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[考研类试卷]经济类专业学位联考综合能力数学基础(微积分)模拟试卷17及答案与解析.doc

1、经济类专业学位联考综合能力数学基础(微积分)模拟试卷 17 及答案与解析单项选择题1 已知 F(x)是 f(x)的一个原函数,则 axf(2t+a)dt=( )(A)F(2x+a) F(a)(B) 12F(2x+a)F(a)(C) 12F(2x+a)F(2a)(D)12F(2x+a)F(3a)2 若 f(ex)=xex ,且 f(1)=0,则 f(x)=( )(A)2ln 2x(B) ln2x(C) 12ln 2x(D)lnx3 设函数 f(x)与 g(x)在0 ,1上连续,且 f(x)g(x),则对任意 c(0,1),有( )(A) 12 cf(t)dt12 cg(t)dt(B) 12 cf

2、(t)dt12 cg(t)dt(C) c1f(t)dtc1g(t)dt(D) c1f(f)dtc1g(t)dt4 ddx xcost2dt=( )(A)x 3cosx4(B) 2x2cosx4(C) cost2dt+2x2cosx4(D) cost2dt2x 2cosx45 设 f(x)为连续函数,且 f(x)= +x301f(x)dx,则 f(x)=( )6 曲线 y=x3,直线 x=1 ,x=2 及 x 轴所围成的封闭图形的面积为 ( )(A)94(B) 134(C) 154(D)1747 xcosxdx=( )(A)xsinxcosx+C(B) sinx xcosx+C(C) xsinx

3、+cosx+C(D)sinx+xcosx+C8 已知 f(1x ,1y)=x 32xy 2+3y,则 f(x,y)=( )9 已知 z=sinxy+x2+y3,则 x =( )(A)2x 23y 3(B) x3y 4(C) 2x3y 2(D)x 2y 310 已知 z=uv,u=ln ,v=x,则 dz|(e,0) =( )(A)dx(B) dy(C) dxdy(D)dx+dy11 设 z=f(xy,xy)+g(y x),其中 f,g 均为可微分函数,则 =( )12 设 f(u,v)有连续偏导数,且 g(x,y)=fxy ,12(x 2y 2),则 y =( )(A)2xyf 2(B) (x

4、2y 2)f1(C) 2xyf1(D)(x 2+y2)f113 函数 f(x, y)=3axyx 3y 3(a0)( )(A)没有极值(B)既有极大值也有极小值(C)仅有极小值(D)仅有极大值14 设 z=ecosxy,则 dz|(1, 2)=( )。计算题15 16 设 f(x)的一个原函数为 sinxx,求xf(x)dx 17 当 a(a0)为何值时, dt 存在?并求此极限18 计算定积分 35 dx19 20 设 f(x)=1x dt,求 01f(x)dx21 从点(2 ,0)引两条直线与曲线 y=x3 相切,求这两条直线与曲线 y=x3 所围图形的面积22 设二元函数 z=ln ,求

5、 dz|(1,2) 23 设 f(u,v)为可微函数,z=fx,f(x ,x),求 dzdx24 设 z=z(x,y)由方程 x3z 3=y(zy)确定,其中 可微,求25 设 z=3x 2y+26 设 f(x,y, z)=exyz2,其中 z=z(x,y)由 x+y+z+xyz=0 确定,求 fx(0,1,1)27 设二元函数 z=(x21) 2+y2,求 z 的极值点与极值28 求二元函数 z=f(x,y)=x 2y(4xy)在由直线 x+y=6,x 轴和 y 轴所围成的闭区域 D 上的极值、最大值与最小值经济类专业学位联考综合能力数学基础(微积分)模拟试卷 17 答案与解析单项选择题1

6、【正确答案】 D【试题解析】 设 u=2t+a,则 du=2dt当 t=a 时,u=3a;当 t=x 时,u=2x+a 因此 axf(2t+a)dt=3a2x+a12f(u)du=12F(u)| 3a2x+a=12F(2x+a)F(3a) 故选 D【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 由于 f(ex)=xex ,令 t=ex,则得 f(t)=1tlnt,所以 f(t)=f(t)dt=1tlntdt=lntd(lnt)= ln2t+C由于 f(1)=0,代入 f(t)表达式可得 C=0,因此f(t)=12ln 2t,f(x)=1 2ln 2x【知识模块】 微积分3 【正确答案】

7、D【试题解析】 注意定积分的不等式性质:若连续函数 f(x),g(x)在a,b 上满足f(x)g(x),则当 ab 时, abf(x)dxabg(x)dx 由于 c(0,1),因此 c1 恒成立,而 c 可能大于 12,也可能小于 12,可知 A,B 不正确由于 f(x)g(x),可知应有 c1f(t)dtc1g(t)dt,所以 D 正确,C 不正确故选 D【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 注意到可变下限积分的求导公式 xbf(t)dt=f(x),被积函数中的变量为 t,不含变下限的变元 x而题设所给积分的被积函数中含有变下限的变元x,因此不能直接利用可变下限积分的求导公式

8、通常的处理方法是进行恒等变形,将被积函数中的 x 分离到积分号的外面由于在积分的过程中,积分变元为 t,因此可以认定 x 为积分过程中的常量所以= cost2dtxcos(x 2)2(x 2)= cost2dt2x 2cosx4故选 D【知识模块】 微积分5 【正确答案】 A【试题解析】 由于当 01f(x)dx 存在时,它为一个确定的数值,设 A=01f(x)dx,则f(x)= +Ax3,将上述等式两端在0,1上分别积分,可得 A=01f(x)dx=01 dx+01Ax3dx,A=arctanx| 01+ Ax4|01 解得 A=3,从而故选 A【知识模块】 微积分6 【正确答案】 D【试题

9、解析】 围成的封闭图形如图 132 所示在1,0上,图形在横坐标轴下方;在0 ,2 上,图形在横坐标轴上方因此图形面积 S= 1 0x3dx故选 D【知识模块】 微积分7 【正确答案】 C【试题解析】 利用分部积分法设 u=x,v=cosx,则u=1,v=sinx,因此xcosxdx=xsinxsinxdx=xsinx+cosx+C故选 C【知识模块】 微积分8 【正确答案】 C【试题解析】 设 u=1x,v=1 y,则 x=1u,y=1v由题设表达式可得故选 C【知识模块】 微积分9 【正确答案】 A【试题解析】 由偏导数的定义可知,求 时,只需认定 y 为不变的数值因此可以将 z 认作关于

10、 x 的一元函数,依据一元函数求导运算求出 因此可得=ycosxy+2x,同理得 xcos=xy+3y2,因此 x =2x23y 3故选 A【知识模块】 微积分10 【正确答案】 A【试题解析】 由链式求导法则可知 注意 u 的表达式,可以先变形为 u= ln(x2+y2),这能简化求 的运算由于dvdx=1,因此当 x=e,y=0 时,u=1,v=e,从而 =0,dz| (e,0) =dx故选 A【知识模块】 微积分11 【正确答案】 B【试题解析】 所给函数 f,g 均为抽象函数,应引入中间变量解法 1 令u=xy,v=xy,w=yx,则 z=f(u,v)+g(w) ,依四则运算法则与链式

11、求导法则有式中 =f2,故选 B解法 2 记 fi 表示 f 对第 i 个位置变元的偏导数,i=1,2,注意到第一个位置变元为 xy,其对 x 的偏导数为 y;第二个位置变元为 xy,其对 x 的偏导数为1y依四则运算法则与链式求导法则有 上述解法 2,当f 的每个位置变元关于 x,y 的偏导数易求时,常能简化运算,特别对于求高阶偏导数效果更明显故选 B【知识模块】 微积分12 【正确答案】 D【试题解析】 解法 1 由于 =f1y+f 2x, =f1xf 2y,则y =y2f1+xyf2+x2f1xyf 2=(x2+y2)f1故选 D解法 2 设u=xy,v=12(x 2y 2),则 g=f

12、(u,v)所以又由于=f1故选 D【知识模块】 微积分13 【正确答案】 D【试题解析】 所给问题为无约束极值问题,则函数 f(z,y)的定义域为整个 xOy 坐标面令 可解得唯一一组解 x=a,y=a ,可知 f(x,y)只有唯一驻点 M(a,a)又由于B2AC=9a 236a 2=25a 20,所以由极值的充分条件可知点 M(a,a)为 f(x,y)的极大值点,极大值为 f(a,a)=a 3故选 D【知识模块】 微积分14 【正确答案】 D【试题解析】 由于 z=ecosxy,可得=ecosxy(sinxy)y=ye cosxysinxy, =ecosxy(sinxy)x= xe cosx

13、ysinxy,故选 D【知识模块】 微积分计算题15 【正确答案】 利用凑微分法解法 1=lnexln(1+e x)+C=xln(1+e x)+C解法 2 =ln(e x +1)+C【知识模块】 微积分16 【正确答案】 利用分部积分法,有xf(x)dx=xf(x)f(x)dx由题设 sinxx 为f(x)的一个原函数,可知【知识模块】 微积分17 【正确答案】 当 x0 时,分母 xa0,分子 0x dt0此时极限为“00”型,则由洛必达法则求解由于被积函数中含有可变限的变元,应先变形,有由于分子的极限不为零,因此分母的极限也不为零,可知 a=2此时原式=12【知识模块】 微积分18 【正确

14、答案】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 令 x=tant,则 dx=1cos 2tdt当 x=0 时,t=0;当 x= 时,t=6因此【知识模块】 微积分20 【正确答案】 由于 f(x)=1x dt,两端同时关于 x 求导,可得 f(x)= 01f(x)dx=xf(x)|01 01xf(x)dx=f(1) 01x dx 当x=1 时, f(1)=11 dt=0,因此 01f(x)dx=12(e 1 1) 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 点(2,0)不在曲线 y=x3 上,设点(2,0)引出的直线与曲线 y=x3 相切的切点为(x 0,y 0),则 y0=x03,又 y=3x2

15、y =3x02,所以切线方程为yy 0=3x02(xx 0),即 y x03=3x02(xx 0)又由于切线过点 (2,0),因此有0x 03=3x02(2x 0),解得 x0=0 或 x0=3当 x0=0 时,相应的切线方程为 y=0当x0=3 时,相应的切线方程为 y=27(x2)两条切线与曲线 y=x3 所围图形如图 135 所示,记面积为 S 由于当 x0=3 时,y 0=27因此S=02x3dx+23(x327x+54)dx=274,或【知识模块】 微积分22 【正确答案】 由 z=ln =12ln(x 2+y3),则【知识模块】 微积分23 【正确答案】 记 fi(u,v)为 f(

16、u,v) 对第 i 个位置变量的偏导数,i=1,2由于 z为 x 的一元函数,可知 dzdx=f 1x,f(x,x)+f 2x,f(x,x)f 1(x,x)+f 2(x,x)【试题解析】 上面运算中 f1x,f(x ,x)与 f1(x,x)不相同,且 f1(x,x)与f2(x,x)也不相同,这里不能写为 f1 或 f2,必须将其中变元表示出来,以免错误【知识模块】 微积分24 【正确答案】 设 F(x,y,z)=x 3z 2y(xy),则【知识模块】 微积分25 【正确答案】 【知识模块】 微积分26 【正确答案】 因为点(0,1,1)满足方程 x+y+z+xyz=0又 fx(x,y,z)=e

17、xyz2+2exyz ,设 F(x, y,z)=x+y+z+xyz,则 Fx=1+yz,F z=1+xy,所以 fx(0,1,1)=1【知识模块】 微积分27 【正确答案】 由于 因此z 有三个驻点 (0,0),(1,0),(1,0)由于 =12x24=4(3x 21) ,在点(0,0)处,B2AC=80依极值的充分条件知点(0,0) 不为极值点在点(1,0)处,B2AC=160依极值的充分条件知点(1,0)为极小值点,极小值为 0在点(1,0)处,B2AC=160依极值的充分条件知点(1,0) 为极小值点,极小值为 0【知识模块】 微积分28 【正确答案】 注意 f(x,y)在区域 D 上的

18、极值点限定在区域 D 的内部,而最大(小)值点可以在区域 D 的边界上取得因此求 f(x,y)在区域 D 上的极值点可按无条件极值方法处理,但是必须限定所考虑的驻点在给定的区域内而考虑最大(小)值点与最大(小) 值时还应该考虑 f(x,y)在区域 D 的边界上的极值问题,这属于条件极值问题先依无条件极值方法求 f(x,y)在区域 D 内的极值:由于 z=f(x,y)=x2y(4xy),求解 由于区域 D 的边界曲线为 x=0;y=0 ;x+y=6,可知仅点(2,1)在区域 D 内,应舍掉(0,y)与(4,0)由于A=(8y6xy2y 2)|(2,1)=6 0,B=(8xx 24xy)| (2,

19、1) =4,C=2x 2|(2,1)=8 B2AC=1648=320因此点(2,1)为极大值点,极大值为 f(2,1)=4下面求 f(x,y) 在 D 上的最大值与最小值:(1)在 D 的边界曲线 x=0(0y6)上,f(x,y)=0;(2)在 D 的边界曲线 y=0(0x6)上,f(x ,y)=0 ;(3)在 D 的边界曲线x+y=6 上,一种方法是利用条件极值,构造拉格朗日函数 L(x,y,)=x 2y(4xy)+(x+y6),求其极值另一种方法是由 x+y=6 可解得 y=6x,将其代入 f(x,y)可得 z=2x312x 2(0x6)显然后者简单,下面按一元函数求极大(小)值方法求之先

20、求出 z 在(0,6)内的驻点,由于 z=6x224x=6x(x4)令 z=0 得x=4,x=0( 舍掉),则 z“=12z24=12(x 2),z“| x=4=240,可知 x=4 为 z 的极小值点当 x=4 时,由 x+y=6 得知 y=2f(4,2)=64 为 f(x,y)在 x+y=6(x0,y0)上的极小值由于 x=0 或 y=0 时 f(x,y)=0 ,可知 f(x,y)在区域 D 的边界线上的最小值为 f(4, 2)=64,比较上述运算结果可知 f(x,y)在 D 上的最大值点为(2,1),最大值为 f(2,1)=4,最小值点为(4,2),最小值为 f(4,2)=64【知识模块】 微积分

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