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[考研类试卷]经济类专业学位联考综合能力数学基础(微积分)模拟试卷6及答案与解析.doc

1、经济类专业学位联考综合能力数学基础(微积分)模拟试卷 6 及答案与解析单项选择题1 设x n是数列,下列命题中不正确的是( ) 2 已知 f(x)存在,且函数 f(x)=x2+x2 f(x)=( )(A)32(B) 23(C) 23(D)323 (A)5(B) 12(C) 32(D)24 设 f(sin2x)=x2|sinx|,当 x0 时,f(x)为 x 的( )(A)等价无穷小量(B)同阶无穷小量,但不为等价无穷小量(C)高阶无穷小量(D)低阶无穷小量5 当 x0 时,变量 1x 2sin1x 是( )(A)无穷小量(B)无穷大量(C)有界变量,但不是无穷小量(D)无界变量,但不是无穷大量

2、6 设函数 f(x 1)= 则当 x1 时, f(x)的( )(A)左极限不存在,右极限存在(B)左极限存在,右极限不存在(C)左极限与右极限都存在,且极限存在(D)左极限与右极限都存在,但极限不存在7 设 f(x)= 在点 x=0 处连续,则( )(A)a=2 ,b=2(B) a 任意,b=2(C) a=2,b 任意(D)a 任意, b 任意8 在下列区间内,函数 f(x)= 有界的是 ( )(A)(1,0)(B) (0,1)(C) (1,2)(D)(2 ,3)9 若已知函数 f(x)在点 x=4 处的导数 f(4)=1,则 =( )(A)1(B) 2(C) 3(D)410 设函数 f(x)

3、= 则 f(x)在点 x=0 处( )(A)间断(B)连续但不可导(C)可导,但导数在该点间断(D)导数在该点连续11 下列命题中正确的是( )(A)若 x0 为 f(z)的极值点,则必有 f(x0)0(B)若 x0 为 f(x)的极值点,且 f(x0)=0,则 f“(x0)一定存在(C)若 x0 为 f(x)的极值点,且 f“(x0)存在,则必有 f(x0)=0(D)若 x0 为 f(x)的极小值点,则必定存在 x0 的某个邻域,在此邻域内,函数y=f(x)在点 x0 左侧单调减少,在点 x0 右侧单调增加12 已知当 x0 时,函数 f(x)=3sinxsin2x 与 xk 是同阶无穷小量

4、,则 k=( )(A)1(B) 2(C) 3(D)413 已知 f(n2) (x)=sin2x,则 f(n)(x)=( )(A)4sin2x(B) 4sin2x(C) 4cos2x(D)4cos2x14 设函数 f(x)有连续导函数,f(0)=0 且 f(0)=b,若函数 F(x)=在 x=0 处连续,则 A=( )(A)a+b(B) ab(C) ab(D)ba15 f(x)=ln(1+x2),则在( 1,0)内( )(A)函数 y=f(x)单调减少,曲线为凹(B)函数 y=f(x)单调减少,曲线为凸(C)函数 y=f(x)单调增加,曲线为凹(D)函数 y=f(x)单调增加,曲线为凸计算题16

5、 17 已知 =2,求 a,b 的值18 设 f(x)= f(x)存在,求常数 a 的值19 设当 x0 时,cosx1 与 xasinbx 为等价无穷小量,求常数 a,b20 设 f(x)= 在点 x=0 处连续,求 a 的值21 设 f(x)= F(x,t) ,其中 F(x,t)=( )1(x t) (x1)(t 1)0,xt),求 f(x)的间断点,并判别其类型22 设 f(x)= 在(,+)内连续,且 f(x)=0,判断 a,b 的关系23 设 y=f(lnx)ef(x),其中 f(x)为可微函数,求 dy24 设 y=ln(12x),求 y(n)(0)25 设函数 f(x)=ax36

6、ax 2+b 在区间1,2上的最大值为 3,最小值为29,又a0,求常数 a,b 的值26 设圆的面积以匀速 c 增加,问:圆周长增加的速度与圆的半径有什么关系?26 若某商品的需求函数 Q=1502p 2,试求:27 p=6 时的边际需求;28 p=6 时的需求弹性;29 当 p=6 时,若价格下降 2,总收益将是增加还是减少?变化百分之几?经济类专业学位联考综合能力数学基础(微积分)模拟试卷 6 答案与解析单项选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 对于 A,C,由收敛数列的子列的性质:若数列x n收敛于 a,则其任意一个子列 也收敛,且极限为 a可知 A,C 正确对于 B,由数列极限的性

7、质:若 x2n=a,且 x2n+1=a,则 xn=a,可知 B 正确对于 D,举反例,考查 其中 k=1,2,易见x3n=1, x3n+1=1, x3n+2=2,因此 xn 不存在,即 D 不正确故选 D【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 由于极限值为一个确定的数值,因此可设 f(x)=A,于是 f(x)=x2+x 2A 两端同时取 x1 时的极限,有 (x2+x2A)=22A ,于是A=2 2A解得 A=23故选 B【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 当 x时,原式分子与分母的极限皆为,不能利用极限的四则运算法则首先分子、分母同乘 1x 3,得 故选 B【

8、知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 设 t=sin2x,则|sinx|=sin|x|= ,|x|=arcsin 因此 f(sin2x)=x2|sinx|可化为 f(t)=即当 x0 时,f(x)为无穷小量因此可知当 x0 时,f(x)为 x 的低阶无穷小量,故选 D【知识模块】 微积分5 【正确答案】 D【试题解析】 取点列 xn=1n,则变量值为 =(n)2sin(n)=0,此时变量值为点列 0,0,0,取点列 xn= ,则变量值为此时变量值(2n+ )2为无界点列综上可知,当 x0 时,变量 1x 2sin1x 是无界变量,但不是无穷大量,故选 D【知识模块】 微积分6 【

9、正确答案】 D【试题解析】 设 t=x1,则 x=t+1可得当x1 +时,x+1 为无穷小量,sin 为有界变量,可知 f(x)=0即当 x1时,f(x)的左极限与右极限都存在,但两者不相等,因此当 x1 时,f(x)的极限不存在故选 D【知识模块】 微积分7 【正确答案】 A【试题解析】 点 x=0 为 f(x)的分段点,考查 f(x)在某点处的连续性的判定由于 f(0)=2,可知,当 a=2,6=2 时,f(x) 在点 x=0 处连续故选 A【知识模块】 微积分8 【正确答案】 A【试题解析】 由于 f(x)在 x1=1,x 2=3 处没有定义,当 x1,x3 时,f(x)为初等函数且为连

10、续函数又由可知f(x)在(1,0)内为有界函数,故选 A【知识模块】 微积分9 【正确答案】 B【试题解析】 所给问题似乎与导数定义的形式相同,但是仔细分析可以发现两者之间的差异已知条件为 f(4)=1,从而有 =1因此可设 u=2x,得=2f(4)=2故选 B【知识模块】 微积分10 【正确答案】 C【试题解析】 所给选项为连续性、可导性及导数连续性,因此应逐个加以考查因为 x2sin1x=0=f(0) ,所以 f(x)在点 x=0 处连续,这里 sin1x 是有界函数 所以 f(x)在点 x=0 处可导注意到,当 x0 时,由于不存在,则导数 f(x)在 x=0 处不连续,故选 C【知识模

11、块】 微积分11 【正确答案】 C【试题解析】 对照函数极值的定义、定理逐个检验对比极值存在的必要条件,易知 A 不正确因为 f(x0)不存在时,x 0 也可能是极值点例如f(x)=|x|在 x=0 处有极小值,但 f(0)不存在对比极值存在的第二充分条件,B 错误因为 f(x0)=0且 f“(x0)存在,f“(x 0)0 是 x0 为极值点的充分条件,非必要条件例如函数 f(x)=x43 ,容易看出 x=0 是 f(x)的极小值点,且 f(0)=0但 f“(x)=49x 23 在 x=0 处不存在C 是正确的因为若 f“(x0)存在,则 f(x0)必存在,且 f(x)在 x0 处连续于是由极

12、值的必要条件,必有 f(x0)=0D 容易判断错误因为从图形上观察单调与极值的关系,会误认为 D 是正确的殊不知我们所画的图形是一些比较简单的函数图形,特别是 f(x)在 x0 连续且 f(x0)=0 的情形对于一些特殊、复杂的函数,如 在点 x=0 处有一极小值 f(0)=0但当 x0 时,2x(2+sin )0, cos1x 却总在1 和 1 之间振荡,即 f(x)在 x=0 处的极限不存在(且不为无穷大)所以无法说左侧单调减少,右侧单调增加故选 C【知识模块】 微积分12 【正确答案】 A【试题解析】 由题意应有 所给极限为“00”型,由洛必达法则可得 此时分子的极限为 1,由于比值的极

13、限存在且非零,因此分母的极限为非零常数,因此k1=0,即 k=1故选 A【知识模块】 微积分13 【正确答案】 B【试题解析】 由于 f(n2) (x)=sin2x,可得 f (n1) (x)=f(n2) (x)=(sin2x)=2cos2x, f (n)(x)=f(n1) (x)=(2cos2x)=4sin2x 故选 B【知识模块】 微积分14 【正确答案】 A【试题解析】 由连续性的定义可知只需求 F(x)解法 1 由于 f(0)=0,利用洛必达法则可知 F(x)在点 x=0处连续,则 F(x)=F(0)=A,从而 A=b+a,故选 A解法 2 由于 f(0)=b,f(0)=0,由导数定义

14、可知 由于 F(x)在点 x=0 处连续,因此 F(x)=F(0)=A,可知 A=b+a,故选 A【知识模块】 微积分15 【正确答案】 A【试题解析】 y=ln(1+x 2),定义域为( ,+) 在(1, 0)内, y0,函数 y=f(x)单调减少;y“0,曲线 y=f(x)为凹故选 A【知识模块】 微积分计算题16 【正确答案】 当 x0 时,分子与分母的极限皆为零,不能直接利用极限的四则运算法则由于 (2+x2)=2,当 x0 时,ln(1+x)x,因此【知识模块】 微积分17 【正确答案】 所给问题为求极限的反问题由于分母的极限为零,因此分子中所给表达式的极限必定为零,否则由无穷小量与

15、无穷大量的关系将推出矛盾因为(x2+ax+b)=a+b+1=0,所以 b=a 1代入所求极限得a=2,b=3【知识模块】 微积分18 【正确答案】 所给函数 f(x)为分段函数,点 x=0 为分段点,需判定在该点的左极限与右极限【知识模块】 微积分19 【正确答案】 当 x0 时,1cosxx 22又 xasinbx 为 x0 时的无穷小量,故 a1,且此时 xasinbxbx a+1由题设,有因此有12b=1,1a=0,得a=1,b=12【知识模块】 微积分20 【正确答案】 f(x)为分段函数,x=0 为分段点,但在分段点两侧 f(x)表达式相同,考查极限: =6+4a由 f(x)在x=0

16、 处连续,则应有 f(x)=f(0),即 6+4a=a,解得 a=2【知识模块】 微积分21 【正确答案】 先求极限,有=e1(x1) 显然 x=1 是 f(x)的间断点注意到 所以 x=1 是第二类间断点【知识模块】 微积分22 【正确答案】 由于 f(x)= 在(,+)内连续,因此 f(x)在(,+)内有定义,由 ebx0,若使 a+ebx0,则 a0由于 f(x)=0,可知 (a+ebx)=+,因此应有 b0综上,a0,b0【知识模块】 微积分23 【正确答案】 所给问题为抽象函数求导、复合函数、导数四则运算综合问题可以利用 dy=ydx,先求 y而解之,也可以利用微分运算求之 dy=e

17、f(x)df(lnx)+f(lnx)def(x)= +ef(x)f(x)dx【知识模块】 微积分24 【正确答案】 y= 2(12x) 1 ,y“=2(1)(12x) 2 (2)=2 2(12x) 2 ,y“=2 2( 2)(12x) 3 (2)=2 32(12x)3 ,y (n)=2 32(3)(12x) 4 (2)=2 43!(12x) 4 ,由此可知 y(n)=2 n (n1)!(12x) n ,y (n)(0)=2 n(n1)!【知识模块】 微积分25 【正确答案】 所给问题为最值的反问题,只需依求最值的方法进行即可 f(x)=ax26ax 2+b, f(x)=3ax 212ax 令

18、f(x)=0 得 f(x)的驻点 x1=0,x 2=4由于 x=4不在区间1,2 内,应舍弃 比较 f(0)=b,f(1)=7a+b,f(2)=16a+b, 因为a0,可知最大值为 f(0)=b,最小值为 f(2)=16a+b 由已知最大值为 3,可知b=3;由已知最小值为29,可知16a+b=29,可得 a=2【知识模块】 微积分26 【正确答案】 设 t 为时间,则半径 r,周长 l,面积 S 都是关于 t 的函数,又l=2r,S=r 2因此 由上面解得 又已知dSdt=c(c 为常数 ),故 dldt=c r 即 dldt 与 r 成反比【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分27 【正确答案】 Q=4p ,Q| p=6=24当 p=6 时,边际需求为24【知识模块】 微积分28 【正确答案】 需求弹性 当 p=6时,| p=6=2413【知识模块】 微积分29 【正确答案】 总收益 R=pQ=150p2p 3总收益弹性为当 p=6 时,收益对价格的弹性为 6678=0 846因为 |p=6=24131,所以当价格下降时,总收益增加若在p=6 处,价格下降 2,总收益将增加约 17(08462=1 69217)【知识模块】 微积分

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