28 设 f(x,y)=29 30 设 u=sinx2+f(y,yz),求31 求函数 的定义域,并作出定义域的图形32 33 求函数 z=xy 的偏导数34 求函数 的偏导数 zx35 设函数 z=f(t,x,y)可微,x=x(t),y=y(t) 可导,试求36 设函数 u=f(x,xy,xyz),求37 设函数 z=z(x,y)是由方程 z3-3xyz=a3 所确定的隐函数,试

8、求 zx和 zyMPA 公共管理硕士综合知识数学微积分(多元函数微分学)模拟试卷1 答案与解析选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 利用隐函数定理求偏导数,即令 G(x,y,z)= ,则有【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 由于f(u,v) 没有二阶偏导数存在,我们必须由二阶偏导数 的定义来解,即可见存在且等于 2fu(0,0)+2f v(0,0)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 因为函数 在原点(0,0)处,偏导数 zx(0,0),z y(0,0)不存在,故(0,0) 点不是函数 z 的稳定点,但由 z(0,0)=0 且 z(x,y)0,(x,y

9、)(0,0) ,可知在(0 ,0)点邻域内有 z(x,y)f(0,0),即(0,0)点为函数 z 的极小值点,甚至可判断,点(0,0)还是该函数的最小值点【知识模块】 微积分4 【正确答案】 A【试题解析】 首先应将应用问题化为一个求函数的最大值或最小值问题,即本题可归结为求条件极值问题 Q=005xyz 在约束条件 3x+2y+4z=54 下的最大值点由约束条件解出 代入函数 Q,使问题化为求函数的最大值点 可知函数 Q 的稳定点为(6 ,9),这时z=45 由应用问题可知它即为最大值点,故正确答案为(A)【知识模块】 微积分5 【正确答案】 A【试题解析】 =f1.(xy)x+f2(x+y

10、)x=yf1+f2, =f1.(xy)y+f2.(x+y)y=xf1+f2【知识模块】 微积分6 【正确答案】 B【试题解析】 设总利润函数为 L(x,y)=(10x+9y)一400+2x+3y+001(3x 2+xy+3y2) =8x+6y 一 0 01(3x2+xy+3y2)一 400, 得驻点(120 ,80),为唯一驻点又 L xx“=一 0060,L yy“=一 006,L xy“=一001,而 P(120 ,80)=(一 001) 2 一(-006) 2=一 3510-40,所以当 x=120(件),y=80(件) 时,L 是极大值,即此时利润最大【知识模块】 微积分7 【正确答案

11、】 C【试题解析】 这是求产量函数 Q=005x 2y 在约束条件 1x+2y=45 下的最大值问题 构造拉格朗日函数 F(x,y)=005x 2y+(x+2y 一 45),解得驻点 P1(30,75)和 P2(0,225) 驻点P2 表示不买原料 A,此时 Q=0,所以要 Q 最大,应是在 P1 时,因为此问题显然存在最大值【知识模块】 微积分8 【正确答案】 B【试题解析】 根据偏导数的定义,对于选项(A)有所以选项(A)错误,对于选项(B)有类似地分析可知(C)和(D)均不正确【知识模块】 微积分9 【正确答案】 C【试题解析】 (A) 不正确,例如函数 显然有 fx(0,0)=f y(

12、0,0),但 f(x,y)在点(0,0)处不连续 (B)不正确例如函数f(x,y)=|xy|在点(0,1) 处连续,但偏导数 fx(0,1)不存在 (D) 不正确例如函数在点(0,0)处有 fx(0,0)=0 及 fy(0,0)=0,但 f(x,y) 在点(0,0)处不可微 若函数 z=f(x,y)在点 P(x,y)处可微,则函数 z=f(x,y)在点 P(x,y)的偏导数 必存在,且【知识模块】 微积分10 【正确答案】 A【试题解析】 由多元复合函数求导法则知【知识模块】 微积分11 【正确答案】 A【试题解析】 由 得(0,0),(a,a)为驻点故在(a,a)点, B 2 一AC=(9a

13、236xy)|(a,a)=一 27a20, 故(a,a)为极大值点,f(a,a)=a 3 为极大值 在(0,0) 点,B 2 一 AC=9a20,所以(0,0)不是极值点【知识模块】 微积分12 【正确答案】 B【试题解析】 的两边对 y 积分,得 f y(x,y)=2y+(x) 将 fy(x,0)=x代入上式,得 (x)=x,于是 f y(x,y)=2y+x该式两边再对 y 积分,得 f(x,y)=y2+xy+(x)将 f(x,0)=1 代入上式,得 (x)=1,故 f(x ,y)=y 2+xy+1【知识模块】 微积分13 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 微积分14 【正确答案】

14、 D【试题解析】 对 x 求偏导时,把 y 看成是常数,所以【知识模块】 微积分15 【正确答案】 C【试题解析】 此题可用排除法:(A),(B)选项中的点不满足平面方程,即不是平面上的点,所以排除(A) ,(B) (C) 选项中,点 到两定点(1,0,1) 及(2,0, 1)的距离平方之和为:(D)选项中,点到两定点(1,0,1)及(2,0,1) 的距离平方之和为:【知识模块】 微积分填空题16 【正确答案】 【试题解析】 由于 f(x,y)=ln(x 2+y2),有令 ()=一sin+cos=0,得 tan=1,所以 又 “()=一 cossin,所以 = ()有极大值,也是最大值,且【知

15、识模块】 微积分17 【正确答案】 2(2x+y)f(x 2+y2)+4x2yf“(x2+y2)【试题解析】 由 z=xf(x2+y2),有 =f(x2+y2)+x.f(x2+y2).2x=f(x2+y2)+2x2f(x2+y2),=2y.f(x2+y2)+4xf(x2+y2)+4x2yf“(x2+y2)=2(2x+y)f(x2+y2)+4x2yf“(x2+y2)【知识模块】 微积分18 【正确答案】 1+ez【试题解析】 由 g(x,y)=x y 一 yz,得 则有 原式=1.e0+e1lnez.1z-1。 =1+e-z【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【试题解析】 对定积分换元:令

16、z+y 一 t=u,x+z 一 t=v,则方程成为上式对 x 求偏导数,有用x=1,y=1,z=1,代入上式,可得【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【试题解析】 由 可得函数 f(x,y)的稳定点为 再判别稳定点是否是极值点,是极大值点还是极小值点由 fxx“(x,y)=4e 2x(x+y2+2y)+4e2x, f xy“(x,y)=4e 2x(y+1), f yy“(x,y)=2e 2x,=B2 一 AC=一4e20,由此可知点 是函数 f(x,y)的唯一极小值点,故 f(x,y)的极小值为【知识模块】 微积分21 【正确答案】 (1,0) 【试题解析】 由 解得四个驻点:(1,0),

17、(1,2),(-3,0), (-3,2) 再由充分条件判断得 P(1,0)0,P(1 ,2)0,P(-3,0) 0,P(-3,2)0, 故知(1,0)点为极小点,(-3,2)点是极大点,而(1,2),(-3,0)不是极值点【知识模块】 微积分22 【正确答案】 200e 24【试题解析】 因为 所以有 由此可得【知识模块】 微积分23 【正确答案】 0【试题解析】 因为(0,0)点是函数 f(x,y)分界处的点,所以只有用偏导数的定义来计算 fx(0, 0)【知识模块】 微积分24 【正确答案】 1【试题解析】 因为对等式求全微分,有 F 1d(u2 一 x2)+F2d(u2 一 y2)+F3

18、d(u2 一 z2)=0,由此可得 u(F 1+F2+F3)du=xF1dx+yF2dy+zF3dz,其中 F i=Fi(u2 一 x2,u 2一 y2,u 2-z2),i=1,2,3于是有【知识模块】 微积分25 【正确答案】 不存在【试题解析】 先求函数的稳定点由可得函数 f(x,y)的稳定点为再判别稳定点 是否是极值点,是极大值点还是极小值点由 fxx“(x,y)=4e 2x(x+y2+2y)+4e2x,f xy“(x,y)=4e 2x(y+1),f yy“(x,y)=2e 2x,由此可知点是函数 f(x,y)的唯一极值点,且是极小值点,而无极大值点【知识模块】 微积分26 【正确答案】

19、 y(y+2) 【试题解析】 由 y=1 时,z=x,有 x=1+ 即所以 f(y)=y 2+2y=y(y+2)【知识模块】 微积分27 【正确答案】 0【试题解析】 由偏导数定义【知识模块】 微积分计算题28 【正确答案】 【知识模块】 微积分29 【正确答案】 【知识模块】 微积分30 【正确答案】 由 u=sinx2+f(y,yz) ,得 记v=yz,则【知识模块】 微积分31 【正确答案】 因为该函数的定义域正好是不等式 的解集,所以函数的定义域为 其图形如图 1-6-1 的阴影部分【知识模块】 微积分32 【正确答案】 因为初等函数 在点(1,2)处有定义,函数在(1,2)点连续,所

20、以【知识模块】 微积分33 【正确答案】 z x=yxy-1,z y=xylnx【知识模块】 微积分34 【正确答案】 当(x,y)(0,0)时,当(x,y)=(0,0)时,【知识模块】 微积分35 【正确答案】 按链式法则,有 =ft(t,x(t),y(t)+f x(t,x(t),y(t)x(t)+fy(t,x(t),y(t)y(t) 【知识模块】 微积分36 【正确答案】 为了避免引进更多的中间变量,常来用记号 f1,f 2,f 3分别表示f 对第一个中间变量、第二个中间变量及第三个中间变量的偏导数,因此有=f1(x,xy,xyz)+yf 2(x,xy,xyz)+yzf 3(x,xy,xyz) ,=xyf13“(x,xy,xyz)+xy 2f23“(x,xy,xyz)+xy 2zf33“(x,xy,xyz)+yf3(x,xy,xyz) 【知识模块】 微积分37 【正确答案】 利用公式 F(x,y,z)=z 3 一 3xyz 一 a3, F x(x,y,z)=一 3yz, Fy(x,y,z)=一 3xz, F z(x,y,z)=3z 23xy,因此有【知识模块】 微积分

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