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[考研类试卷]工程硕士(GCT)数学模拟试卷121及答案与解析.doc

1、工程硕士(GCT )数学模拟试卷 121 及答案与解析一、选择题(25 题,每小题 4 分,共 100 分)下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 周长相同的圆、正方形和正三角形的面积分别为 a,b 和 c,则 a,b,c 的大小关系是 (A)ab c(B) bca(C) ca b(D)acb2 三名小孩中有一名学龄前儿童,他们的年龄都是质数,且依次相差 6 岁他们的年龄之和为 (A)21(B) 2 7(C) 33(D)393 已知某单位的 A 部门人数占单位总人数的 25, B 部门人数比 A 部门少 ,C部门有 156 人,比 B 部门多 ,该单位共有 人.(A)426(B

2、) 480(C) 600(D)6244 设互不相同的 3 个实数 a,b,c 在数轴上对应的点分别为A,B,C 若 ac a 一 bb 一 c,则点 B (A)在 A,C 点的左边(B)在 A,C 点的右边(C)在 A,C 两点之间(D)与点 A,C 的关系不确定5 若复数 z 满足 (zi)i 2i,则 z (A)1i(B) 13i(C) 12i(D)1i6 把两个不同的白球和两个不同的红球任意地排成一列,结果为两个白球不相邻的概率是 7 已知 f(x)x 2bxc ,x0,)f(x)是单调函数的充分必要条件是 (A)b0(B) b0(C) b0(D)b08 设 a0,b 0若 是 3a 与

3、 3b 的等比中项,则 的最小值为 .(A)3(B) 4(C) 1(D)9 过OAB 的重心 G 的直线 l 分别与边 OA 和 OB 交于点 P 和 Q已知OPOA , ,则 10 已知a n是等差数列, a2a 3a 430,a 5a 640,则公差 d (A)2(B) 3(C) 4(D)511 已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于 A,B,则以 AB 为直径的圆与抛物线准线的公共点的数目为 (A)0(B) 1(C) 2(D)312 已知集合 Mxsinxcosx ,0xx ,N xsin2xcos2x,0x),则MN 13 直线 l:xyb 与圆 C:(x1) 2(y1) 22 相交于 A

4、,B 两点,若AB2,则 b 的值等于 14 椭圆 (1b0)的右顶点为 A已知椭圆上存在一点 P,使(O 为坐标原点),则 b 的取值范围为 15 如图,ABCD 是边长为 1 的正方形,ACCE AFC 的面积为 16 设当 x0 时,( 1)ln(1x 2)是比 xsinxn 高阶的无穷小量,而 xsinxn 是比(2x)tanx 2 高阶的无穷小量,则正整数 n 等于 (A)1(B) 2(C) 3(D)417 设 18 方程 3xex 10 在(一 ,)内实根的个数为 (A)0(B) 1(C) 2(D)319 设 f(x)(x) 2,其中 (x)在(一,)内恒为负值,其导数 (x)为单

5、调减函数,且 (x0)0,则下列结论正确的是 (A)yf(x)所表示的曲线在 (x0,f(x 0)处有拐点(B) xx 0 是 yd(x)的极大值点(C)曲线 yf(x)在(一,)上是凹的(D)f(x 0)是 f(x)在(一,) 上的最大值20 (xx 4)(ex 一 ex )dx (A)0(B)(C) 4e(D)21 当 ya 2 一 x2(x0)与 x 轴、y 轴及 x2a(a0)围成的平面图形的面积 A 等于 16时,a (A)1(B)(C) 2(D)22 设 A,B,C 均是 n 阶矩阵,则下列结论中正确的是 (A)若 AB,则AB(B)若 ABC ,则 ATB TCT(C)若 ABC

6、 ,则AB C(D)若 ABC,则ABC 23 下列矩阵中,与对角阵 相似的矩阵是 24 设 1, 2, 3, 4 是齐次线性方程组 Ax0 的基础解系,则 Ax0 的基础解系还可以是 (A) 1 2, 2 3, 3 4, 4 1(B) 1 2, 2 3 4, 1 2 3(C) 1 2, 2 3, 3 4, 4 1(D) 1 2, 2 3, 3 4, 4 125 设矩阵 A(a ij)mn,其秩 r(A)r,则非齐次线性方程组 Axb 有解的充分条件是 (A)rm(B) mn(C) rn(D)mn工程硕士(GCT )数学模拟试卷 121 答案与解析一、选择题(25 题,每小题 4 分,共 10

7、0 分)下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 故选 A2 【正确答案】 C【试题解析】 根据题意,有一名儿童的年龄不足 6 周岁,所以最小孩子的年龄只可能是 2,3 或 5由于 268 和 369 都是合数,所以最小孩子的年龄是 5,从而三个孩子的年龄分别是 5,11,17,他们的年龄之和为 5111733故选 C3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 B C156,所以 B120 又因为 A 一B 120,所以 A150从而单位总人数为 故选 C4 【正确答案】 D【试题解析】 因为a 一 ca 一 bbc,且“”成立与点 B 位于A,C 两点

8、之间等价,所以当aca 一 bb 一 c时,点 B 不会位于A,C 两点之间但既可以位于 A,C 点的左边,也可以位于 A,C 点的右边故正确选项为(D) 故选 D5 【正确答案】 D【试题解析】 因为(zi)i2i ,所以 z i( 1) i2i11 一 i 故选D6 【正确答案】 D【试题解析】 总排列数为 P4424要求白球不相邻,可以先定两个位置放白球,放法有 P222两白球的左、右端和中间三处空位若选左端和中间各放一红球,有 P222 种排法同理选中间和右端各放一红球,也有 2 种排法若选中间放两个红球,也是 2 种放法白球不相邻的排法有 P22(P22P 22P 22)12 种所求

9、概率为 若考虑两个白球相邻的情况,如果把两个白球作为一个整体与两个红球作排列,则有 P33 种排法,三个位置中的一个放两个白球,又有 P22 种排法,所以两个白球相邻的概率为 白球不相邻的概率为 故选D7 【正确答案】 A【试题解析】 函数 yf(x)的图像是开口向上的抛物线,其对称轴是直线 f(x)在 x0,)上单调(单调增),则对称轴不应在 y 轴右方,即b0注意 b0 时 yf(x)在0,)也是单调的 故选 A8 【正确答案】 B【试题解析】 由题意, ,即 3ab3,所以有 ab 1,从而由均值不等式 所以时等号成立 故选 B9 【正确答案】 D【试题解析】 如图所示,设 M 为 AB

10、 的中点,则故选 D10 【正确答案】 C【试题解析】 等差数列的通项 ana 1(n1)d,所以 a 2a 3a 4(a 1d)(a 1 2d)(a 13d)3a 16d, a 5a 6(a 14d)(a 15d)2a 19d 即得线性方程组 解出 d4 故选 C11 【正确答案】 B【试题解析】 如图所示,设抛物线焦点为 F,准线为 lAB 中点为 M,过 A、B和 M 分别作 l 的垂线,垂足分别是 A、B和 M,则有 以 AB 为直径的圆,其圆心在 M,且与 l 相切,切点为 M所以此圆与 l 只有 1 个交点 故选 B12 【正确答案】 B【试题解析】 在(0,)上分别作出 ysin

11、x 和 y cosx,ysin2x 和 ycos2x 的图像(见图 ),即可看出 故选 B13 【正确答案】 C【试题解析】 用代数方程求解,以 yb 一 x 代入圆 C 方程得 2x 22bx(b 1)210,设 A(x1,y 1),B(x 2,y 2),则有 x 1 2b,x 1x2 (b22b), (x 1 一 x2)2(x 1 x2)2 4x1x2 b 22(b 22b)一 b24b AB 2(x 1 一 x2)2(y 1 一 y2)2 2(x 1 一 x2)22(一 b24b),由AB 24,即得一 b24b2,解得 本题借助图形也很容易分析(见图),即考查斜率为1 的直线 l 与圆

12、C(圆心在 Q(1,1),半径为 交于 A,B,AB2因QAQB ,所以QAB 为等腰直角三角形,Q 至 l 距离为 1用 故选 C14 【正确答案】 B【试题解析】 已知 A(1,0)设 P(x,y),由条件 得 OP 垂直于 PA,做内积得(x ,y).(x 1,y)0,即 x(1x)一 y20 以 y2b 2(1 一 x2)代入,得 (1一 b2)x2 一 xb 20分解因式得(x1)(1b 2)xb20因 x1 得 故选 B15 【正确答案】 A【试题解析】 在EAB 中 FCAB,所以AFC 的面积正方形 ABCD 的面积一 ABC 的面积一 ADF 的面积故选 A16 【正确答案】

13、 B【试题解析】 当 x0 时 ( 1)ln(1x 2)x 2.x2x 4,xsinx nx.x nx n1 , (2x)tanx 22x 2,由题目条件有 2n14,从而 n2 故选 B17 【正确答案】 C【试题解析】 在 ;当 t0 时,u0;dt ,因此故选 C18 【正确答案】 C【试题解析】 设 f(x)3xe x1,则 f(x)3e x3xe x3(1x)e x令 f(x)0,得x1当 x1 时,f(x)0,当 x1 时 f(x)0由此可得 f(x)在(一,1) 内单调递减,在 (1,) 内单调增加, x1 是 f(x)的唯一极小值点,因而是最小值点,最小值为 f(1)3e 1

14、10 由函数的单调性和零点存在定理可判断 f(x)在( 一,1)内和(1,)内各有一个零点,因此方程 f(x)0 在(一,)内恰有两个根 故选 C 注 (1) (2)对本题利用零点存在定理时,可用如下方法: ,f(1)0,f(1)3e10,因此 f(x)在(3, 1)内和 (1,1)内至少各有一个零点19 【正确答案】 A【试题解析】 因 (x)在( 一,)内恒为负值,所以 f(x0)(x 0)20,由取得极值的必要条件,x 0 一定不是 f(x)的极值点,故不选(B);又如果 f(x)的最值点 x0 在开区间(, )内取得,则 x0 一定是极值点,由上面的分析知,x 0 一定不是f(x)的极

15、值点,故不选(D) f“(x) 2(x)(x)由题设 (x0)0 得 f“(x0)2(2(x 0)(x0) 0又因为 (x)是单调递减函数,(x)0 ,所以,当 x(,x 0)时 f”(x)0;当 x(x0,)时 f“(x)0这表明(x 0,f(x 0)是曲线 yf(x)的拐点 故选A20 【正确答案】 B【试题解析】 注意到 ex 一 ex 为奇函数,所以 x(ex 一 ex )为偶函数,x 4(ex 一 ex )为奇函数,因此故选 B21 【正确答案】 C【试题解析】 根据定积分的几何意义,有 由 2a316 得a2 故选 C22 【正确答案】 C【试题解析】 设 ,则 AB,但A1,B1

16、故(A)不对 ABC,则 ATC TBT,而矩阵乘积是不能交换顺序的,故(B)不对 (C)是正确的(D) 不对,例如设 而A 1,B0,C0,故ABC不成立 故选 C23 【正确答案】 C【试题解析】 与对角阵 相似的矩阵对应于特征值 1 应有两个线性无关的特征向量,由于所以矩阵 对应于特征值 1 有两个线性无关的特征向量,故其与对角阵相似 故选 C24 【正确答案】 D【试题解析】 由题目条件知 Ax0 的基础解系中含有 4 个线性无关的解向量,而(B)中仅有 3 个解向量,个数不符合要求,故不选(B) 容易观察到选项(A),(C) 中的向量满足 ( 1 一 2)( 2 3)一( 3 一 4

17、)一( 4 1)0, ( 1 2)一( 2 3)一(3 4)一( 4 1)0.这表明(A) ,(C)中的解向量都线性相关,虽然 (A),(C)含有4 个解向量但(A) ,(C) 都不是 Ax0 的基础解系 由排除法,正确选项为(D)故选 D 注意 (A) ,(C)中的解向量也可用如下方法判断其线性相关性(A)中的解向量可写为这表明(C)中的向量线性相关25 【正确答案】 A【试题解析】 当 r(A)rm 时,矩阵 A 的 m 个行向量线性无关,因此,线性方程组 Axb 的增广矩阵 ,所以 Axb 有解 故选 A 注意 rm 仅是线性方程组 Axb 有解的充分条件,当 Axb 有解时,不一定有 r(A)rm例如,取 时,Ax b 有唯一解x11, ,显然 r(A)23(行数)。

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