1、工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 121 及答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 周长相同的圆、正方形和正三角形的面积分别为 a，b 和 c，则 a，b，c 的大小关系是 （A）ab c（B） bca（C） ca b（D）acb2 三名小孩中有一名学龄前儿童，他们的年龄都是质数，且依次相差 6 岁他们的年龄之和为 （A）21（B） 2 7（C） 33（D）393 已知某单位的 A 部门人数占单位总人数的 25， B 部门人数比 A 部门少 ，C部门有 156 人，比 B 部门多 ，该单位共有 人.（A）426（B
2、） 480（C） 600（D）6244 设互不相同的 3 个实数 a，b，c 在数轴上对应的点分别为A，B，C 若 ac a 一 bb 一 c，则点 B （A）在 A，C 点的左边（B）在 A，C 点的右边（C）在 A，C 两点之间（D）与点 A，C 的关系不确定5 若复数 z 满足 (zi)i 2i，则 z （A）1i（B） 13i（C） 12i（D）1i6 把两个不同的白球和两个不同的红球任意地排成一列，结果为两个白球不相邻的概率是 7 已知 f(x)x 2bxc ，x0，)f(x)是单调函数的充分必要条件是 （A）b0（B） b0（C） b0（D）b08 设 a0，b 0若 是 3a 与
3、 3b 的等比中项，则 的最小值为 .（A）3（B） 4（C） 1（D）9 过OAB 的重心 G 的直线 l 分别与边 OA 和 OB 交于点 P 和 Q已知OPOA ， ，则 10 已知a n是等差数列， a2a 3a 430，a 5a 640，则公差 d （A）2（B） 3（C） 4（D）511 已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于 A，B，则以 AB 为直径的圆与抛物线准线的公共点的数目为 （A）0（B） 1（C） 2（D）312 已知集合 Mxsinxcosx ，0xx ，N xsin2xcos2x，0x)，则MN 13 直线 l：xyb 与圆 C：(x1) 2(y1) 22 相交于 A
4、，B 两点，若AB2，则 b 的值等于 14 椭圆 (1b0)的右顶点为 A已知椭圆上存在一点 P，使(O 为坐标原点)，则 b 的取值范围为 15 如图，ABCD 是边长为 1 的正方形，ACCE AFC 的面积为 16 设当 x0 时，( 1)ln(1x 2)是比 xsinxn 高阶的无穷小量，而 xsinxn 是比(2x)tanx 2 高阶的无穷小量，则正整数 n 等于 （A）1（B） 2（C） 3（D）417 设 18 方程 3xex 10 在(一 ，)内实根的个数为 （A）0（B） 1（C） 2（D）319 设 f(x)(x) 2，其中 (x)在(一，)内恒为负值，其导数 (x)为单
5、调减函数，且 (x0)0，则下列结论正确的是 （A）yf(x)所表示的曲线在 (x0，f(x 0)处有拐点（B） xx 0 是 yd(x)的极大值点（C）曲线 yf(x)在(一，)上是凹的（D）f(x 0)是 f(x)在(一，) 上的最大值20 (xx 4)(ex 一 ex )dx （A）0（B）（C） 4e（D）21 当 ya 2 一 x2(x0)与 x 轴、y 轴及 x2a(a0)围成的平面图形的面积 A 等于 16时，a （A）1（B）（C） 2（D）22 设 A，B，C 均是 n 阶矩阵，则下列结论中正确的是 （A）若 AB，则AB（B）若 ABC ，则 ATB TCT（C）若 ABC
6、 ，则AB C（D）若 ABC，则ABC 23 下列矩阵中，与对角阵 相似的矩阵是 24 设 1， 2， 3， 4 是齐次线性方程组 Ax0 的基础解系，则 Ax0 的基础解系还可以是 （A） 1 2， 2 3， 3 4， 4 1（B） 1 2， 2 3 4， 1 2 3（C） 1 2， 2 3， 3 4， 4 1（D） 1 2， 2 3， 3 4， 4 125 设矩阵 A(a ij)mn，其秩 r(A)r，则非齐次线性方程组 Axb 有解的充分条件是 （A）rm（B） mn（C） rn（D）mn工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 121 答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 10
7、0 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 故选 A2 【正确答案】 C【试题解析】 根据题意，有一名儿童的年龄不足 6 周岁，所以最小孩子的年龄只可能是 2，3 或 5由于 268 和 369 都是合数，所以最小孩子的年龄是 5，从而三个孩子的年龄分别是 5，11，17，他们的年龄之和为 5111733故选 C3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 B C156，所以 B120 又因为 A 一B 120，所以 A150从而单位总人数为 故选 C4 【正确答案】 D【试题解析】 因为a 一 ca 一 bbc，且“”成立与点 B 位于A，C 两点
8、之间等价，所以当aca 一 bb 一 c时，点 B 不会位于A，C 两点之间但既可以位于 A，C 点的左边，也可以位于 A，C 点的右边故正确选项为(D) 故选 D5 【正确答案】 D【试题解析】 因为(zi)i2i ，所以 z i( 1) i2i11 一 i 故选D6 【正确答案】 D【试题解析】 总排列数为 P4424要求白球不相邻，可以先定两个位置放白球，放法有 P222两白球的左、右端和中间三处空位若选左端和中间各放一红球，有 P222 种排法同理选中间和右端各放一红球，也有 2 种排法若选中间放两个红球，也是 2 种放法白球不相邻的排法有 P22(P22P 22P 22)12 种所求
9、概率为 若考虑两个白球相邻的情况，如果把两个白球作为一个整体与两个红球作排列，则有 P33 种排法，三个位置中的一个放两个白球，又有 P22 种排法，所以两个白球相邻的概率为 白球不相邻的概率为 故选D7 【正确答案】 A【试题解析】 函数 yf(x)的图像是开口向上的抛物线，其对称轴是直线 f(x)在 x0，)上单调(单调增)，则对称轴不应在 y 轴右方，即b0注意 b0 时 yf(x)在0，)也是单调的 故选 A8 【正确答案】 B【试题解析】 由题意， ，即 3ab3，所以有 ab 1，从而由均值不等式 所以时等号成立 故选 B9 【正确答案】 D【试题解析】 如图所示，设 M 为 AB
10、 的中点，则故选 D10 【正确答案】 C【试题解析】 等差数列的通项 ana 1(n1)d，所以 a 2a 3a 4(a 1d)(a 1 2d)(a 13d)3a 16d， a 5a 6(a 14d)(a 15d)2a 19d 即得线性方程组 解出 d4 故选 C11 【正确答案】 B【试题解析】 如图所示，设抛物线焦点为 F，准线为 lAB 中点为 M，过 A、B和 M 分别作 l 的垂线，垂足分别是 A、B和 M，则有 以 AB 为直径的圆，其圆心在 M，且与 l 相切，切点为 M所以此圆与 l 只有 1 个交点 故选 B12 【正确答案】 B【试题解析】 在(0，)上分别作出 ysin
11、x 和 y cosx，ysin2x 和 ycos2x 的图像(见图 )，即可看出 故选 B13 【正确答案】 C【试题解析】 用代数方程求解，以 yb 一 x 代入圆 C 方程得 2x 22bx(b 1)210，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则有 x 1 2b，x 1x2 (b22b)， (x 1 一 x2)2(x 1 x2)2 4x1x2 b 22(b 22b)一 b24b AB 2(x 1 一 x2)2(y 1 一 y2)2 2(x 1 一 x2)22(一 b24b)，由AB 24，即得一 b24b2，解得 本题借助图形也很容易分析(见图)，即考查斜率为1 的直线 l 与圆
12、C(圆心在 Q(1，1)，半径为 交于 A，B，AB2因QAQB ，所以QAB 为等腰直角三角形，Q 至 l 距离为 1用 故选 C14 【正确答案】 B【试题解析】 已知 A(1，0)设 P(x，y)，由条件 得 OP 垂直于 PA，做内积得(x ，y).(x 1，y)0，即 x(1x)一 y20 以 y2b 2(1 一 x2)代入，得 (1一 b2)x2 一 xb 20分解因式得(x1)(1b 2)xb20因 x1 得 故选 B15 【正确答案】 A【试题解析】 在EAB 中 FCAB，所以AFC 的面积正方形 ABCD 的面积一 ABC 的面积一 ADF 的面积故选 A16 【正确答案】
13、 B【试题解析】 当 x0 时 ( 1)ln(1x 2)x 2.x2x 4，xsinx nx.x nx n1 ， (2x)tanx 22x 2，由题目条件有 2n14，从而 n2 故选 B17 【正确答案】 C【试题解析】 在 ；当 t0 时，u0；dt ，因此故选 C18 【正确答案】 C【试题解析】 设 f(x)3xe x1，则 f(x)3e x3xe x3(1x)e x令 f(x)0，得x1当 x1 时，f(x)0，当 x1 时 f(x)0由此可得 f(x)在(一，1) 内单调递减，在 (1，) 内单调增加， x1 是 f(x)的唯一极小值点，因而是最小值点，最小值为 f(1)3e 1
14、10 由函数的单调性和零点存在定理可判断 f(x)在( 一，1)内和(1，)内各有一个零点，因此方程 f(x)0 在(一，)内恰有两个根 故选 C 注 (1) (2)对本题利用零点存在定理时，可用如下方法： ，f(1)0，f(1)3e10，因此 f(x)在(3， 1)内和 (1，1)内至少各有一个零点19 【正确答案】 A【试题解析】 因 (x)在( 一，)内恒为负值，所以 f(x0)(x 0)20，由取得极值的必要条件，x 0 一定不是 f(x)的极值点，故不选(B)；又如果 f(x)的最值点 x0 在开区间(， )内取得，则 x0 一定是极值点，由上面的分析知，x 0 一定不是f(x)的极
15、值点，故不选(D) f“(x) 2(x)(x)由题设 (x0)0 得 f“(x0)2(2(x 0)(x0) 0又因为 (x)是单调递减函数，(x)0 ，所以，当 x(，x 0)时 f”(x)0；当 x(x0，)时 f“(x)0这表明(x 0，f(x 0)是曲线 yf(x)的拐点 故选A20 【正确答案】 B【试题解析】 注意到 ex 一 ex 为奇函数，所以 x(ex 一 ex )为偶函数，x 4(ex 一 ex )为奇函数，因此故选 B21 【正确答案】 C【试题解析】 根据定积分的几何意义，有 由 2a316 得a2 故选 C22 【正确答案】 C【试题解析】 设 ，则 AB，但A1，B1
16、故(A)不对 ABC，则 ATC TBT，而矩阵乘积是不能交换顺序的，故(B)不对 (C)是正确的(D) 不对，例如设 而A 1，B0，C0，故ABC不成立 故选 C23 【正确答案】 C【试题解析】 与对角阵 相似的矩阵对应于特征值 1 应有两个线性无关的特征向量，由于所以矩阵 对应于特征值 1 有两个线性无关的特征向量，故其与对角阵相似 故选 C24 【正确答案】 D【试题解析】 由题目条件知 Ax0 的基础解系中含有 4 个线性无关的解向量，而(B)中仅有 3 个解向量，个数不符合要求，故不选(B) 容易观察到选项(A)，(C) 中的向量满足 ( 1 一 2)( 2 3)一( 3 一 4
17、)一( 4 1)0， ( 1 2)一( 2 3)一(3 4)一( 4 1)0.这表明(A) ，(C)中的解向量都线性相关，虽然 (A)，(C)含有4 个解向量但(A) ，(C) 都不是 Ax0 的基础解系 由排除法，正确选项为(D)故选 D 注意 (A) ，(C)中的解向量也可用如下方法判断其线性相关性(A)中的解向量可写为这表明(C)中的向量线性相关25 【正确答案】 A【试题解析】 当 r(A)rm 时，矩阵 A 的 m 个行向量线性无关，因此，线性方程组 Axb 的增广矩阵 ，所以 Axb 有解 故选 A 注意 rm 仅是线性方程组 Axb 有解的充分条件，当 Axb 有解时，不一定有 r(A)rm例如，取 时，Ax b 有唯一解x11， ，显然 r(A)23(行数)。
