1、MPA 公共管理硕士综合知识数学微积分（多元函数微分学）模拟试卷1 及答案与解析选择题1 设由方程 确定了函数 z=f(x，y)，则( )（A）xz x+yzy=0（B） zx+zy=z（C） zx+zy=0（D）xz x+yzy=z2 设函数 ln(1+x2+y2)，其中函数 f(u，v)有连续的一阶偏导数，则等于( ) （A）不存在（B） 0（C） fu(0， 0)（D）2f u(0，0)+2f v(0，0)3 设函数 则有结论( )成立（A）原点(0，0) 为该函数的驻点，但非极值点（B）原点 (0，0)为该函数的驻点，且为极小值点（C）原点 (0，0)为该函数的驻点，且为极大值点（D）
2、原点(0，0) 是该函数的极小值点4 某产品的产量 Q 与原料 A，B，C 的数量 x，y，z(单位均为吨)满足Q=005xyz，已知 A，B ，C 的价格分别是 3，2， 4(百元)，若用 5 400 元购买A，B，C 三种原料，则使产量最大的 A，B，C 的采购量分别为 ( )（A）6，9，45(吨)（B） 2，4，8(吨)（C） 2，3，6(吨)（D）2，2，2(吨)5 已知函数 z=f(xy，x+y)，记 f1为 f 对第一个变量 xy 的导数，f 2为 f 对第二个变量x+y 的导数，则 分别为( ) （A）yf 1+f2,xf1+f2（B） f1，f 2（C） y(f1+f2)，x
3、(f 1+f2)（D）yf 1，f 26 某工厂生产 A，B 两种产品，每件售价分别为 10 元和 9 元，A，B 两种产品各生产 x 件和 y 件的总费用是 W=400+2x+3y+001(3x 2+xy+3y2)(元)，则 x，y 各为多少时，取得利润最大( ) （A）100( 件) ，80(件)（B） 120(件)，80( 件)（C） 80(件)，80( 件)（D）50( 件)，60(件)7 某产品的产量 Q 与所用两种原料 A，B 的数量 x，y(吨)有关系式 Q=005x 2y，已知 A，B 原料每吨的价格分别为 1，2(百元)，欲用 4 500 元购买 A，B 两种原料，则使产量
4、Q 最多的 A，B 的进料量为( )（A）20( 吨)，10(吨)（B） 15(吨)，10( 吨)（C） 30(吨)，75( 吨)（D）25( 吨)，15(吨)8 设函数 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处存在对 x，y 的偏导数，则 fx(x0，y 0)等于( )9 函数 f(x，y)在点 P0(x0， y0)处偏导数存在，是 f(x，y)在该点处( )（A）连续的充分条件（B）连续的必要条件（C）可微的必要条件（D）可微的充分条件10 利用变量替换 u=x，v= 一定可以把方程 化为新的方程( )11 设函数 z=3axyx3 一 y3(a0)，则( )（A）在点(a，a)处取得极大
5、值 a3（B）在点 (a，a) 处取得极小值 a3（C）在点 (0，0)处取得极小值 0（D）在点(0，0) 处取得极大值 012 设函数 z=f(x，y)，有 且 f(x，0)=1 ，f y(x，0)=x，则 f(x，y)为( )（A）1 一 xy+y2（B） 1+xy+y2（C） 1 一 x2y+y2（D）1+x 2y+y213 设 z= ，F(u) 二阶可导，则 等于( )14 设 z=(lny)xy，则 等于( )（A）xy(lny) xy-1（B） (lny)xyln(lny)（C） x(lny)xyln(lny)（D）y(lny) xyln(lny)15 设 M(x，y，z)为平面
6、 x+y+z=1 上的点，且该点到两定点(1，0，1)，(2，0，1)的距离平方之和为最小，则此点坐标为( )填空题16 若 f(x，y)=ln(x 2+y2)，则函数 ()=且 0，在 =_时，取最大值17 设 z=xf(x2+y2)，其中 f(u)具有二阶连续导数，则 =_。18 设 g(x，y)=x y 一 yz，则19 设函数 z=z(x，y)由方程所确定，则=_.20 函数 f(x， y)=e2x(x+y2 一 2y)的极小值为_ 21 二元函数 z=x3 一 y3+3x2+3y2 一 9x 的极小点是_22 设函数23 设函数 则 fx(0，0)=_24 设函数 u=u(x，y，z
7、)由方程 F(u 2 一 x2，u 2 一 y2，u 2-z2)=0 所确定，则=_.25 函数 f(x， y)=e2x(x+y2+2y)的极大值为_26 设 ，且当 y=1 时，z=x，则 f(y)为_27 计算题28 设 f(x，y)=29 30 设 u=sinx2+f(y，yz)，求31 求函数 的定义域，并作出定义域的图形32 33 求函数 z=xy 的偏导数34 求函数 的偏导数 zx35 设函数 z=f(t，x，y)可微，x=x(t)，y=y(t) 可导，试求36 设函数 u=f(x，xy，xyz)，求37 设函数 z=z(x，y)是由方程 z3-3xyz=a3 所确定的隐函数，试
8、求 zx和 zyMPA 公共管理硕士综合知识数学微积分（多元函数微分学）模拟试卷1 答案与解析选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 利用隐函数定理求偏导数，即令 G(x，y，z)= ,则有【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 由于f(u，v) 没有二阶偏导数存在，我们必须由二阶偏导数 的定义来解，即可见存在且等于 2fu(0，0)+2f v(0，0)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 因为函数 在原点(0，0)处，偏导数 zx(0，0)，z y(0，0)不存在，故(0，0) 点不是函数 z 的稳定点，但由 z(0，0)=0 且 z(x，y)0，(x，y
9、)(0，0) ，可知在(0 ，0)点邻域内有 z(x，y)f(0，0)，即(0，0)点为函数 z 的极小值点，甚至可判断，点(0，0)还是该函数的最小值点【知识模块】 微积分4 【正确答案】 A【试题解析】 首先应将应用问题化为一个求函数的最大值或最小值问题，即本题可归结为求条件极值问题 Q=005xyz 在约束条件 3x+2y+4z=54 下的最大值点由约束条件解出 代入函数 Q，使问题化为求函数的最大值点 可知函数 Q 的稳定点为(6 ，9)，这时z=45 由应用问题可知它即为最大值点，故正确答案为(A)【知识模块】 微积分5 【正确答案】 A【试题解析】 =f1.(xy)x+f2(x+y
10、)x=yf1+f2， =f1.(xy)y+f2.(x+y)y=xf1+f2【知识模块】 微积分6 【正确答案】 B【试题解析】 设总利润函数为 L(x，y)=(10x+9y)一400+2x+3y+001(3x 2+xy+3y2) =8x+6y 一 0 01(3x2+xy+3y2)一 400， 得驻点(120 ，80)，为唯一驻点又 L xx“=一 0060，L yy“=一 006，L xy“=一001，而 P(120 ，80)=(一 001) 2 一(-006) 2=一 3510-40，所以当 x=120(件)，y=80(件) 时，L 是极大值，即此时利润最大【知识模块】 微积分7 【正确答案
11、】 C【试题解析】 这是求产量函数 Q=005x 2y 在约束条件 1x+2y=45 下的最大值问题 构造拉格朗日函数 F(x，y)=005x 2y+(x+2y 一 45)，解得驻点 P1(30，75)和 P2(0，225) 驻点P2 表示不买原料 A，此时 Q=0，所以要 Q 最大，应是在 P1 时，因为此问题显然存在最大值【知识模块】 微积分8 【正确答案】 B【试题解析】 根据偏导数的定义，对于选项(A)有所以选项(A)错误，对于选项(B)有类似地分析可知(C)和(D)均不正确【知识模块】 微积分9 【正确答案】 C【试题解析】 (A) 不正确，例如函数 显然有 fx(0，0)=f y(
12、0，0)，但 f(x，y)在点(0，0)处不连续 (B)不正确例如函数f(x，y)=|xy|在点(0，1) 处连续，但偏导数 fx(0，1)不存在 (D) 不正确例如函数在点(0，0)处有 fx(0，0)=0 及 fy(0，0)=0，但 f(x，y) 在点(0，0)处不可微 若函数 z=f(x，y)在点 P(x，y)处可微，则函数 z=f(x，y)在点 P(x，y)的偏导数 必存在，且【知识模块】 微积分10 【正确答案】 A【试题解析】 由多元复合函数求导法则知【知识模块】 微积分11 【正确答案】 A【试题解析】 由 得(0，0)，(a，a)为驻点故在(a，a)点， B 2 一AC=(9a
13、236xy)|(a,a)=一 27a20， 故(a，a)为极大值点，f(a，a)=a 3 为极大值 在(0，0) 点，B 2 一 AC=9a20，所以(0，0)不是极值点【知识模块】 微积分12 【正确答案】 B【试题解析】 的两边对 y 积分，得 f y(x，y)=2y+(x) 将 fy(x，0)=x代入上式，得 (x)=x，于是 f y(x，y)=2y+x该式两边再对 y 积分，得 f(x，y)=y2+xy+(x)将 f(x，0)=1 代入上式，得 (x)=1，故 f(x ，y)=y 2+xy+1【知识模块】 微积分13 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 微积分14 【正确答案】
14、 D【试题解析】 对 x 求偏导时，把 y 看成是常数，所以【知识模块】 微积分15 【正确答案】 C【试题解析】 此题可用排除法：(A)，(B)选项中的点不满足平面方程，即不是平面上的点，所以排除(A) ，(B) (C) 选项中，点 到两定点(1，0，1) 及(2，0， 1)的距离平方之和为：(D)选项中，点到两定点(1，0，1)及(2，0，1) 的距离平方之和为：【知识模块】 微积分填空题16 【正确答案】 【试题解析】 由于 f(x，y)=ln(x 2+y2)，有令 ()=一sin+cos=0，得 tan=1，所以 又 “()=一 cossin，所以 = ()有极大值，也是最大值，且【知
15、识模块】 微积分17 【正确答案】 2(2x+y)f(x 2+y2)+4x2yf“(x2+y2)【试题解析】 由 z=xf(x2+y2)，有 =f(x2+y2)+x.f(x2+y2).2x=f(x2+y2)+2x2f(x2+y2)，=2y.f(x2+y2)+4xf(x2+y2)+4x2yf“(x2+y2)=2(2x+y)f(x2+y2)+4x2yf“(x2+y2)【知识模块】 微积分18 【正确答案】 1+ez【试题解析】 由 g(x，y)=x y 一 yz，得 则有 原式=1.e0+e1lnez.1z-1。 =1+e-z【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【试题解析】 对定积分换元：令
16、z+y 一 t=u，x+z 一 t=v，则方程成为上式对 x 求偏导数，有用x=1，y=1，z=1，代入上式，可得【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【试题解析】 由 可得函数 f(x，y)的稳定点为 再判别稳定点是否是极值点，是极大值点还是极小值点由 fxx“(x，y)=4e 2x(x+y2+2y)+4e2x， f xy“(x，y)=4e 2x(y+1)， f yy“(x，y)=2e 2x，=B2 一 AC=一4e20，由此可知点 是函数 f(x，y)的唯一极小值点，故 f(x，y)的极小值为【知识模块】 微积分21 【正确答案】 (1，0) 【试题解析】 由 解得四个驻点：(1，0)，
17、(1，2)，(-3，0)， (-3，2) 再由充分条件判断得 P(1，0)0，P(1 ，2)0，P(-3，0) 0，P(-3，2)0， 故知(1，0)点为极小点，(-3，2)点是极大点，而(1，2)，(-3，0)不是极值点【知识模块】 微积分22 【正确答案】 200e 24【试题解析】 因为 所以有 由此可得【知识模块】 微积分23 【正确答案】 0【试题解析】 因为(0，0)点是函数 f(x，y)分界处的点，所以只有用偏导数的定义来计算 fx(0， 0)【知识模块】 微积分24 【正确答案】 1【试题解析】 因为对等式求全微分，有 F 1d(u2 一 x2)+F2d(u2 一 y2)+F3
18、d(u2 一 z2)=0，由此可得 u(F 1+F2+F3)du=xF1dx+yF2dy+zF3dz，其中 F i=Fi(u2 一 x2，u 2一 y2，u 2-z2)，i=1，2，3于是有【知识模块】 微积分25 【正确答案】 不存在【试题解析】 先求函数的稳定点由可得函数 f(x，y)的稳定点为再判别稳定点 是否是极值点，是极大值点还是极小值点由 fxx“(x，y)=4e 2x(x+y2+2y)+4e2x，f xy“(x，y)=4e 2x(y+1)，f yy“(x，y)=2e 2x，由此可知点是函数 f(x，y)的唯一极值点，且是极小值点，而无极大值点【知识模块】 微积分26 【正确答案】
19、 y(y+2) 【试题解析】 由 y=1 时，z=x，有 x=1+ 即所以 f(y)=y 2+2y=y(y+2)【知识模块】 微积分27 【正确答案】 0【试题解析】 由偏导数定义【知识模块】 微积分计算题28 【正确答案】 【知识模块】 微积分29 【正确答案】 【知识模块】 微积分30 【正确答案】 由 u=sinx2+f(y，yz) ，得 记v=yz，则【知识模块】 微积分31 【正确答案】 因为该函数的定义域正好是不等式 的解集，所以函数的定义域为 其图形如图 1-6-1 的阴影部分【知识模块】 微积分32 【正确答案】 因为初等函数 在点(1，2)处有定义，函数在(1，2)点连续，所
20、以【知识模块】 微积分33 【正确答案】 z x=yxy-1，z y=xylnx【知识模块】 微积分34 【正确答案】 当(x，y)(0，0)时，当(x，y)=(0，0)时，【知识模块】 微积分35 【正确答案】 按链式法则，有 =ft(t，x(t)，y(t)+f x(t，x(t)，y(t)x(t)+fy(t，x(t)，y(t)y(t) 【知识模块】 微积分36 【正确答案】 为了避免引进更多的中间变量，常来用记号 f1，f 2，f 3分别表示f 对第一个中间变量、第二个中间变量及第三个中间变量的偏导数，因此有=f1(x，xy，xyz)+yf 2(x，xy，xyz)+yzf 3(x，xy，xyz) ，=xyf13“(x，xy，xyz)+xy 2f23“(x，xy，xyz)+xy 2zf33“(x，xy，xyz)+yf3(x，xy，xyz) 【知识模块】 微积分37 【正确答案】 利用公式 F(x，y，z)=z 3 一 3xyz 一 a3， F x(x，y，z)=一 3yz， Fy(x，y，z)=一 3xz， F z(x，y，z)=3z 23xy，因此有【知识模块】 微积分
