1、经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷 17 及答案与解析单项选择题1 已知 F(x)是 f(x)的一个原函数，则 axf(2t+a)dt=( )（A）F(2x+a) F(a)（B） 12F(2x+a)F(a)（C） 12F(2x+a)F(2a)（D）12F(2x+a)F(3a)2 若 f(ex)=xex ，且 f(1)=0，则 f(x)=( )（A）2ln 2x（B） ln2x（C） 12ln 2x（D）lnx3 设函数 f(x)与 g(x)在0 ，1上连续，且 f(x)g(x)，则对任意 c(0，1)，有( )（A） 12 cf(t)dt12 cg(t)dt（B） 12 cf
2、(t)dt12 cg(t)dt（C） c1f(t)dtc1g(t)dt（D） c1f(f)dtc1g(t)dt4 ddx xcost2dt=( )（A）x 3cosx4（B） 2x2cosx4（C） cost2dt+2x2cosx4（D） cost2dt2x 2cosx45 设 f(x)为连续函数，且 f(x)= +x301f(x)dx，则 f(x)=( )6 曲线 y=x3，直线 x=1 ，x=2 及 x 轴所围成的封闭图形的面积为 ( )（A）94（B） 134（C） 154（D）1747 xcosxdx=( )（A）xsinxcosx+C（B） sinx xcosx+C（C） xsinx
3、+cosx+C（D）sinx+xcosx+C8 已知 f(1x ，1y)=x 32xy 2+3y，则 f(x，y)=( )9 已知 z=sinxy+x2+y3，则 x =( )（A）2x 23y 3（B） x3y 4（C） 2x3y 2（D）x 2y 310 已知 z=uv，u=ln ，v=x，则 dz|(e，0) =( )（A）dx（B） dy（C） dxdy（D）dx+dy11 设 z=f(xy，xy)+g(y x)，其中 f，g 均为可微分函数，则 =( )12 设 f(u，v)有连续偏导数，且 g(x，y)=fxy ，12(x 2y 2)，则 y =( )（A）2xyf 2（B） (x
4、2y 2)f1（C） 2xyf1（D）(x 2+y2)f113 函数 f(x， y)=3axyx 3y 3(a0)( )（A）没有极值（B）既有极大值也有极小值（C）仅有极小值（D）仅有极大值14 设 z=ecosxy，则 dz|(1， 2)=( )。计算题15 16 设 f(x)的一个原函数为 sinxx，求xf(x)dx 17 当 a(a0)为何值时， dt 存在?并求此极限18 计算定积分 35 dx19 20 设 f(x)=1x dt，求 01f(x)dx21 从点(2 ，0)引两条直线与曲线 y=x3 相切，求这两条直线与曲线 y=x3 所围图形的面积22 设二元函数 z=ln ，求
5、 dz|(1，2) 23 设 f(u，v)为可微函数，z=fx，f(x ，x)，求 dzdx24 设 z=z(x，y)由方程 x3z 3=y(zy)确定，其中 可微，求25 设 z=3x 2y+26 设 f(x，y， z)=exyz2，其中 z=z(x，y)由 x+y+z+xyz=0 确定，求 fx(0，1，1)27 设二元函数 z=(x21) 2+y2，求 z 的极值点与极值28 求二元函数 z=f(x，y)=x 2y(4xy)在由直线 x+y=6，x 轴和 y 轴所围成的闭区域 D 上的极值、最大值与最小值经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷 17 答案与解析单项选择题1
6、【正确答案】 D【试题解析】 设 u=2t+a，则 du=2dt当 t=a 时，u=3a；当 t=x 时，u=2x+a 因此 axf(2t+a)dt=3a2x+a12f(u)du=12F(u)| 3a2x+a=12F(2x+a)F(3a) 故选 D【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 由于 f(ex)=xex ，令 t=ex，则得 f(t)=1tlnt，所以 f(t)=f(t)dt=1tlntdt=lntd(lnt)= ln2t+C由于 f(1)=0，代入 f(t)表达式可得 C=0，因此f(t)=12ln 2t，f(x)=1 2ln 2x【知识模块】 微积分3 【正确答案】
7、D【试题解析】 注意定积分的不等式性质：若连续函数 f(x)，g(x)在a，b 上满足f(x)g(x)，则当 ab 时， abf(x)dxabg(x)dx 由于 c(0，1)，因此 c1 恒成立，而 c 可能大于 12，也可能小于 12，可知 A，B 不正确由于 f(x)g(x)，可知应有 c1f(t)dtc1g(t)dt，所以 D 正确，C 不正确故选 D【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 注意到可变下限积分的求导公式 xbf(t)dt=f(x)，被积函数中的变量为 t，不含变下限的变元 x而题设所给积分的被积函数中含有变下限的变元x，因此不能直接利用可变下限积分的求导公式
8、通常的处理方法是进行恒等变形，将被积函数中的 x 分离到积分号的外面由于在积分的过程中，积分变元为 t，因此可以认定 x 为积分过程中的常量所以= cost2dtxcos(x 2)2(x 2)= cost2dt2x 2cosx4故选 D【知识模块】 微积分5 【正确答案】 A【试题解析】 由于当 01f(x)dx 存在时，它为一个确定的数值，设 A=01f(x)dx，则f(x)= +Ax3，将上述等式两端在0，1上分别积分，可得 A=01f(x)dx=01 dx+01Ax3dx，A=arctanx| 01+ Ax4|01 解得 A=3，从而故选 A【知识模块】 微积分6 【正确答案】 D【试题
9、解析】 围成的封闭图形如图 132 所示在1，0上，图形在横坐标轴下方；在0 ，2 上，图形在横坐标轴上方因此图形面积 S= 1 0x3dx故选 D【知识模块】 微积分7 【正确答案】 C【试题解析】 利用分部积分法设 u=x，v=cosx，则u=1，v=sinx，因此xcosxdx=xsinxsinxdx=xsinx+cosx+C故选 C【知识模块】 微积分8 【正确答案】 C【试题解析】 设 u=1x，v=1 y，则 x=1u，y=1v由题设表达式可得故选 C【知识模块】 微积分9 【正确答案】 A【试题解析】 由偏导数的定义可知，求 时，只需认定 y 为不变的数值因此可以将 z 认作关于
10、 x 的一元函数，依据一元函数求导运算求出 因此可得=ycosxy+2x，同理得 xcos=xy+3y2，因此 x =2x23y 3故选 A【知识模块】 微积分10 【正确答案】 A【试题解析】 由链式求导法则可知 注意 u 的表达式，可以先变形为 u= ln(x2+y2)，这能简化求 的运算由于dvdx=1，因此当 x=e，y=0 时，u=1，v=e，从而 =0，dz| (e，0) =dx故选 A【知识模块】 微积分11 【正确答案】 B【试题解析】 所给函数 f，g 均为抽象函数，应引入中间变量解法 1 令u=xy，v=xy，w=yx，则 z=f(u，v)+g(w) ，依四则运算法则与链式
11、求导法则有式中 =f2，故选 B解法 2 记 fi 表示 f 对第 i 个位置变元的偏导数，i=1，2，注意到第一个位置变元为 xy，其对 x 的偏导数为 y；第二个位置变元为 xy，其对 x 的偏导数为1y依四则运算法则与链式求导法则有 上述解法 2，当f 的每个位置变元关于 x，y 的偏导数易求时，常能简化运算，特别对于求高阶偏导数效果更明显故选 B【知识模块】 微积分12 【正确答案】 D【试题解析】 解法 1 由于 =f1y+f 2x， =f1xf 2y，则y =y2f1+xyf2+x2f1xyf 2=(x2+y2)f1故选 D解法 2 设u=xy，v=12(x 2y 2)，则 g=f
12、(u，v)所以又由于=f1故选 D【知识模块】 微积分13 【正确答案】 D【试题解析】 所给问题为无约束极值问题，则函数 f(z，y)的定义域为整个 xOy 坐标面令 可解得唯一一组解 x=a，y=a ，可知 f(x，y)只有唯一驻点 M(a，a)又由于B2AC=9a 236a 2=25a 20，所以由极值的充分条件可知点 M(a，a)为 f(x，y)的极大值点，极大值为 f(a，a)=a 3故选 D【知识模块】 微积分14 【正确答案】 D【试题解析】 由于 z=ecosxy，可得=ecosxy(sinxy)y=ye cosxysinxy， =ecosxy(sinxy)x= xe cosx
13、ysinxy，故选 D【知识模块】 微积分计算题15 【正确答案】 利用凑微分法解法 1=lnexln(1+e x)+C=xln(1+e x)+C解法 2 =ln(e x +1)+C【知识模块】 微积分16 【正确答案】 利用分部积分法，有xf(x)dx=xf(x)f(x)dx由题设 sinxx 为f(x)的一个原函数，可知【知识模块】 微积分17 【正确答案】 当 x0 时，分母 xa0，分子 0x dt0此时极限为“00”型，则由洛必达法则求解由于被积函数中含有可变限的变元，应先变形，有由于分子的极限不为零，因此分母的极限也不为零，可知 a=2此时原式=12【知识模块】 微积分18 【正确
14、答案】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 令 x=tant，则 dx=1cos 2tdt当 x=0 时，t=0；当 x= 时，t=6因此【知识模块】 微积分20 【正确答案】 由于 f(x)=1x dt，两端同时关于 x 求导，可得 f(x)= 01f(x)dx=xf(x)|01 01xf(x)dx=f(1) 01x dx 当x=1 时， f(1)=11 dt=0，因此 01f(x)dx=12(e 1 1) 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 点(2，0)不在曲线 y=x3 上，设点(2，0)引出的直线与曲线 y=x3 相切的切点为(x 0，y 0)，则 y0=x03，又 y=3x2
15、y =3x02，所以切线方程为yy 0=3x02(xx 0)，即 y x03=3x02(xx 0)又由于切线过点 (2，0)，因此有0x 03=3x02(2x 0)，解得 x0=0 或 x0=3当 x0=0 时，相应的切线方程为 y=0当x0=3 时，相应的切线方程为 y=27(x2)两条切线与曲线 y=x3 所围图形如图 135 所示，记面积为 S 由于当 x0=3 时，y 0=27因此S=02x3dx+23(x327x+54)dx=274，或【知识模块】 微积分22 【正确答案】 由 z=ln =12ln(x 2+y3)，则【知识模块】 微积分23 【正确答案】 记 fi(u，v)为 f(
16、u，v) 对第 i 个位置变量的偏导数，i=1，2由于 z为 x 的一元函数，可知 dzdx=f 1x，f(x，x)+f 2x，f(x，x)f 1(x，x)+f 2(x，x)【试题解析】 上面运算中 f1x，f(x ，x)与 f1(x，x)不相同，且 f1(x，x)与f2(x，x)也不相同，这里不能写为 f1 或 f2，必须将其中变元表示出来，以免错误【知识模块】 微积分24 【正确答案】 设 F(x，y，z)=x 3z 2y(xy)，则【知识模块】 微积分25 【正确答案】 【知识模块】 微积分26 【正确答案】 因为点(0，1，1)满足方程 x+y+z+xyz=0又 fx(x，y，z)=e
17、xyz2+2exyz ，设 F(x， y，z)=x+y+z+xyz，则 Fx=1+yz，F z=1+xy，所以 fx(0，1，1)=1【知识模块】 微积分27 【正确答案】 由于 因此z 有三个驻点 (0，0)，(1，0)，(1，0)由于 =12x24=4(3x 21) ，在点(0，0)处，B2AC=80依极值的充分条件知点(0，0) 不为极值点在点(1，0)处，B2AC=160依极值的充分条件知点(1，0)为极小值点，极小值为 0在点(1，0)处，B2AC=160依极值的充分条件知点(1，0) 为极小值点，极小值为 0【知识模块】 微积分28 【正确答案】 注意 f(x，y)在区域 D 上的
18、极值点限定在区域 D 的内部，而最大(小)值点可以在区域 D 的边界上取得因此求 f(x，y)在区域 D 上的极值点可按无条件极值方法处理，但是必须限定所考虑的驻点在给定的区域内而考虑最大(小)值点与最大(小) 值时还应该考虑 f(x，y)在区域 D 的边界上的极值问题，这属于条件极值问题先依无条件极值方法求 f(x，y)在区域 D 内的极值：由于 z=f(x，y)=x2y(4xy)，求解 由于区域 D 的边界曲线为 x=0；y=0 ；x+y=6，可知仅点(2，1)在区域 D 内，应舍掉(0，y)与(4，0)由于A=(8y6xy2y 2)|(2，1)=6 0，B=(8xx 24xy)| (2，
19、1) =4，C=2x 2|(2，1)=8 B2AC=1648=320因此点(2，1)为极大值点，极大值为 f(2，1)=4下面求 f(x，y) 在 D 上的最大值与最小值：(1)在 D 的边界曲线 x=0(0y6)上，f(x，y)=0；(2)在 D 的边界曲线 y=0(0x6)上，f(x ，y)=0 ；(3)在 D 的边界曲线x+y=6 上，一种方法是利用条件极值，构造拉格朗日函数 L(x，y，)=x 2y(4xy)+(x+y6)，求其极值另一种方法是由 x+y=6 可解得 y=6x，将其代入 f(x，y)可得 z=2x312x 2(0x6)显然后者简单，下面按一元函数求极大(小)值方法求之先
20、求出 z 在(0，6)内的驻点，由于 z=6x224x=6x(x4)令 z=0 得x=4，x=0( 舍掉)，则 z“=12z24=12(x 2)，z“| x=4=240，可知 x=4 为 z 的极小值点当 x=4 时，由 x+y=6 得知 y=2f(4，2)=64 为 f(x，y)在 x+y=6(x0，y0)上的极小值由于 x=0 或 y=0 时 f(x，y)=0 ，可知 f(x，y)在区域 D 的边界线上的最小值为 f(4， 2)=64，比较上述运算结果可知 f(x，y)在 D 上的最大值点为(2，1)，最大值为 f(2，1)=4，最小值点为(4，2)，最小值为 f(4，2)=64【知识模块】 微积分
