1、经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷 6 及答案与解析单项选择题1 设x n是数列，下列命题中不正确的是( ) 2 已知 f(x)存在，且函数 f(x)=x2+x2 f(x)=( )（A）32（B） 23（C） 23（D）323 （A）5（B） 12（C） 32（D）24 设 f(sin2x)=x2|sinx|，当 x0 时，f(x)为 x 的( )（A）等价无穷小量（B）同阶无穷小量，但不为等价无穷小量（C）高阶无穷小量（D）低阶无穷小量5 当 x0 时，变量 1x 2sin1x 是( )（A）无穷小量（B）无穷大量（C）有界变量，但不是无穷小量（D）无界变量，但不是无穷大量
2、6 设函数 f(x 1)= 则当 x1 时， f(x)的( )（A）左极限不存在，右极限存在（B）左极限存在，右极限不存在（C）左极限与右极限都存在，且极限存在（D）左极限与右极限都存在，但极限不存在7 设 f(x)= 在点 x=0 处连续，则( )（A）a=2 ，b=2（B） a 任意，b=2（C） a=2，b 任意（D）a 任意， b 任意8 在下列区间内，函数 f(x)= 有界的是 ( )（A）(1，0)（B） (0，1)（C） (1，2)（D）(2 ，3)9 若已知函数 f(x)在点 x=4 处的导数 f(4)=1，则 =( )（A）1（B） 2（C） 3（D）410 设函数 f(x)
3、= 则 f(x)在点 x=0 处( )（A）间断（B）连续但不可导（C）可导，但导数在该点间断（D）导数在该点连续11 下列命题中正确的是( )（A）若 x0 为 f(z)的极值点，则必有 f(x0)0（B）若 x0 为 f(x)的极值点，且 f(x0)=0，则 f“(x0)一定存在（C）若 x0 为 f(x)的极值点，且 f“(x0)存在，则必有 f(x0)=0（D）若 x0 为 f(x)的极小值点，则必定存在 x0 的某个邻域，在此邻域内，函数y=f(x)在点 x0 左侧单调减少，在点 x0 右侧单调增加12 已知当 x0 时，函数 f(x)=3sinxsin2x 与 xk 是同阶无穷小量
4、，则 k=( )（A）1（B） 2（C） 3（D）413 已知 f(n2) (x)=sin2x，则 f(n)(x)=( )（A）4sin2x（B） 4sin2x（C） 4cos2x（D）4cos2x14 设函数 f(x)有连续导函数，f(0)=0 且 f(0)=b，若函数 F(x)=在 x=0 处连续，则 A=( )（A）a+b（B） ab（C） ab（D）ba15 f(x)=ln(1+x2)，则在( 1，0)内( )（A）函数 y=f(x)单调减少，曲线为凹（B）函数 y=f(x)单调减少，曲线为凸（C）函数 y=f(x)单调增加，曲线为凹（D）函数 y=f(x)单调增加，曲线为凸计算题16
5、 17 已知 =2，求 a，b 的值18 设 f(x)= f(x)存在，求常数 a 的值19 设当 x0 时，cosx1 与 xasinbx 为等价无穷小量，求常数 a，b20 设 f(x)= 在点 x=0 处连续，求 a 的值21 设 f(x)= F(x，t) ，其中 F(x，t)=( )1(x t) (x1)(t 1)0，xt)，求 f(x)的间断点，并判别其类型22 设 f(x)= 在(，+)内连续，且 f(x)=0，判断 a，b 的关系23 设 y=f(lnx)ef(x)，其中 f(x)为可微函数，求 dy24 设 y=ln(12x)，求 y(n)(0)25 设函数 f(x)=ax36
6、ax 2+b 在区间1，2上的最大值为 3，最小值为29，又a0，求常数 a，b 的值26 设圆的面积以匀速 c 增加，问：圆周长增加的速度与圆的半径有什么关系?26 若某商品的需求函数 Q=1502p 2，试求：27 p=6 时的边际需求；28 p=6 时的需求弹性；29 当 p=6 时，若价格下降 2，总收益将是增加还是减少?变化百分之几?经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷 6 答案与解析单项选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 对于 A，C，由收敛数列的子列的性质：若数列x n收敛于 a，则其任意一个子列 也收敛，且极限为 a可知 A，C 正确对于 B，由数列极限的性
7、质：若 x2n=a，且 x2n+1=a，则 xn=a，可知 B 正确对于 D，举反例，考查 其中 k=1，2，易见x3n=1， x3n+1=1， x3n+2=2，因此 xn 不存在，即 D 不正确故选 D【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 由于极限值为一个确定的数值，因此可设 f(x)=A，于是 f(x)=x2+x 2A 两端同时取 x1 时的极限，有 (x2+x2A)=22A ，于是A=2 2A解得 A=23故选 B【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 当 x时，原式分子与分母的极限皆为，不能利用极限的四则运算法则首先分子、分母同乘 1x 3，得 故选 B【
8、知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 设 t=sin2x，则|sinx|=sin|x|= ，|x|=arcsin 因此 f(sin2x)=x2|sinx|可化为 f(t)=即当 x0 时，f(x)为无穷小量因此可知当 x0 时，f(x)为 x 的低阶无穷小量，故选 D【知识模块】 微积分5 【正确答案】 D【试题解析】 取点列 xn=1n，则变量值为 =(n)2sin(n)=0，此时变量值为点列 0，0，0，取点列 xn= ，则变量值为此时变量值(2n+ )2为无界点列综上可知，当 x0 时，变量 1x 2sin1x 是无界变量，但不是无穷大量，故选 D【知识模块】 微积分6 【
9、正确答案】 D【试题解析】 设 t=x1，则 x=t+1可得当x1 +时，x+1 为无穷小量，sin 为有界变量，可知 f(x)=0即当 x1时，f(x)的左极限与右极限都存在，但两者不相等，因此当 x1 时，f(x)的极限不存在故选 D【知识模块】 微积分7 【正确答案】 A【试题解析】 点 x=0 为 f(x)的分段点，考查 f(x)在某点处的连续性的判定由于 f(0)=2，可知，当 a=2，6=2 时，f(x) 在点 x=0 处连续故选 A【知识模块】 微积分8 【正确答案】 A【试题解析】 由于 f(x)在 x1=1，x 2=3 处没有定义，当 x1，x3 时，f(x)为初等函数且为连
10、续函数又由可知f(x)在(1，0)内为有界函数，故选 A【知识模块】 微积分9 【正确答案】 B【试题解析】 所给问题似乎与导数定义的形式相同，但是仔细分析可以发现两者之间的差异已知条件为 f(4)=1，从而有 =1因此可设 u=2x，得=2f(4)=2故选 B【知识模块】 微积分10 【正确答案】 C【试题解析】 所给选项为连续性、可导性及导数连续性，因此应逐个加以考查因为 x2sin1x=0=f(0) ，所以 f(x)在点 x=0 处连续，这里 sin1x 是有界函数 所以 f(x)在点 x=0 处可导注意到，当 x0 时，由于不存在，则导数 f(x)在 x=0 处不连续，故选 C【知识模
11、块】 微积分11 【正确答案】 C【试题解析】 对照函数极值的定义、定理逐个检验对比极值存在的必要条件，易知 A 不正确因为 f(x0)不存在时，x 0 也可能是极值点例如f(x)=|x|在 x=0 处有极小值，但 f(0)不存在对比极值存在的第二充分条件，B 错误因为 f(x0)=0且 f“(x0)存在，f“(x 0)0 是 x0 为极值点的充分条件，非必要条件例如函数 f(x)=x43 ，容易看出 x=0 是 f(x)的极小值点，且 f(0)=0但 f“(x)=49x 23 在 x=0 处不存在C 是正确的因为若 f“(x0)存在，则 f(x0)必存在，且 f(x)在 x0 处连续于是由极
12、值的必要条件，必有 f(x0)=0D 容易判断错误因为从图形上观察单调与极值的关系，会误认为 D 是正确的殊不知我们所画的图形是一些比较简单的函数图形，特别是 f(x)在 x0 连续且 f(x0)=0 的情形对于一些特殊、复杂的函数，如 在点 x=0 处有一极小值 f(0)=0但当 x0 时，2x(2+sin )0， cos1x 却总在1 和 1 之间振荡，即 f(x)在 x=0 处的极限不存在(且不为无穷大)所以无法说左侧单调减少，右侧单调增加故选 C【知识模块】 微积分12 【正确答案】 A【试题解析】 由题意应有 所给极限为“00”型，由洛必达法则可得 此时分子的极限为 1，由于比值的极
13、限存在且非零，因此分母的极限为非零常数，因此k1=0，即 k=1故选 A【知识模块】 微积分13 【正确答案】 B【试题解析】 由于 f(n2) (x)=sin2x，可得 f (n1) (x)=f(n2) (x)=(sin2x)=2cos2x， f (n)(x)=f(n1) (x)=(2cos2x)=4sin2x 故选 B【知识模块】 微积分14 【正确答案】 A【试题解析】 由连续性的定义可知只需求 F(x)解法 1 由于 f(0)=0，利用洛必达法则可知 F(x)在点 x=0处连续，则 F(x)=F(0)=A，从而 A=b+a，故选 A解法 2 由于 f(0)=b，f(0)=0，由导数定义
14、可知 由于 F(x)在点 x=0 处连续，因此 F(x)=F(0)=A，可知 A=b+a，故选 A【知识模块】 微积分15 【正确答案】 A【试题解析】 y=ln(1+x 2)，定义域为( ，+) 在(1， 0)内， y0，函数 y=f(x)单调减少；y“0，曲线 y=f(x)为凹故选 A【知识模块】 微积分计算题16 【正确答案】 当 x0 时，分子与分母的极限皆为零，不能直接利用极限的四则运算法则由于 (2+x2)=2，当 x0 时，ln(1+x)x，因此【知识模块】 微积分17 【正确答案】 所给问题为求极限的反问题由于分母的极限为零，因此分子中所给表达式的极限必定为零，否则由无穷小量与
15、无穷大量的关系将推出矛盾因为(x2+ax+b)=a+b+1=0，所以 b=a 1代入所求极限得a=2，b=3【知识模块】 微积分18 【正确答案】 所给函数 f(x)为分段函数，点 x=0 为分段点，需判定在该点的左极限与右极限【知识模块】 微积分19 【正确答案】 当 x0 时，1cosxx 22又 xasinbx 为 x0 时的无穷小量，故 a1，且此时 xasinbxbx a+1由题设，有因此有12b=1，1a=0，得a=1，b=12【知识模块】 微积分20 【正确答案】 f(x)为分段函数，x=0 为分段点，但在分段点两侧 f(x)表达式相同，考查极限： =6+4a由 f(x)在x=0
16、 处连续，则应有 f(x)=f(0)，即 6+4a=a，解得 a=2【知识模块】 微积分21 【正确答案】 先求极限，有=e1(x1) 显然 x=1 是 f(x)的间断点注意到 所以 x=1 是第二类间断点【知识模块】 微积分22 【正确答案】 由于 f(x)= 在(，+)内连续，因此 f(x)在(，+)内有定义，由 ebx0，若使 a+ebx0，则 a0由于 f(x)=0，可知 (a+ebx)=+，因此应有 b0综上，a0，b0【知识模块】 微积分23 【正确答案】 所给问题为抽象函数求导、复合函数、导数四则运算综合问题可以利用 dy=ydx，先求 y而解之，也可以利用微分运算求之 dy=e
17、f(x)df(lnx)+f(lnx)def(x)= +ef(x)f(x)dx【知识模块】 微积分24 【正确答案】 y= 2(12x) 1 ，y“=2(1)(12x) 2 (2)=2 2(12x) 2 ，y“=2 2( 2)(12x) 3 (2)=2 32(12x)3 ，y (n)=2 32(3)(12x) 4 (2)=2 43!(12x) 4 ，由此可知 y(n)=2 n (n1)!(12x) n ，y (n)(0)=2 n(n1)!【知识模块】 微积分25 【正确答案】 所给问题为最值的反问题，只需依求最值的方法进行即可 f(x)=ax26ax 2+b， f(x)=3ax 212ax 令
18、f(x)=0 得 f(x)的驻点 x1=0，x 2=4由于 x=4不在区间1，2 内，应舍弃 比较 f(0)=b，f(1)=7a+b，f(2)=16a+b， 因为a0，可知最大值为 f(0)=b，最小值为 f(2)=16a+b 由已知最大值为 3，可知b=3；由已知最小值为29，可知16a+b=29，可得 a=2【知识模块】 微积分26 【正确答案】 设 t 为时间，则半径 r，周长 l，面积 S 都是关于 t 的函数，又l=2r，S=r 2因此 由上面解得 又已知dSdt=c(c 为常数 )，故 dldt=c r 即 dldt 与 r 成反比【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分27 【正确答案】 Q=4p ，Q| p=6=24当 p=6 时，边际需求为24【知识模块】 微积分28 【正确答案】 需求弹性 当 p=6时，| p=6=2413【知识模块】 微积分29 【正确答案】 总收益 R=pQ=150p2p 3总收益弹性为当 p=6 时，收益对价格的弹性为 6678=0 846因为 |p=6=24131，所以当价格下降时，总收益增加若在p=6 处，价格下降 2，总收益将增加约 17(08462=1 69217)【知识模块】 微积分
